【文章內(nèi)容簡介】 nx)2].以y1代z , 得所求方程的通解為yx[C(lnx)2]=1.經(jīng)過變量代換, 某些方程可以化為變量可分離的方程, 或化為已知其求解方法的方程.例5解方程a2dy=1.dxx+y解若把所給方程變形為dx=x+y,dy即為一階線性方程, 則按一階線性方程的解法可求得通解. 但這里用變量代換來解所給方程.令x+y=u, 則原方程化為du1=1, 即du=u+1.dxudxuudu=dx,u+1分離變量, 得兩端積分得uln|u+1|=xln|C|.以u=x+y代入上式, 得yln|x+y+1|=ln|C|, 或x=Ceyy1.作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）167。7. 5可降階的高階微分方程高等數(shù)學(xué)教案一、y(n)=f(x)型的微分方程解法: 積分n 次y(n1)=f(x)dx+C1, 242。y(n2)=[f(x)dx+C1]dx+C2, 242。242。 .例1 求微分方程y162。162。162。=e2xcos x 的通解.解 對所給方程接連積分三次, 得y162。162。=e2xsinx+C1,y162。=e2x+cosx+C1x+C2,y=e2x+sinx+C1x2+C2x+C3,這就是所給方程的通解.或y162。162。=e2xsinx+2C1,y162。=e2x+cosx+2C1x+C2,y=e2x+sinx+C1x2+C2x+C3,這就是所給方程的通解.例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動. 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù):F=F(t). 在開始時(shí)刻t=0時(shí)F(0)=F0, 隨著時(shí)間t的增大, 此力F均勻地減小, 直到t=T時(shí), F(T)=0. 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn), 且初速度為零, 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律.解 設(shè)x=x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置, 根據(jù)牛頓第二定律, 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程為m12141812121418d2x=F(t).2dt由題設(shè), 力F(t)隨t增大而均勻地減小, 且t=0時(shí), F(0)=F0, 所以F(t)=F0kt。 又當(dāng)t=T時(shí), F(T)=0, 從而F(t)=F0(1).于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的微分方程又寫為 tTd2x=F0(1t),Tdt2m高等數(shù)學(xué)教案其初始條件為x|t=0=0, dx|=0.dtt=0把微分方程兩邊積分, 得dx=F0(tt2)+C1.dtm2T再積分一次, 得F012t x=(t)+C1t+C2.m26T由初始條件x|t=0=0, 得C1=C2=0.于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律為 dx|=0,dtt=0F012t3x=(t), 0163。t163。T.m26T二、y162。162。= f(x, y162。)型的微分方程解法: 設(shè)y162。=p則方程化為p162。=f(x, p).設(shè)p162。=f(x, p)的通解為p=j(x,C1), 則dy=j(x,C1).dx原方程的通解為y=j(x,C1)dx+C2.例3 求微分方程(1+x2)y162。162。=2xy162。 滿足初始條件y|x=0=1, y162。|x=0=3 的特解.解 所給方程是y162。162。=f(x, y162。)型的. 設(shè)y162。=p, 代入方程并分離變量后, 有242。dp2x=dx.p1+x2兩邊積分, 得ln|p|=ln(1+x2)+C,即p=y162。=C1(1+x2)(C1=177。eC).由條件y162。|x=0=3, 得C1=3,所以y162。=3(1+x2).高等數(shù)學(xué)教案兩邊再積分, 得 y=x3+3x+C2.又由條件y|x=0=1, 得C2=1,于是所求的特解為y=x3+3x+1.例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索, 兩端固定, 繩索僅受重力的作用而下垂. 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?三、y162。162。=f(y, y162。)型的微分方程解法: 設(shè)y162。=p,有y162。162。=原方程化為 dpdpdydp==p.dxdydxdydp=f(y,p).dydp=f(y,p)的通解為y162。=p=j(y, C1), 則原方程的通解為 設(shè)方程pdypdy242。j(y,C1)=x+C2.dp,dy例5 求微分yy162。162。y162。2=0的通解.解 設(shè)y162。=p, 則y162。162。=p代入方程, 得ypdp2p=0.dy在y185。0、p185。0時(shí), 約去p并分離變量, 得dpdy=.py兩邊積分得ln|p|=ln|y|+lnc,即p=Cy或y162。=Cy(C=177。c).再分離變量并兩邊積分, 便得原方程的通解為ln|y|=Cx+lnc1,或y=C1eCx(C1=177。c1).作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）高等數(shù)學(xué)教案167。7. 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例例1 設(shè)有一個(gè)彈簧, 上端固定, 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體. 取x 軸鉛直向下, 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn).給物體一個(gè)初始速度v0185。0后, 物體在平衡位置附近作上下振動. 在振動過程中, 物體的位置x是t的函數(shù): x=x(t).設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c, 則恢復(fù)力f=cx.又設(shè)物體在運(yùn)動過程中受到的阻力的大小與速度成正比, 比例系數(shù)為m, 則Rmdx,dt由牛頓第二定律得2dxdxm2=cxm.dtdt移項(xiàng), 并記2n=mc, k2=,mmd2x+2ndx+k2x=0則上式化為,dtdt2這就是在有阻尼的情況下, 物體自由振動的微分方程.如果振動物體還受到鉛直擾力F=Hsin pt 的作用, 則有d2x+2ndx+k2x=hsinpt,dtdt2H其中h=. 這就是強(qiáng)迫振動的微分方程.m例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路, 其中R、L、及C為常高等數(shù)學(xué)教案數(shù), 電源電動勢是時(shí)間t的函數(shù): E=Emsinwt, 這里Em及w也是常數(shù).設(shè)電路中的電流為i(t), 電容器極板上的電量為q(t), 兩極板間的電壓為uc, 自感電動勢為EL . 由電學(xué)知道i=qdqdi, uc=, EL=L,CdtdtdiqRi=0,dtC根據(jù)回路電壓定律, 得ELd2ucduc+RC+uc=Emsinwt,即LCdtdt2或?qū)懗蒬2ucducEm2+2b+wu=sinwt,0c2dtLCdtR, w=1. 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程. 其中b=02LLC如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E=0), 則上述成為d2ucduc2+2b+w0uc=0.2dtdt二階線性微分方程: 二階線性微分方程的一般形式為y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x),若方程右端f(x)186。0時(shí), 方程稱為齊次的, 否則稱為非齊次的.二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)先討論二階齊次線性方程d2ydy+Q(x)y=0.y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0, 即2+P(x)dxdx定理1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=, 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程的解, 其中CC2是任意常數(shù).齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理.證明 [C1y1+C2y2]162。=C1 y1162。+C2 y2162。,高等數(shù)學(xué)教案[C1y1+C2y2]162。162。=C1 y1162。162。+C2 y2162。162。.因?yàn)閥1與y2是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0, 所以有y1162。162。+P(x)y1162。+Q(x)y1=0及y2162。162。+P(x)y2162。+Q(x)y2=0,從而[C1y1+C2y2]162。162。+P(x)[ C1y1+C2y2]162。+Q(x)[ C1y1+C2y2]=C1[y1162。162。+P(x)y1162。+Q(x)y1]+C2[y2162。162。+P(x)y2162。+Q(x)y2]=0+0=0.這就證明了y=C1y1(x)+C2y2(x)也是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0的解函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān):設(shè)y1(x), y2(x), , yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù). 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1, k2, , kn, 使得當(dāng)x206。I 時(shí)有恒等式k1y1(x)+k2y2(x)+ + knyn(x)186。0 成立, 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)。 否則稱為線性無關(guān).判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法:對于兩個(gè)函數(shù), 它們線性相關(guān)與否, 只要看它們的比是否為常數(shù), 如果比為常數(shù), 那么它們就線性相關(guān), 否則就線性無關(guān).例如, 1, cos2x , sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的. 函數(shù)1, x, x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的.定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解, 那么y=C1y1(x)+C2y2(x)(CC2是任意常數(shù))是方程的通解.例3 驗(yàn)證y1=cos x與y2=sin x是方程y162。162。+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解.解 因?yàn)閥1162。162。+y1=cos x+cos x=0,y2162。162。+y2=sin x+sin x=0,所以y1=cos x與y2=sin x都是方程的解.因?yàn)閷τ谌我鈨蓚€(gè)常數(shù)kk2, 要使k1cos x+k2sin x186。0,只有k1=k2=0, 所以cos x與sin x在(165。, +165。)內(nèi)是線性無關(guān)的.因此y1=cos x與y2=sin x是方程y162。162。+y=0的線性無關(guān)解.高等數(shù)學(xué)教案方程的通解為y=C1cos x+C2sin x.例4 驗(yàn)證y1=x與y2=ex是方程(x1)y162。162。xy162。+y=0的線性無關(guān)解, 并寫出其通解.解 因?yàn)?x1)y1162。162。xy1162。+y1=0x+x=0,(x1)y2162。162。xy2162。+y2=(x1)exxex+ex=0,所以y1=x與y2=ex都是方程的解,因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù), 所以y1=x與y2=ex在(165。, +165。)內(nèi)是線性無關(guān)的.因此y1=x 與y2=ex是方程(x1)y162。162。xy162。+y=0的線性無關(guān)解.方程的通解為y=C1x+C2e x.推論 如果y1(x), y2(x), , yn(x)是方程y(n)+a1(x)y(n1)+ +an1(x)y162。+ an(x)y=0 的n個(gè)線性無關(guān)的解, 那么, 此方程的通解為y=C1y1(x)+C2y2(x)+ + Cnyn(x),其中C1, C2, , Cn為任意常數(shù).二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu):我們把方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=0 叫做與非齊次方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x)對應(yīng)的齊次方程.定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x)的一個(gè)特解, Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解, 那么y=Y(x)+y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解.證明提示: [Y(x)+y*(x)]162。162。+P(x)[ Y(x)+y*(x)]162。+Q(x)[ Y(x)+y*(x)]= [Y 162。162。+P(x)Y 162。+Q(x)Y ]+[ y* 162。162。+P(x)y* 162。+Q(x)y*]=0+ f(x)= f(x).例如, Y=C1cos x+C2sin x 是齊次方程y162。162。+y=0的通解, y*=x22是y162。162。+y=x2 的一個(gè)特解, 因此y=C1cos x+C2sin x+x22高等數(shù)學(xué)教案是方程y162。162。+y=x2的通解.定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和, 如y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f1(x)+ f2(x),而y1*(x)與y2*(x)分別是方程y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f1(x)與y162。162。+P(x)y162。+Q(x)y=f2(x)的特解, 那么y1*(x)+y2*(x)就是原方程的特解.證明提示:[y1+y2*]162。162。+P(x)[ y1*+y2*]162。+Q(x)[ y1*+y2*]=[ y1*162。162。+P(x)y1*162。+Q(x)y1*]+[ y2*162。162。+P(x)y2*162。+Q(x)y2*]=f1(x)+f2(x).作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）167。7. 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程: 方程 y162。162。+py162。+qy=0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 其中p、q均為常數(shù).如果yy2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.我們看看,能否適當(dāng)選取r, 使y=erx滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程, 為此將y=erx代入方程