【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 整體設(shè)計(jì) 教學(xué)分析 教科書(shū)結(jié)合實(shí)例展示了頻率分布的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù) .對(duì)于眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念 ,重點(diǎn)放在比較它們的特點(diǎn) ,以及它們的適用場(chǎng)合上 ,使學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn) ,在日常生活中某些人通過(guò)混用這些（描述平均位置的）統(tǒng)計(jì)術(shù)語(yǔ)進(jìn)行誤導(dǎo) .另一方面 ,教科書(shū)通過(guò)思考欄目讓學(xué)生注意到 ,直接通過(guò)樣本計(jì)算所得到的中位數(shù)與通過(guò)頻率直方圖估計(jì)得到的中位數(shù)不同 .在得到這個(gè)結(jié)論后 ,教師可以舉一反三 ,使學(xué)生思考對(duì)于眾數(shù)和平均數(shù) ,是否也有類似的結(jié)論 .進(jìn)一步 ,可以解釋對(duì)總體眾數(shù)、總體中位數(shù)和總體平均數(shù)的兩種不同估計(jì)方法的特點(diǎn) .在知道樣本數(shù)據(jù)的具體數(shù)值時(shí) ,通常通過(guò)樣本計(jì)算中位數(shù)、平均值和眾數(shù) ,并用它們估計(jì)總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù) .但有時(shí)我們得到的數(shù)據(jù)是整理過(guò)的數(shù)據(jù) ,比如在媒體中見(jiàn)到的頻數(shù)表或頻率表 ,用教科書(shū)中的方法 也可以得到總體的中位數(shù)、均值和眾數(shù)的估計(jì) . 教科書(shū)通過(guò)幾個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的例子 ,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到：只描述平均位置的特征是不夠的 ,還需要描述樣本數(shù)據(jù)離散程度的特征 .通過(guò)對(duì)如何描述數(shù)據(jù)離散程度的探索 ,使學(xué)生體驗(yàn)創(chuàng)造性思維的過(guò)程 .教科書(shū)通過(guò)例題向?qū)W生展示如何用樣本數(shù)字特征解決實(shí)際問(wèn)題 ,通過(guò)閱讀與思考欄目 “生產(chǎn)過(guò)程中的質(zhì)量控制圖 ”,讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)分布的數(shù)字特征在實(shí)際中的應(yīng)用 . 三維目標(biāo) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)；能用樣本的眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)估計(jì)總體的眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù) ,并結(jié)合實(shí)際 ,對(duì)問(wèn)題作出合理判斷 ,制定解決問(wèn)題的有效方法；初步體會(huì)、領(lǐng)悟 “用數(shù)據(jù)說(shuō)話 ”的統(tǒng)計(jì)思想方法；通過(guò)對(duì)有關(guān)數(shù)據(jù)的搜集、整理、分析、判斷，培養(yǎng)學(xué)生 “實(shí)事求是 ”的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng) . ,學(xué)會(huì)計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差；能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要合理地選取樣本 ,從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（如平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差） ,并作出合理的解釋；會(huì)用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對(duì)數(shù)據(jù)處理過(guò)程進(jìn)行初步評(píng)價(jià)的意識(shí) . ,進(jìn)一步體會(huì)用樣本估計(jì)總體的思想 ,理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué) 思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)方法；會(huì)用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 ,認(rèn)識(shí)統(tǒng)計(jì)的作用 ,能夠辨證地理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系 . 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題對(duì)樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)據(jù)特征并作出合理解釋 ,估計(jì)總體的基本數(shù)字特征；體會(huì)樣本數(shù)字特征具有隨機(jī)性 . 教學(xué)難點(diǎn) ： 用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差；能應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題 . 課時(shí)安排 2課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第 1課時(shí) 眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù) 導(dǎo)入新課 思路 1 在一次射擊比賽中 ,甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員各射擊 10次 ,命中環(huán)數(shù)如下﹕ 甲運(yùn)動(dòng)員 :7,8,6,8,6,5,8,10,7,4； 乙運(yùn)動(dòng)員 :9,5,7,8,7,6,8,6,7,7. 觀察上述樣本數(shù)據(jù) ,你能判斷哪個(gè)運(yùn)動(dòng)員發(fā)揮得更穩(wěn)定些嗎？為了從整體上更好地把握總體的規(guī)律 ,我們要通過(guò)樣本的數(shù)據(jù)對(duì)總體的數(shù)字特征進(jìn)行研究 .——用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征 .(板書(shū)課題 ) 思路 2 在日常生活中 ,我們往往并不需要了解總體的分布形態(tài) ,而是更關(guān)心總體的某一數(shù)字特征 ,例如：買(mǎi)燈泡時(shí) ,我們希望知道燈泡的平均使用壽命 ,我們?cè)鯓恿私鉄襞莸氖褂脡勖?？?dāng)然不能把所有燈泡 一一測(cè)試 ,因?yàn)闇y(cè)試后燈泡則報(bào)廢了 .于是 ,需要通過(guò)隨機(jī)抽樣 ,把這批燈泡的壽命看作總體 ,從中隨機(jī)取出若干個(gè)個(gè)體作為樣本 ,算出樣本的數(shù)字特征 ,用樣本的數(shù)字特征來(lái)估計(jì)總體的數(shù)字特征 . 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 (1)什么是眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)？ (1)如何繪制頻率分布直方圖？ (3)如何從頻率分布直方圖中估計(jì)眾數(shù) 、 中位數(shù) 、 平均數(shù)？ 活動(dòng) :那么學(xué)生回憶初中所學(xué)的一些統(tǒng)計(jì)知識(shí) ,思考后展開(kāi)討論 ,教師提示引導(dǎo) . 討論結(jié)果： (1)初中我們?cè)?jīng)學(xué)過(guò)眾數(shù)（在一組數(shù)據(jù)中 ,出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)稱為眾數(shù)） 、 中位數(shù)（在按大小順序排列的 一組數(shù)據(jù)中 ,居于中間的數(shù)稱為中位數(shù)） 、 平均數(shù)（一般是一組數(shù)據(jù)和的算術(shù)平均數(shù)）等各種數(shù)字特征 ,應(yīng)當(dāng)說(shuō) ,這些數(shù)字都能夠?yàn)槲覀兲峁╆P(guān)于樣本數(shù)據(jù)的特征信息 . (2)畫(huà)頻率分布直方圖的一般步驟為：計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差 ,即求極差；決定組距與組數(shù)；將數(shù)據(jù)分組；列頻率分布表；畫(huà)頻率分布直方圖 . (3)教材前面一節(jié)在調(diào)查 100 位居民的月均用水量的問(wèn)題中 ,從這些樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖可以看出 ,月均用水量的眾數(shù)是 t（最高的矩形的中點(diǎn)） ,它告訴我們 ,該市的月均用水量為 t的居民數(shù)比月均用水量為其他值 的居民數(shù)多 ,但它并沒(méi)有告訴我們到底多多少 . 請(qǐng)大家翻回到課本看看原來(lái)抽樣的數(shù)據(jù) ,有沒(méi)有 這個(gè)數(shù)值呢？根據(jù)眾數(shù)的定義 ,？為什么？（請(qǐng)大家思考作答） 分析： 這是因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了 ,而 是由樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖得來(lái)的 ,所以存在一些偏差 . 提問(wèn)：那么如何從頻率分布直方圖中估計(jì)中位數(shù)呢？ 分析： 在樣本數(shù)據(jù)中 ,有 50%的個(gè)體小于或等于中位數(shù) ,也有 50%的個(gè)體大于或等于中位數(shù) .因此 ,在頻率分布直方圖中 ,矩形的面積大小正 好表示頻率的大小 ,即中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應(yīng)該相等 .由此可以估計(jì)出中位數(shù)的值為 . 思考： ,與樣本的中位數(shù)值 ,你能解釋其中的原因嗎？（原因同上：樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖把原始的一些數(shù)據(jù)給遺失了） 課本顯示 ,大部分居民的月均用水量在中部（ t左右） ,但是也有少數(shù)居民的月均用水量特別高 ,顯然 ,對(duì)這部分居民的用水量作出限制是非常合理的 . 思考：中位數(shù)不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響 ,這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn) ,但是它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)成為缺點(diǎn) ,你能舉 例說(shuō)明嗎？（讓學(xué)生討論 ,并舉例） 對(duì)極端值不敏感有利的例子：考察課本中表 21中的數(shù)據(jù) ,如果把最后一個(gè)數(shù)據(jù)錯(cuò)寫(xiě)成 22,并不會(huì)對(duì)樣本中位數(shù)產(chǎn)生影響 .也就是說(shuō)對(duì)極端數(shù)據(jù)不敏感的方法能夠有效地預(yù)防錯(cuò)誤數(shù)據(jù)的影響 ,而在實(shí)際應(yīng)用中 ,人為操作的失誤經(jīng)常造成錯(cuò)誤數(shù)據(jù) . 對(duì)極端值不敏感有弊的例子 :某人具有初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平 ,想找一份收入好的工作 ,這時(shí)如果采用各個(gè)公司計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)人員收入的中位數(shù)作為選擇工作的參考指標(biāo)就會(huì)冒這樣的風(fēng)險(xiǎn) :很可能所選擇公司的初級(jí)計(jì)算機(jī)專業(yè)技術(shù)水平人員的收入很低 ,其原因是中位數(shù)對(duì)極小的數(shù)據(jù)不敏感 .這里更好的方法是同時(shí)用平均工資和中位數(shù)來(lái)作為參考指標(biāo) ,選擇平均工資較高且中位數(shù)較大的公司就業(yè) .對(duì)極端值不敏感的方法 ,不能反映數(shù)據(jù)中的極端情況 . 同樣的 ,可以從頻率分布直方圖中估計(jì)平均數(shù) ,上圖就顯示了居民用水的平均數(shù) ,它等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 .由估計(jì)可知 ,居民的月均用水量的平均值為 t. 顯示了居民月均用水量的平均數(shù) ,它是頻率分布直方圖的 “重心 ”.由于平均數(shù)與每一個(gè)樣本數(shù)據(jù)有關(guān) ,所以 ,任何一個(gè)樣本數(shù)據(jù)的改變都 會(huì)引起平均數(shù)的改變 .這是中位數(shù) 、 眾數(shù)都不具有的性質(zhì) .也正因?yàn)檫@個(gè)原因 ,與眾數(shù) 、 中位數(shù)比較起來(lái) ,平均數(shù)可以反映出更多的關(guān)于樣本數(shù)據(jù)全體的信息 .從圖上可以看出 ,用水量最多的幾個(gè)居民對(duì)平均數(shù)影響較大 ,這是因?yàn)樗麄兊脑戮盟颗c平均數(shù)相差太多了 . 利用頻率分布直方圖估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)： 估計(jì)眾數(shù)：頻率分布直方圖面積最大的方條的橫軸中點(diǎn)數(shù)字 .（最高矩形的中點(diǎn)） 估計(jì)中位數(shù)：中位數(shù)把頻率分布直方圖分成左右兩邊面積相等 . 估計(jì)平均數(shù)：頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和 . 總之 ,眾 數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)都是對(duì)數(shù)據(jù)中心位置的描述 ,可以作為總體相應(yīng)特征的估計(jì) .樣本眾數(shù)易計(jì)算 ,但只能表達(dá)樣本數(shù)據(jù)中的很少一部分信息 ,不一定唯一；中位數(shù)僅利用了數(shù)據(jù)中排在中間數(shù)據(jù)的信息 ,與數(shù)據(jù)的排列位置有關(guān)；平均數(shù)受樣本中的每一個(gè)數(shù)據(jù)的影響 ,絕對(duì)值越大的數(shù)據(jù) ,對(duì)平均數(shù)的影響也越大．三者相比 ,平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息 ,描述了數(shù)據(jù)的平均水平 ,是一組數(shù)據(jù)的 “重心 ”. 應(yīng)用示例 思路 1 例 1 （ 1）若 M 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 X,N 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 Y,則這 M+N 個(gè)數(shù)的平均數(shù)是 ___________； （ 2）如果兩組數(shù) x1,x2,… ,xn 和 y1,y2,…,y n 的樣本平均數(shù)分別是 x 和 y,那么一組數(shù)x1+y1,x2+y2,…,x n+yn的平均數(shù)是 ___________． 活動(dòng)：學(xué)生思考或交流 ,教師提示 ,根據(jù)平均數(shù)的定義得到結(jié)論 . 解： （ 1）NM NYMX??； （ 2）2yx?. 例 2 某校高一年級(jí)的甲、乙兩個(gè)班級(jí)（均為 50人）的語(yǔ)文測(cè)試成績(jī)?nèi)缦拢偡郑?150分） ,試確定這次考試中 ,哪個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)更好一些． 甲班 ： 112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班 ： 116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110 分析： 我們可用一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)衡量這組數(shù)據(jù)的集中水平 ,因此 ,分別求出甲、乙兩個(gè)班的平均分即可． 解： 用計(jì)算器分別求出甲班的平均分為 ,乙班的平均分為 ,故這次考試乙班成績(jī)要好于甲班． 思路 2 例 1 下面是某校學(xué)生日睡眠時(shí)間抽樣頻率分布表 (單位 ： h),試估計(jì)該校學(xué)生的日平均睡眠時(shí)間． 睡眠時(shí)間 人數(shù) 頻率 ［ 6,) 5 0． 05 ［ ,7) 17 0． 17 ［ 7,) 33 0． 33 ［ ,8) 37 0． 37 ［ 8,) 6 0． 06 ［ ,9) 2 0． 02 合計(jì) 100 1 分析： 要確定這 100 名學(xué)生的平均睡眠時(shí)間 ,就必須計(jì)算其總睡眠時(shí)間 ,由于每組