【文章內(nèi)容簡介】 不同的元素中取出m(m163。n)個(gè)元素，而排列是把取出的m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，也就是說排列與元素的順序有關(guān)，而組合單單是把取出的m個(gè)元素并成一組，與元素的順序無關(guān)。組合數(shù)同樣地類似于排列，我們研究從n個(gè)不同的元素中取出m(m163。n)個(gè)元素的組合共有m多少個(gè)，這類計(jì)數(shù)問題叫做組合問題，相應(yīng)的組合數(shù)記為Cn?！締栴}2】從3個(gè)不同的元素a,b,c中每次取出2個(gè)，共有多少種不同的排列？（若改為從3個(gè)不同的元素a,b,c中每次取出2個(gè)，共有多少種不同的組合？）2解：原問題為從三個(gè)不同的元素中每次取出兩個(gè)元素的排列問題，排列數(shù)為A3，對應(yīng)的排列為：abbaaccabccb2變化后的問題為從三個(gè)不同的元素中取出兩個(gè)元素的組合問題，組合數(shù)為C3，對應(yīng)的組合為：abacbc總結(jié)：通過問題1與問題2可以看出，給出一個(gè)問題，如果與順序有關(guān)，則是排列問題，若果與順序無關(guān)，則是組合問題。通過例題講解區(qū)分排列與組合問題?！纠?】判斷下面問題是排列問題，還是組合問題？(1)從6個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？(2)從6個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？ 解：(1)選出的2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，不必明確游覽順序，這是一個(gè)組合問題，對應(yīng)的組合數(shù)為C6（先標(biāo)記在后面，一會(huì)再求解）。(2)選出的2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)，必須明確游覽順序，這是一個(gè)排列問題，對應(yīng)的排列數(shù)為A6（學(xué)生求解排列數(shù)A6，復(fù)習(xí)鞏固上節(jié)課排列數(shù)的計(jì)算公式）。課堂練習(xí)：書55頁課后練習(xí)題3 222 2(1)8名同學(xué)聚會(huì)，每兩人握手一次，共握手多少次？ 解：與順序無關(guān)，因此是組合問題，組合數(shù)為C8（先標(biāo)記在后面，一會(huì)再求解）。(2)6名同學(xué)約定元旦互送賀卡一張，共寄多少張?2解：甲→乙賀卡與乙→甲賀卡代表的意義不一樣，因此有順序性，是排列問題，排列數(shù)為A6（學(xué)生計(jì)算，使學(xué)生熟練掌握排列數(shù)的計(jì)算公式）(3)某鐵路沿線有5個(gè)站，需要準(zhǔn)備多少種車票？有多少種不同的票價(jià)？解：第一個(gè)問題車票種數(shù)：南通→南京與南京→南通為兩種不同的車票，有順序性，是排列2問題，排列數(shù)為A5（學(xué)生求解）；第二個(gè)問題票價(jià)問題：南通→南京與南京→南通車票的票價(jià)是一樣的，沒有順序性，是2組合問題，組合數(shù)為C5（標(biāo)記在后面，一會(huì)再求解）。(4)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段(有向線段)共有多少條？2解：線段AB與線段BA為兩條相同的線段，因此沒有順序性，是組合問題，組合數(shù)為C10（標(biāo)記在后面，一會(huì)再求解）；有向線段（有方向的線段，即：有向線段AB與有向線段BA是兩條不同的線段），因此2有順序性，是排列問題，排列數(shù)為A10（學(xué)生計(jì)算）。組合數(shù)計(jì)算公式思考：排列數(shù)有相應(yīng)的計(jì)算公式，那上面標(biāo)記的組合數(shù)該如何計(jì)算呢？回到問題2，從三個(gè)不同的元素a,b,c中每次取出2個(gè)的排列與組合的關(guān)系如圖：A32：abbaA22abC32172。accaacbccbbc2從圖中關(guān)系可以看出組合共有C3個(gè)；2將每一個(gè)組合中的元素進(jìn)行全排列，均有A2=2個(gè)排列；2因此，從3個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)A3，可以分成以下兩個(gè)步驟來完成：第一步：從3個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)為C3；第二步：對每一個(gè)組合中的2個(gè)不同的元素進(jìn)行全排列，其排列數(shù)為A2。根據(jù)分步乘法原理，得A3=C3180。A222222A32從而有C=2A223 3（從特殊回到一般）一般地，從n個(gè)不同的元素中取出m個(gè)不同元素的排列數(shù)也可以按以上兩個(gè)步驟來完成，即mmm An=Cn180。AmmAnn(n1)(n2)L(nm+1)由此得到組合數(shù)計(jì)算公式：C=m=Amm!mn由于An=mn!，所以組合數(shù)公式還可以表示為nm!()mCn=n!（其中，n,m206。N*，m163。n）m!(nm)!0由于計(jì)算需要，規(guī)定Cn=1 7【例2】計(jì)算C107A1010180。9180。8180。7180。6180。5180。4解：由組合公式得C=7==120A77180。6180。5180。4180。3180。2180。1710課堂練習(xí)通過組合公式的推導(dǎo)及例題2的講解，請學(xué)生將之前標(biāo)記過的組合數(shù)在練習(xí)本上求解（并請4名同學(xué)上黑板演示求解過程，同時(shí)檢查其他同學(xué)掌握程度）2A66180。5C=2==15A22180。126A828180。7C=2==28A22180。128A525180。4C=2==10A22180。1252A1010180。9C=2==45A22180。1210習(xí)題講解，提出計(jì)算組合數(shù)需要注意3點(diǎn)：公式不要列錯(cuò)；項(xiàng)不要列錯(cuò)；計(jì)算不要馬虎。【例3】一批產(chǎn)品20件，其中有2件次品，其余均為正品，從20件產(chǎn)品中任意抽取3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：分析：通過畫圖進(jìn)行圖形結(jié)合法，如圖(1)共有多少種不同的抽法？分析：從20件產(chǎn)品中任意抽取3件，沒有特殊要求，因此不用考慮特殊情況，不同的抽法等于組合數(shù)。3A2020180。19180。18解：C=3=1140A33180。2180。1320(2)恰有一件次品的不同抽法有多少種？分析：抽取的3件產(chǎn)品中恰有一件次品可以分兩步來完成：1第一步：從2件次品中任意抽取1件，有C2種不同的抽法； 2第二步：從18件正品中任意抽取2件，有C18種不同的抽法。根據(jù)分步乘法原理，所有的抽法種數(shù)為21A18A2218180。17解：C180。C=1180。2=180。=306A1A212180。112218(3)全是正品的不同抽法有多少種？分析：抽取的3件產(chǎn)品全是正品，即從18件正品中任意抽取3件，不同的抽法為3A1818180。17180。16解：C=3==816A33180。2180。1318(4)至多有一件次品的不同抽法有多少種? 分析：抽取的3件產(chǎn)品至多有1件次品，包含幾類情況？（解釋至多的概念，并與學(xué)生一起分析包含幾類情況）3第一類：3件產(chǎn)品中沒有次品，即從18件正品中任意抽取3件，不同的抽法為C18 12第二類：3件產(chǎn)品有一件次品，問題回到第2題中，分兩步來完成，不同的抽法有C2 180。C18根據(jù)分類加法原理，不同的抽法總數(shù)為231A18A18A2218180。1718180。17180。16解：CC+C=1180。2+3=180。+816+306=1122A1A2A312180。13180。2180。112218318(5)至少有一件次品的不同抽法有多少種？分析：抽取的3件產(chǎn)品中至少有一件次品，包含幾類情況？（解釋至少的概念，并與學(xué)生一起分析包含幾類情況）第一類：3件產(chǎn)品中有一件次品，回到第二題中，分兩步來完成，不同的抽法有C2180。C18； 521第二類：3件產(chǎn)品中有兩件次品，分兩步來完成，不同的抽法有C2（請同學(xué)思考，借180。C18鑒第二題給出）根據(jù)分類加法原理，所有的抽法總數(shù)為2112A18A18A2A2218180。1718解：CC+CC=1180。2+2180。1=180。+=306+18=324A1A2A2A112180。111221822118三、課堂小結(jié)：組合的概念；