正弦定理證明范文合集(編輯修改稿)
2024-11-09 06:48 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 長分別約為5cm，10cm，=10187。10=10 000sin30sin60sin90abc對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。==sinAsinBsinC則有：提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論：abc，即在一個三角形中，==sinAsinBsinC各邊和它所對的角的正弦的比相等。提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900A，向量j與向量CB的夾角為900C，（如圖1），且有：AC+CB=AB，所以j(+)= j即j+ j = jAB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900C)=| j|||cos(900A)ac。=sinAsinCcbabc同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。===sinCsinBsinAsinBsinC③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與則得 a sinC = c sinA，即向量AB的夾角為A900，向量j與向量的夾角為900C，且有：+=，同樣可證得：abc。==sinAsinB提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。2．要重視綜合應用《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD^CD，AD=10，AB=14，208。BDA=60176。，208。BCD=135176。.：引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵208。BCD=135176。，208。BDC=30176。，∴需要求BD，而BD需在△A B四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理例2圖 求BC。3．要重視實際應用《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數(shù)學在解決問題中的作用，感受數(shù)學與日常生活及與其他學科的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。參考案例：解三角形在實際中的應用參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45o，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75o的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與乙船相遇？教學建議：引導學生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建DACB，容易計算出AB=20海里,BC=20海里，根據(jù)余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。答: 甲船沿北偏東75o的方向，．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB=BC=60m，在A，B，C三點ooo例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，60，若測量 E，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學建議：引導學生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已知量、未知量集中到有關三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學模型
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