【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x2．函數(shù)f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的單調(diào)性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），當(dāng)x∈（0，＋∞）時(shí)，f′（x）0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 【答案】增函數(shù)3．函數(shù)y＝1＋3x－x3有（）A．極小值－1，極大值1B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2D．極小值－1，極大值32【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝177。1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數(shù)y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15B．5，4C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗(yàn)知，當(dāng)x＝2時(shí)，y極?。剑?5．又f（0）＝5，f（3）＝227－39－123＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值C．對(duì)于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|【解析】極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此，極大值不一定是最大值，A錯(cuò)．由于函數(shù)的最值可能在端點(diǎn)取得，因此最大值不一定是極值，B錯(cuò)．22對(duì)于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，當(dāng)|p|【答案】C 【典型例題精講】1［例1］研究函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的單調(diào)性，其中a≠0．1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a2b當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＞0，則x＜2b+33a或22xb+b+33a，2bf′（x）＜0時(shí)，b+33a2xb+b+33ab+32，(165。,所以f（x）在在[bb3a2b2b+33a],[b+3a,+165。)上單調(diào)遞增，+3,b+b3a+3]上單調(diào)遞減．[當(dāng)a＜0時(shí)，同樣可得f（x）在bb+3b+b+3,]3a3a上單調(diào)遞增，b+3222bb+323a3a在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減．432［例2］偶函數(shù)f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的極值．【解】（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴b＝d＝0．又圖象過(guò)點(diǎn)P（0，1），則e＝1，此時(shí)f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1① 又切線的切點(diǎn)（1，－1）在曲線上，∴a＋c＋1＝－1 ②由①②得,],[b+a=52,c=92，∴f(x)=52x4923x+12（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝177。10． 通過(guò)列表可知：341當(dāng)x＝177。10時(shí)，f（x）極小＝－40當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個(gè)點(diǎn)的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過(guò)曲線上一點(diǎn)與以此點(diǎn)為切點(diǎn)的切線垂直的直線）1【解】在曲線y＝3x6上任取一點(diǎn)（x，y），過(guò)該點(diǎn)切線的斜率為k＝2x51∴法線的斜率為－2x．51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）5Y=y+令z＝0，得法線在y軸上的截距：12x4=x63+12x4xx則令Y′＝0，得x＝177。1 當(dāng)x＜－1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減?。?當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，Y′＜0，則Y單調(diào)減小； 當(dāng)x＞1時(shí)，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； Y162。=2x525=2(x1051)51從而當(dāng)x＝177。1時(shí)，Y取得最小值為6，此時(shí)點(diǎn)（177。1，3）為所求．32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝177。1時(shí)取得極值，且f（1）＝－1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；（2）試判斷x＝177。1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說(shuō)明理由．【分析】考查函數(shù)f（x）是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為f′（x）＝0的根建立起由極值點(diǎn)x＝177。1所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝177。1是函數(shù)的極值點(diǎn)2∴x＝177。1是方程3ax＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知：又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1③2．1333233f(x)=xxx=(x1)(x+1)22，∴f′（x）＝222（2）當(dāng)x1時(shí)f′（x）0，當(dāng)－1【注】本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向．［例5］證明方程sinx＝2x只有一個(gè)實(shí)根：x＝0．【證明】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．∵f′（x）＝2－cosx0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)． 由①、②、③解得：a=1,b=0,c=3a=12,b=0,c=3又當(dāng)x＝0時(shí)，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一實(shí)根x＝0． 【注】本題體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用．【達(dá)標(biāo)訓(xùn)練】1．函數(shù)y＝（x2－1）3＋1在x＝－1處（）A．有極大值B．有極小值 C．無(wú)極值D．無(wú)法確定極值情況22【解析】∵y′＝3（x－1）2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但當(dāng)x∈（－∞，－1）時(shí)，y′【答案】C 2．設(shè)y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，則a等于（）A．－1 B．1C．0D．任意實(shí)數(shù) 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函數(shù)y＝sin2x－x，x∈[pp,22上的最大值是___________，最小值是_________．p32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝177。6f(而端點(diǎn)p6)=32+p6,f(p6)=p6 ,f(p2)=p,f()=222pppppp所以y的最大值是2，最小值是－2．【答案】2 －24．如果函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞增，則a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞01∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．1【答案】＞35．求證：當(dāng)|x|≤2時(shí)，|3x－x3|≤2． 【證明】設(shè)f（x）＝3x－x322f′（x）＝3－3x＝3（1－x）當(dāng)x＝177。1時(shí)，f′（x）＝0 當(dāng)x＜－1時(shí)，f′（x）＜0 當(dāng)－116．設(shè)f（x）＝x－2x－2x＋５（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（2）當(dāng)x∈［－1，2］時(shí)，f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．22∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（－3，1）（2）原命題等價(jià)于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．27．求函數(shù)y＝xlnx的極值． f(1)=11,f(2)=522,f(1)=72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋xx＝x（2lnx＋1）．212121212令y′＝0，得：x＝e時(shí)，y′0，12，當(dāng)0e∴y在（e12，＋∞）上是增函數(shù)．1211∴x＝e時(shí)，y有極小值（e）2（－2）＝－2e．【解題指導(dǎo)】