【文章內(nèi)容簡介】 用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 整體設計 教學分析 教科書結(jié)合實例展示了頻率分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) .對于眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念 ,重點放在比較它們的特點 ,以及它們的適用場合上 ,使學生能夠發(fā)現(xiàn) ,在日常生活中某些人通過混用這些（描述平均位置的）統(tǒng)計術(shù)語進行誤導 .另一方面 ,教科書通過思考欄目讓學生注意到 ,直接通過樣本計算所得到的中位數(shù)與通過頻率直方圖估計得到的中位數(shù)不同 .在得到這個結(jié)論后 ,教師可以舉一反三 ,使學生思考對于眾數(shù)和平均數(shù) ,是否也有類似的結(jié)論 .進一步 ,可以解釋對總體眾數(shù)、總體中位數(shù)和總體平均數(shù)的兩種不同估計方法的特點 .在知道樣本數(shù)據(jù)的具體數(shù)值時 ,通常通過樣本計算中位數(shù)、平均值和眾數(shù) ,并用它們估計總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù) .但有時我們得到的數(shù)據(jù)是整理過的數(shù)據(jù) ,比如在媒體中見到的頻數(shù)表或頻率表 ,用教科書中的方法 也可以得到總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)的估計 . 教科書通過幾個現(xiàn)實生活的例子 ,引導學生認識到：只描述平均位置的特征是不夠的 ,還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征 .通過對如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索 ,使學生體驗創(chuàng)造性思維的過程 .教科書通過例題向?qū)W生展示如何用樣本數(shù)字特征解決實際問題 ,通過閱讀與思考欄目 “生產(chǎn)過程中的質(zhì)量控制圖 ”,讓學生進一步體會分布的數(shù)字特征在實際中的應用 . 三維目標 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)；能用樣本的眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)估計總體的眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù) ,并結(jié)合實際 ,對問題作出合理判斷 ,制定解決問題的有效方法；初步體會、領(lǐng)悟 “用數(shù)據(jù)說話 ”的統(tǒng)計思想方法；通過對有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學生 “實事求是 ”的科學態(tài)度和嚴謹?shù)墓ぷ髯黠L . ,學會計算數(shù)據(jù)的標準差；能根據(jù)實際問題的需要合理地選取樣本 ,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標準差） ,并作出合理的解釋；會用樣本的基本數(shù)字特征估計總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程進行初步評價的意識 . ,進一步體會用樣本估計總體的思想 ,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學 思想和邏輯推理的數(shù)學方法；會用隨機抽樣的方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題 ,認識統(tǒng)計的作用 ,能夠辨證地理解數(shù)學知識與現(xiàn)實世界的聯(lián)系 . 重點難點 教學重點：根據(jù)實際問題對樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋 ,估計總體的基本數(shù)字特征；體會樣本數(shù)字特征具有隨機性 . 教學難點 ： 用樣本平均數(shù)和標準差估計總體的平均數(shù)與標準差；能應用相關(guān)知識解決簡單的實際問題 . 課時安排 2課時 教學過程 第 1課時 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 導入新課 思路 1 在一次射擊比賽中 ,甲、乙兩名運動員各射擊 10次 ,命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運動員 :7,8,6,8,6,5,8,10,7,4； 乙運動員 :9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 觀察上述樣本數(shù)據(jù) ,你能判斷哪個運動員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律 ,我們要通過樣本的數(shù)據(jù)對總體的數(shù)字特征進行研究 .——用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征 .(板書課題 ) 思路 2 在日常生活中 ,我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài) ,而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征 ,例如：買燈泡時 ,我們希望知道燈泡的平均使用壽命 ,我們怎樣了解燈泡的使用壽命呢？當然不能把所有燈泡 一一測試 ,因為測試后燈泡則報廢了 .于是 ,需要通過隨機抽樣 ,把這批燈泡的壽命看作總體 ,從中隨機取出若干個個體作為樣本 ,算出樣本的數(shù)字特征 ,用樣本的數(shù)字特征來估計總體的數(shù)字特征 . 推進新課 新知探究 提出問題 (1)什么是眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)？ (1)如何繪制頻率分布直方圖？ (3)如何從頻率分布直方圖中估計眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)？ 活動 :那么學生回憶初中所學的一些統(tǒng)計知識 ,思考后展開討論 ,教師提示引導 . 討論結(jié)果： (1)初中我們曾經(jīng)學過眾數(shù)（在一組數(shù)據(jù)中 ,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù)） 、 中位數(shù)（在按大小順序排列的 一組數(shù)據(jù)中 ,居于中間的數(shù)稱為中位數(shù)） 、 平均數(shù)（一般是一組數(shù)據(jù)和的算術(shù)平均數(shù)）等各種數(shù)字特征 ,應當說 ,這些數(shù)字都能夠為我們提供關(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息 . (2)畫頻率分布直方圖的一般步驟為：計算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 ,即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫頻率分布直方圖 . (3)教材前面一節(jié)在調(diào)查 100 位居民的月均用水量的問題中 ,從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出 ,月均用水量的眾數(shù)是 t（最高的矩形的中點） ,它告訴我們 ,該市的月均用水量為 t的居民數(shù)比月均用水量為其他值 的居民數(shù)多 ,但它并沒有告訴我們到底多多少 . 請大家翻回到課本看看原來抽樣的數(shù)據(jù) ,有沒有 這個數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義 ,？為什么？（請大家思考作答） 分析： 這是因為樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了 ,而 是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來的 ,所以存在一些偏差 . 提問：那么如何從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)呢？ 分析： 在樣本數(shù)據(jù)中 ,有 50%的個體小于或等于中位數(shù) ,也有 50%的個體大于或等于中位數(shù) .因此 ,在頻率分布直方圖中 ,矩形的面積大小正 好表示頻率的大小 ,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等 .由此可以估計出中位數(shù)的值為 . 思考： ,與樣本的中位數(shù)值 ,你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了） 課本顯示 ,大部分居民的月均用水量在中部（ t左右） ,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高 ,顯然 ,對這部分居民的用水量作出限制是非常合理的 . 思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個極端值的影響 ,這在某些情況下是一個優(yōu)點 ,但是它對極端值的不敏感有時也會成為缺點 ,你能舉 例說明嗎？（讓學生討論 ,并舉例） 對極端值不敏感有利的例子：考察課本中表 21中的數(shù)據(jù) ,如果把最后一個數(shù)據(jù)錯寫成 22,并不會對樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響 .也就是說對極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預防錯誤數(shù)據(jù)的影響 ,而在實際應用中 ,人為操作的失誤經(jīng)常造成錯誤數(shù)據(jù) . 對極端值不敏感有弊的例子 :某人具有初級計算機專業(yè)技術(shù)水平 ,想找一份收入好的工作 ,這時如果采用各個公司計算機專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標就會冒這樣的風險 :很可能所選擇公司的初級計算機專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低 ,其原因是中位數(shù)對極小的數(shù)據(jù)不敏感 .這里更好的方法是同時用平均工資和中位數(shù)來作為參考指標 ,選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè) .對極端值不敏感的方法 ,不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況 . 同樣的 ,可以從頻率分布直方圖中估計平均數(shù) ,上圖就顯示了居民用水的平均數(shù) ,它等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和 .由估計可知 ,居民的月均用水量的平均值為 t. 顯示了居民月均用水量的平均數(shù) ,它是頻率分布直方圖的 “重心 ”.由于平均數(shù)與每一個樣本數(shù)據(jù)有關(guān) ,所以 ,任何一個樣本數(shù)據(jù)的改變都 會引起平均數(shù)的改變 .這是中位數(shù) 、 眾數(shù)都不具有的性質(zhì) .也正因為這個原因 ,與眾數(shù) 、 中位數(shù)比較起來 ,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息 .從圖上可以看出 ,用水量最多的幾個居民對平均數(shù)影響較大 ,這是因為他們的月均用水量與平均數(shù)相差太多了 . 利用頻率分布直方圖估計眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點數(shù)字 .（最高矩形的中點） 估計中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等 . 估計平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和 . 總之 ,眾 數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對數(shù)據(jù)中心位置的描述 ,可以作為總體相應特征的估計 .樣本眾數(shù)易計算 ,但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息 ,不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息 ,與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個數(shù)據(jù)的影響 ,絕對值越大的數(shù)據(jù) ,對平均數(shù)的影響也越大．三者相比 ,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息 ,描述了數(shù)據(jù)的平均水平 ,是一組數(shù)據(jù)的 “重心 ”. 應用示例 思路 1 例 1 （ 1）若 M 個數(shù)的平均數(shù)是 X,N 個數(shù)的平均數(shù)是 Y,則這 M+N 個數(shù)的平均數(shù)是 ___________； （ 2）如果兩組數(shù) x1,x2,… ,xn 和 y1,y2,…,y n 的樣本平均數(shù)分別是 x 和 y,那么一組數(shù)x1+y1,x2+y2,…,x n+yn的平均數(shù)是 ___________． 活動：學生思考或交流 ,教師提示 ,根據(jù)平均數(shù)的定義得到結(jié)論 . 解： （ 1）NM NYMX??； （ 2）2yx?. 例 2 某校高一年級的甲、乙兩個班級（均為 50人）的語文測試成績?nèi)缦拢偡郑?150分） ,試確定這次考試中 ,哪個班的語文成績更好一些． 甲班 ： 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班 ： 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110 分析： 我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平 ,因此 ,分別求出甲、乙兩個班的平均分即可． 解： 用計算器分別求出甲班的平均分為 ,乙班的平均分為 ,故這次考試乙班成績要好于甲班． 思路 2 例 1 下面是某校學生日睡眠時間抽樣頻率分布表 (單位 ： h),試估計該校學生的日平均睡眠時間． 睡眠時間 人數(shù) 頻率 ［ 6,) 5 0． 05 ［ ,7) 17 0． 17 ［ 7,) 33 0． 33 ［ ,8) 37 0． 37 ［ 8,) 6 0． 06 ［ ,9) 2 0． 02 合計 100 1 分析： 要確定這 100 名學生的平均睡眠時間 ,就必須計算其總睡眠時間 ,由于每組