【文章內(nèi)容簡介】 迭代序列收斂。收斂定理：設f(x)在[a,b]上二階導數(shù)存在，若{}f(a)f(b)0，f(x)在[a,b]上單調(diào)，f(x)在[a,b]上凹向不變（即f39。39。(x)在區(qū)間上不變號），初值x0滿足f(x0)f39。39。(x0)0，則任意初值x0206。[a,b]，有牛頓迭代法產(chǎn)生的{xk}收斂于方程的唯一根。簡化牛頓法：xk+1=xk三．弦割法或割線法 用差商代替導數(shù)xk+1=xkf(xk)f(xk)f(xk)222。xk+1=xk222。xk+1=xkf39。(xk)f39。(x0)Cf(xk)f(xk)f(xk1)xkxk1第二節(jié) 線性代數(shù)方程組迭代解法Jacobi迭代法，GaussSeidel迭代法SOR迭代法（xik+1=(1w)xik+wxGSk+1）wopt=迭代法的收斂性：將迭代法用矩陣表示：A=DEF，xk+1=Bxk+g Jacobi迭代法： GS迭代法： SOR迭代法：0定理：xk+1=Bxk+g，對x產(chǎn)生的迭代序列x21+1r(Bj)2 {}收斂的充要條件是：klimBk=0或r(B)1。k174。165。推論1：若B1，則收斂；推論2：SOR方法收斂的必要條件是0w2；推論3：設A是嚴格對角占優(yōu)矩陣，則Jacobi，GS，0w1的SOR方法收斂；推論4：1)設A是對稱正定矩陣，則GS方法收斂；2)設A是對稱正定矩陣，若2DA也對稱正定，則Jacobi方法收斂；若2DA不對稱正定，則Jacobi方法不收斂；3)設A是對稱正定矩陣，0w2，則SOR方法收斂。第三節(jié) 非線性方程組的迭代解法x k+1kkk=x[f39。(x)]1f(x)第七章 矩陣特征值和特征向量矩陣A主特征值——模最大的特征值取為主特征值。對n個互不相同的特征值l1l2179。l3179。...179。ln，對應特征向量x1x2x3…xn；kk任意向量z0=c1x1+c2x2+...xn z=AZ0 limzk187。c1l1kx1，zk是對應A的l1的特征向量，k174。165。(zk+1)i=l1(zk)i規(guī)范乘冪法yk=Azk1，yk按模取最大分量max(yk)=mk，zk=limzk=x10，x10是x1的規(guī)范化向量；limmk=l1。k174。165。k174。165。yk。mk加速法（原點位移法）yk=(ApI)zk1第八章 常微分方程數(shù)值解法的導出236。y39。(x)=f(x,y(x))237。y(a)=y0238。一． 數(shù)值微分法歐拉公式：yi+1=yi+hf(xi,yi)后退歐拉公式：yi+1=yi+hf(xi+1,yi+1)終點法：yi+1=yi1+2hf(xi,yi)h2局部截斷誤差：y(xi+1)yi=y39。39。(x)2二． 數(shù)值積分法hyi+1=yi+[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)]2預估yi+1=yi+hf(xi,yi)，校正yi+1=yi+三．四． 泰勒展示法h[f(xi,yi)+f(xi+1,yi+1)] 2線性多步法第三篇：計算方法公式總結(jié)計算方法公式總結(jié)緒論*e=xx，x*為準確值，x為近似值。絕對誤差絕對誤差限r(nóng)|e|=|x*x|163。e，ε為正數(shù)，稱為絕對誤差限x*xe=表示相對誤差 通常用e=xxrx*xe=*相對誤差e=*xxr相對誤差限|er|163。er或|e|163。er 有效數(shù)字一元函數(shù)y=f（x）39。e(y)=f(x)e(x)絕對誤差e(y)f(x)39。e(x)xf39。(x)e(y)=187。=er(x)相對誤差ryyf(x)二元函數(shù)y=f（x1,x2）絕對誤差 182。f(x1,x2)182。f(x1,x2)e(y)=dx1+dx2182。x1182。x2182。f(x1,x2)x1182。f(x1,x2)x2e(y)=er(x1)+er(x2)相對誤差r182。x1y182。x2y機器數(shù)系注：≥2，且通常取8 （指數(shù)），有固定上下限L、U s=177。，定位部bpn11+2(b1)b(UL+1)1np舍入絕對 |xfl(x)|163。bb截斷絕對|x2fl(x)|163。bnbp|xfl(x)||xfl(x)|11n1n163。b163。b舍入相對截斷相對|x||x|2秦九韶算法方程求根f(x)=(xx*)mg(x)，g(x)185。0，x*為f（x）=0的m重根。二分法迭代法f(x)=0222。xk+1=j(xk)k=0、2……**lim{x}=x=j(x){xk}為迭代序列，j(x)為迭代函數(shù)，k174。165。k局部收斂注：如果知道近似值，可以用近似值代替根應用定理3判斷是否局部收斂牛頓迭代法f(x)=f(xk)+f(xk)(xxk)=0f(xk)xk+1=xk39。(k=0,1,2,L)f(xk)注：牛頓迭代對單根重根均局部收斂，只要初值足夠靠近真值。39。牛頓迭代法對初值要求很高，要保證初值在較大范圍內(nèi)也收斂，加如下四個條件注：證明牛頓迭代法大范圍收斂性，要構(gòu)造一個區(qū)間[ε,M(ε)],其中f(e)M(e)=e39。,在這個區(qū)間內(nèi)驗證這四個條件。f(e)如果知道根的位置，構(gòu)造[ε，M（ε）]時應該包括根，即ε+常數(shù)線性方程組求解有兩種方法：消去法和迭代法高斯消去法 利用線性代數(shù)中初等行變換將增廣矩陣轉(zhuǎn)化為等價上三角矩陣。注意：第一行第一列為0，將第一列不為0的某一行與第一行交換位置，繼續(xù)初等行變換。對角占優(yōu)矩陣233。a11234。aA=234。21234。M234。235。an1na12a22Man2La1n249。La2nM Lann則稱A為按行嚴格對角占優(yōu)矩陣 |aii|229。|aij|(i=1,2,L,n)j=1j185。in|ajj|229。|aij|(j=1,2,L,n)i=1i185。j則稱A為按列嚴格對角占優(yōu)矩陣aij=aji(i179。1,j163。n)x206。R,x185。0,(x,Ax)0則稱A是對稱正定的。當A是上面三種情況時，用高斯消去法消元時追趕法是高斯消元法的一種特例nakk185。0，不用換行。列主元高斯消元法|aik|，即第k次消元把k~n行第k列絕對值當|ask|=maxk163。i163。n最大的行（s行）調(diào)到第k行，再進行高斯消元。(k)(k)迭代序列構(gòu)造Ax=b222。x=Bx+f222。x第三個等式為迭代序列，B為迭代矩陣。迭代收斂判別：迭代矩陣范數(shù)小于1，PBP1結(jié)論：Ax=b有唯一解x*(k+1)=Bx(k)+f：迭代矩陣譜半徑小于1,r(B)1 Jacobi迭代法A=L+D+U其中L（low）為下三角，U為上三角，D為對角線元素迭代格式：x(k+1)PPPP=D(L+U)x(k)+D1b1PP迭代矩陣J=D(L+U)1PP收斂性判據(jù)：|lIJ|=0222。|D||L+lD+U|=0222。|L+lD+U|=0求出l最大值小于1（J的譜半徑小于1）迭代格式x(k+1)=D(Lx1P(k+1)Ux(k)+b)P(k)Px(k+1)=(D+L)UxP1P1+(D+L)1bP迭代矩陣：G=(D+L)UP常數(shù)矩陣：g=(D+L)1bP收斂性判據(jù)：PPPPP|lIG|=0222。|(D+L)||l(D+L)+U|=0222。|l(D+L)+U|=0求出l最大值小于1（G的譜半徑小于1）：當A是嚴格對角占優(yōu)的，則Jacobi和GaussSeidal迭代法均是收斂的1插值法用插值多項式p（