【文章內(nèi)容簡介】 ………………………………….1分 20所以非齊次方程的一般解為236。x1=2x3239。237。3x=x+3239。22238?！?分所以齊次方程組的一個特解為h*233。0249。234。3=234。234。2234。0235?！?.1分233。2249。x=2x236。13對應的齊次方程組為237。得基礎解系為x1=234。1…………….2分 234。238。x2=x3234。235。1所以原方程組的通解為h=h*+k1x1,其中k1為任意常數(shù)………………….1分2（1）項式AlE=8l172l=（l1)(l9)所以特征值l1=1,l2=9…………………………………………………..1分233。7當l1=1時，AE=234。235。17249。233。1174。234。1235。01249。0即x1=x2，所以特征向量為x1=234?！?.1分235。1對應特征值l1=1全部特征向量為k1x1，k為任意非零常數(shù)………..1分當l2=9時，A9E=234。235。1233。17249。233。1174。234。7235。0233。1249。7249。 0233。7249。即x1=7x2，所以得到對應的特征向量x2=234。………………………..1分 235。1對應特征值l2=9的全部特征向量為k2x2，k2為任意非零常數(shù)……….1分（2）因為矩陣A有兩不同的特征值1和9,(或者說存在兩個線性無關的特征向量x1,x2),所以矩陣A可以對角化……………………………………………..2分可逆矩陣P=(x1,x2),即233。10249。9233。1P=234。235。17249。1,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分233。10249。．．．．．．．．．．．．．．．１分 ．9且有P1AP=234。235。02６、所以對角矩陣為217。=234。235。0證明：首先，b1,b2,b3 的個數(shù)與所給的基礎解系a1,a2,a3個數(shù)相同，都為３，即nr=3………………………………………………………………………1分 其次Ab1=Aa1=0,Ab2=A(a1+a2)=0,Ab3=A(a1+a2+a3)=0所以，b1,b2,b3都是方程組Ax =0的解………………………………………2 最后，根據(jù)提設條件可以寫出矩陣等式233。1234。(b1,b2,b3)=(a1,a2,a3)0234。234。235。01101249。1………………………………………2分 11110111把它記為B==00=1185。0…….1分P是可逆矩陣………………………………………………………..1分 所以，r(B)=r(A)=3，這說明b1,b2,b3線性無關………………………2分所以，b1,b2,b3必是Ax =0的基礎解系……………………………………….1分***10402100021LL3分 2解：D=002=00012100210002***0215=15LL4分LL3分 =0001=0002解：(1)[A233。1234。E]174。1234。234。235。00100100011112210111111020111211000100249。233。1234。0174。0234。234。1235。001000101122112111121211100100249。0LL1分 1233。1234。 174。0234。234。235。0233。1234。 174。0234。234。235。00249。233。1234。0174。0234。234。1235。01249。1LL2分 11249。233。2234。11222。A=2234。234。1235。1A11249。1LL2分 1B222。X=A1(2）AX=B222。方程兩邊同時左乘233。2234。222。X=2234。234。235。11211,得 A1AX=ABLL2分1249。233。3234。11234。1234。235。00111249。233。5234。0=4234。4234。235。223212249。2LL3分 32解： EB[A]TBX=E222。B(EBT[A)]TX=E222。[BA]X=ELL3分T230。233。2231。234。222。X=231。0231。234。231。234。0232。235。233。1234。2234。=234。0234。234。0234。235。0200249。01T246。247。247。247。247。248。1233。2234。=0234。234。235。00200249。011233。1234。2234。=234。0234。234。0234。235。0120249。00LL3分 10120X1249。0011233。2234。=0234。234。235。00200249。0LL4分 1230。1210246。230。1210246。231。247。231。247。2解：令A=231。1450247。174。231。0660247。LL3分231。0111247。231。0111247。232。248。232。248。230。121231。174。231。011231。000232。0246。247。1247。LL3分 1247。248。所以向量組的秩為3。因為未知數(shù)的個數(shù)大于向量組的秩，所以向量組線性相關。……4分 230。200246。231。247。2解：f的矩陣為A=231。03a247?！?分231。0a3247。232。248。2l03la0a3l=(2l)3laa3l先求A的特征值，AlE=00=(2l)(l6l+9a)=0……（1）……2分 22由已知，二次型可通過正交變換可化為標準形f＝y(tǒng)1＋2y2＋5y3，得 矩陣A的特征值為1，2，5。……2分將λ1=1代入（1）式，得(21)(16*1+9a)=0222。a=177。四、證明題2證：由已知可知AAT=EBBT=E……2分AT2222A+B=AA+AB=E+AB=BB+AB TTTTT(BT+AT)B=BT+ATB=A+BB……4分 再由A=B，又正交陣的行列式為177。1……1分 不妨設A=1，則B=1則 A+B=A+B，故A+B=0……3分第三篇：線性代數(shù)試卷(網(wǎng)上1)線 性 代 數(shù) 試 卷(A)一、選擇題（每題3分，共15分）230。1a12246。231。247。若矩陣A=231。01a2247。的秩r(A)=2,則a的值為_____________231。1012247。232。248。1.(A)0(B)0或1(C)1(A)AT??(D)1或者1(B)AT*設A為正交矩陣，且|A|=1,則A=_____________ 2.(C)A????(D)A,b是n維列向量,ab185。0,n階方陣A=E+ab,n179。3，則在A的 n個特征值中,必然______________(A)有n個特征值等于1(B)有n1個特征值等于1(C)有1個特征值等于1(D)沒有1個特征值等于1r(A)=r(B),則______________ ,B為n階方陣，且秩相等，既(A)r(A－B)=0(B)r(A+B)=2r(A)(C)r(A,B)=2r(A)(D)r(A,B)163。r(A)+r(B)___ 180。n的秩r(A)=n,則非齊次線性方程組Ax=b__________(A)一定無解(B)可能有解(C)一定有唯一解(D)一定有無窮多解二、填空題（每題3分，共15分）**|A|=2|2A|=_____________ ，行列式，則1111j=1229。A42j=__________ ,其中D =212f(xx,x)=x+4x+2x+2ax1x1+2x2x3正定,則實常數(shù) 1,a的取值范圍為________________111111111111AB= ,其中n階矩陣 230。a0L0246。230。0L0b246。231。247。231。247。0aL00Lb0231。247。231。247。A=231。B=231。MNMM247。MMO0247。231。247。231。247。231。00La247。231。bL00247。232。248。232。248。230。101246。231。247。020231。247。，231。101247。nn1248。而n179。2為正整數(shù)，則A2A=______ =232。三、計算題(每題9分,共54分)x1mx2x3Lxnx1x2mx3LxnDn=??MMMMx1x2x3Lxnm230。200246。230。600246。231。247。231。247。