【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 無(wú)論是探討心臟中的血液流動(dòng)這種實(shí)際的問(wèn)題還是由于探討數(shù)論中各種形態(tài)的抽象問(wèn)題的推動(dòng)，數(shù)學(xué)科學(xué)家都力圖尋找各種模型來(lái)描述它們，把它們聯(lián)系起來(lái)，并從它們作出各種推斷。部分地說(shuō)，數(shù)學(xué)探討的目的是追求簡(jiǎn)單性，力求從各種模型提煉出它們的本質(zhì)。（2）談?wù)勀阕约簩?duì)于我國(guó)數(shù)學(xué)課程教學(xué)“雙基”的認(rèn)識(shí)。答：《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》要求：一方面保持我國(guó)重視基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)、基本技能訓(xùn)練和能力培養(yǎng)的傳統(tǒng)。另一方面，隨著時(shí)代的發(fā)展，特別是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用、計(jì)算機(jī)技術(shù)和現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)課程設(shè)置和實(shí)施應(yīng)重新審視基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和能力的內(nèi)涵，形成符合時(shí)代要求的新的“雙基”。例如，高中數(shù)學(xué)課程增加”算法”內(nèi)容，把最基本的數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)知識(shí)等作為新的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能。同時(shí)，應(yīng)刪減煩瑣的計(jì)算、人為的技巧化難題和過(guò)分強(qiáng)調(diào)細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容，克服“雙基”異化的傾向。強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，注意適度形式化。數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，需要學(xué)習(xí)嚴(yán)格的、形式化的邏輯推理方式。但是數(shù)學(xué)教學(xué)，不僅限于形式化數(shù)學(xué)，學(xué)生還必須接觸到生動(dòng)活潑、靈活多變的數(shù)學(xué)思維過(guò)程。要讓學(xué)生追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史足跡，體念數(shù)學(xué)的形成過(guò)程和數(shù)學(xué)中的思想方法。教師應(yīng)該把高度嚴(yán)格的學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為學(xué)生樂(lè)于思考的、興趣盎然的教學(xué)形態(tài)。（2）選擇高中數(shù)學(xué)課程中的某一具體內(nèi)容，以此內(nèi)容完成一項(xiàng)探究性教學(xué)設(shè)計(jì)，并對(duì)你的教學(xué)設(shè)計(jì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的點(diǎn)評(píng)分析。答:教學(xué)設(shè)計(jì)：平方差公式”探究式”教學(xué)。引入語(yǔ)：象整數(shù)的算術(shù)演算中存在某些“縮算法” 一樣，代數(shù)式的演算中同樣存在”縮算法”，而這些“縮算法”依賴一些形式簡(jiǎn)便的乘法公式，這些乘法公式由來(lái)簡(jiǎn)單，但是靈活運(yùn)用它們，可能會(huì)使復(fù)雜的代數(shù)式運(yùn)算變得簡(jiǎn)單快捷。通過(guò)直接的計(jì)算，同學(xué)們不難發(fā)現(xiàn)下面的等式：介紹一則有關(guān)”平方差公式”的故事：美國(guó)北卡羅萊納大學(xué)教授Carl Pomerance是一位當(dāng)代著名的計(jì)算數(shù)論家。Pomerance回憶中學(xué)時(shí)代曾經(jīng)參加一次普通的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其中有一道題是分解整數(shù)8051。Pomerance沒(méi)有采用常規(guī)的因數(shù)檢驗(yàn)法，從小到大逐個(gè)驗(yàn)證，由2到的素?cái)?shù)，哪些能夠整除8051。其實(shí)這樣做并不困難。象所有愛(ài)動(dòng)腦筋孩子一樣，Pomerance力圖尋找一個(gè)簡(jiǎn)便算法，更快捷地發(fā)現(xiàn)8051 的因數(shù)，但是他沒(méi)有能夠在規(guī)定的時(shí)間之內(nèi)完成任務(wù)，他失敗了。事實(shí)上，存在簡(jiǎn)捷的分解方法：但是，失敗并沒(méi)有使這位未來(lái)的數(shù)論家放棄對(duì)問(wèn)題的進(jìn)一步思考。事后Pomerance 向自己提出下面一個(gè)非常有趣的問(wèn)題。Pomerance問(wèn)題：是否一個(gè)能夠分解的整數(shù)必定是兩個(gè)整數(shù)的平方差？上面問(wèn)題的答案是肯定的，也就是說(shuō)，我們有下面的定理。定理每個(gè)奇合數(shù)必定能用平方差的方式分解為兩個(gè)大于1的整數(shù)之積。評(píng)述：本案例中的“自主探究”是以一位數(shù)學(xué)家真實(shí)的故事而引出的，故事中引出與”乘法公 式”密切相關(guān)的“Pomerance問(wèn)題”，并通過(guò)數(shù)學(xué)家Pomerance之口，導(dǎo)出了一個(gè)多少有些 使人感到意外的數(shù)學(xué)結(jié)果（定理）。我們認(rèn)為，這樣的結(jié)果對(duì)學(xué)生的啟發(fā)性遠(yuǎn)遠(yuǎn)勝過(guò)案例4中所列的一串”數(shù)字運(yùn)算等式”。自主探究應(yīng)當(dāng)采用生動(dòng)活潑、真正發(fā)人深思的形式，教師 與教材編寫(xiě)者應(yīng)該不斷研究、不斷改進(jìn)教學(xué)的思想方法，創(chuàng)建富有個(gè)性特點(diǎn)的“發(fā)現(xiàn)法”教學(xué)方法。（3）從若干方面論述教師知識(shí)結(jié)構(gòu)對(duì)于高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的適應(yīng)性問(wèn)題。答：新課標(biāo)對(duì)教師的知識(shí)結(jié)構(gòu)提出了新的要求，系列4的選修課程涉及大量的以往高中數(shù)學(xué)課程中沒(méi)有的知識(shí)。對(duì)稱與群，歐拉公式與必曲面分類，三等分角與數(shù)域擴(kuò)充，初等數(shù)論與密碼，球面幾何，矩陣與變換，統(tǒng)籌法與圖論，等等。這些知識(shí)雖然都是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)能夠覆蓋的，但是如何在中學(xué)階段、在中學(xué)生的知識(shí)背景和理解能力的條件之下實(shí)施課程教學(xué)，這是非常值得研究和探討的問(wèn)題。越是復(fù)雜高深的知識(shí)在知識(shí)背景比較淺近的人群之內(nèi)傳播，對(duì)于教師本人在知識(shí)理解和講授方法方面的要求越高。從這個(gè)意義上說(shuō)，對(duì)中學(xué)生講授高等數(shù)學(xué)比在大學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生講授高等數(shù)學(xué)，教師所面臨的困難更大。另外，新課程的教學(xué)法提倡啟發(fā)式、探究式教學(xué)，這樣的教學(xué)方式也對(duì)教師的知識(shí)和能力提出了更高的要求。我們認(rèn)為教學(xué)中的探究與真正的數(shù)學(xué)研究沒(méi)有本質(zhì)的區(qū)別，我們難以想象完全缺乏研究能力的教師能夠啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)。（1）對(duì)下面有關(guān)函數(shù)概念教學(xué)的案例進(jìn)行分析，通過(guò)分析指出《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)函數(shù)內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)。案例： 一個(gè)圓臺(tái)形物體的上底面積是下底面積的1/4，如果該物體放置在桌面上，下底面與桌面接觸，則物體對(duì)桌面的壓強(qiáng)是200帕。若把物體翻轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)，上底面朝下與桌面接觸，問(wèn)物體對(duì)桌面的壓強(qiáng)是多少？案例分析：我們認(rèn)為該教學(xué)案例作為函數(shù)概念的教學(xué)內(nèi)容，這是一個(gè)構(gòu)思很好的實(shí)例，它好在以下四個(gè)方面：1）函數(shù)概念存在于問(wèn)題背景之中。題目條件中沒(méi)有明顯地給出函數(shù)關(guān)系，但是要求學(xué)生首先判斷所要求的變量壓強(qiáng)y應(yīng)是接觸面積x的函數(shù)。2）體積―質(zhì)量―壓強(qiáng)；代數(shù)―幾何―物理。強(qiáng)調(diào)了不同學(xué)科知識(shí)的聯(lián)系。3）本題可以進(jìn)一步作擴(kuò)充為”桌面壓強(qiáng)y”作為“接觸面積x”的函數(shù)，與物體的形狀是否相關(guān)？4）把本案例與一些認(rèn)為制造的煩瑣的函數(shù)問(wèn)題對(duì)比不難看到：函數(shù)教學(xué)中兩種理念、兩種結(jié)果。函數(shù)教學(xué)的一個(gè)非常重要的方面是讓學(xué)生體會(huì)函數(shù)能夠作為反映現(xiàn)實(shí)世界客觀規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在函數(shù)的教學(xué)建議中要求：”在函數(shù)應(yīng)用的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地體驗(yàn)函數(shù)是描述客觀世界的變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，體驗(yàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實(shí)世界的密切聯(lián)系及其在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中的作用”。簡(jiǎn)述高中數(shù)學(xué)課程的基本教學(xué)目標(biāo)。答：高中數(shù)學(xué)課程的基本目標(biāo)是：構(gòu)建共同的基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺(tái)。在義務(wù)教育階段之后，為使學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活和未來(lái)的發(fā)展提供更高水平的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，使他們獲得更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。高中階段的數(shù)學(xué)將為學(xué)生提供多樣的課程，適應(yīng)個(gè)性選擇，為學(xué)生提供更廣泛的發(fā)展空間。課程設(shè)置總目標(biāo)的中心點(diǎn)是：突出課程的基礎(chǔ)性，把中小學(xué)數(shù)學(xué)課程作為各