點與圓的位置關系教案(編輯修改稿)
2025-10-29 05:41 本頁面
【文章內容簡介】 r＜d＜k+r 4．其他(1)過圓上一點的切線方程：①圓x2+y2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則此點的切線方程為x0x+y0y=r2(課本命題)．②圓(xa)2+(yb)2=r2，圓上一點為(x0，y0)，則過此點的切線方程為(x0a)(xa)+(y0b)(yb)=r2(課本命題的推廣)．(2)相交兩圓的公共弦所在直線方程：設圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若兩圓相交，則過兩圓交點的直線方程為(D1D2)x+(E1E2)y+(F1F2)=0．(3)圓系方程：①設圓C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圓C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若兩圓相交，則過交點的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ為參數(shù)，圓系中不包括圓C2，λ=1為兩圓的公共弦所在直線方程)．②設圓C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0與直線l：Ax+By+C=0，若直線與圓相交，則過交點的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ為參數(shù))．(二)應用舉例和切點坐標．分析：求已知圓的切線問題，基本思路一般有兩個方面：(1)從代數(shù)特征分析；(2)從幾何特征分析．一般來說，從幾何特征分析計算量要小些．該例題由學生演板完成．∵圓心O(0，0)到切線的距離為4，把這兩個切線方程寫成注意到過圓x2+y2=r2上的一點P(x0，y0)的切線的方程為x0x+y0y=r2，例2已知實數(shù)A、B、C滿足A2+B2=2C2≠0，求證直線Ax+By+C=0與圓x2+y2=1交于不同的兩點P、Q，并求弦PQ的長．分析：證明直線與圓相交既可以用代數(shù)方法列方程組、消元、證明△＞0，又可以用幾何方法證明圓心到直線的距離小于圓半徑，由教師完成．證：設圓心O(0，0)到直線Ax+By+C=0的距離為d，則d=∴直線Ax+By+C=0與圓x2+y1=1相交于兩個不同點P、Q．例3求以圓C1∶x2+y212x2y13=0和圓C2：x2+y2+12x+16y25=0的公共弦為直徑的圓的方程．解法一：相減得公共弦所在直線方程為4x+3y2=0．∵所求圓以AB為直徑，于是圓的方程為(x2)2+(y+2)2=25． 解法二：設所求圓的方程為：x2+y212x2y13+λ(x2+y2+12x+16y25)=0(λ為參數(shù))∵圓心C應在公共弦AB所在直線上，∴ 所求圓的方程為x2+y24x+4y17=0． 小結：解法一體現(xiàn)了求圓的相交弦所在直線方程的方法；解法二采取了圓系方程求待定系數(shù)，解法比較簡練．(三)鞏固練習1．已知圓的方程是x2+y2=1，求：(1)斜率為1的切線方程；2．(1)圓(x1)2+(y+2)2=4上的點到直線2xy+1=0的最短距離是(2)兩圓C1∶x2+y24x+2y+4=0與C2∶x2+y2+2x6y26=0的位置關系是______．(內切)由學生口答．3．未經過原點，且過圓x2+y2+8x6y+21=0和直線xy+5=0的兩個交點的圓的方程．分析：若要先求出直線和圓的交點，根據(jù)圓的一般方程，由三點可求得圓的方程；若沒過交點的圓系方程，由此圓系過原點可確定參數(shù)λ，從而求得圓的方程．由兩個同學演板給出兩種解法：解法一：設所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0． ∵(0，0)，(2，3)，(4，1)三點在圓上，解法二：設過交點的圓系方程為：x2+y2+8x6y+21+λ(xy+5)=0．五、布置作業(yè)2．求證：兩圓x2+y24x6y+9=0和x2+y2+12x+6y19=0相外切． 3．求經過兩圓x2+y2+6x4=0和x2+y2+6y28=0的交點，并且圓心在直線xy4=0上的圓的方程．4．由圓外一點Q(a，b)向圓x2+y2=r2作割線交圓于A、B兩點，向圓x2+y2=r2作切線QC、QD，求：(1)切線長；(2)AB中點P的軌跡方程．
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