【文章內(nèi)容簡介】 E ， ∴△ ABE ≌△ FCE ( A A S ) ． 第 26講 ┃ 歸類示例 ( 2 ) ∵∠ AEC ＝ ∠ ABE ＋ ∠ BAE ， 又 ∵∠ AEC ＝ 2 ∠ ABC ， ∴∠ ABE ＝ ∠ BAE ， ∴ AE ＝ BE . 由 ( 1 ) △ ABE ≌△ FCE ，得 AE ＝ EF . ∴ CE ＝ FE ， ∴ AE ＝ EF ＝ BE ＝ CE ，則 AF ＝ BC ， 故四邊形 ABFC 為矩形 ( 對角線相等且平分的四邊形是矩形 ) ． 第 26講 ┃ 歸類示例 矩形是特殊的平行四邊形，它具有平行四邊形的所有性質(zhì)，同時也具有特殊的性質(zhì)；同時，判定矩形的方法也是多樣的，可以先判定這個四邊形是平行四邊形，然后判斷是矩形 ． ? 類型之二 菱形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用 第 26講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 菱形的性質(zhì)； 2. 菱形的判定 ． 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 2021 重慶 ] 已知：如圖 26 － 3 ，在菱形 A BCD 中，F(xiàn) 為邊 BC 的中點， DF 與對角線 AC 交于點 M ，過 M 作ME ⊥ CD 于點 E ， ∠ 1 ＝ ∠ 2. (1) 若 CE ＝ 1 ，求 BC 的長； (2) 求證： AM ＝ DF ＋ ME . 圖 26 － 3 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 根據(jù)菱形的對邊平行可得 AB ∥ CD ，可得 ∠ 1 ＝∠ ACD ，所以 ∠ ACD ＝ ∠ 2 ，得 CM ＝ DM ，根據(jù)等腰三角形 “ 三線合一 ” 的性質(zhì)可得 CE ＝ DE ； (2) 證明 △ CEM 和 △ CFM 全等，得 ME ＝ MF ，延長 AB 、 DF 交于點 N ，然后證明 ∠ 1 ＝ ∠ N ，得AM ＝ NM ，再利用 “ 角角邊 ” 證明 △ CDF 和 △ BNF 全等，得 NF＝ DF ，最后結(jié)合圖形 NM ＝ NF ＋ MF 即可得證． 第 26講 ┃ 歸類示例 解： ( 1 ) ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴ AB ∥ CD ， BC ＝ CD . ∴∠ 1 ＝ ∠ ACD ， 又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ ACD ＝ ∠ 2 ， ∴ MC ＝ MD . 又 ∵ ME ⊥ CD ， ∴ CE ＝ ED ＝12CD ， ∴ BC ＝ CD ＝ 2 CE ＝ 2. 第 26講 ┃ 歸類示例 ( 2) 證明： 延長 DF 、 AB 交于點 N ， ∵ 四邊形 ABCD 是菱形， ∴∠ FCM ＝ ∠ ECM . 又 ∵ F 為邊 BC 的中點， ∴ CF ＝ BF ＝12BC . 由 ( 1 ) 可知 CE ＝ ED ＝12CD ， ∴ CF ＝ CE . ∴△ C M F ≌△ C M E ， ∴ MF ＝ ME . ∵ AB ∥ CD ， ∴∠ 2 ＝ ∠ N ， ∠ NB F ＝ ∠ DC F . 又 ∵ BF ＝ CF ， ∴△ C DF ≌△ B NF . ∴ NF ＝ DF . 又 ∵∠ 1 ＝ ∠ 2 ， ∴∠ N ＝ ∠ 1. ∴ AM ＝ MN ＝ NF ＋ MF ＝ DF ＋ ME . 第 26講 ┃ 歸類示例 在證明一個四邊形是菱形時，要注意判別條件是平行四邊形還是任意四邊形 ． 若是任意四邊形，則需證四條邊都相等；若是平行四邊形，則需利用對角線互相垂直或一組鄰邊相等來證明 ． ? 類型之三 正方形的性質(zhì)及判定的應(yīng)用 第 26講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 正方形的性質(zhì)的應(yīng)用； 2. 正方形的判定 ． [ 2021 黃岡 ] 如圖 26 － 4 ，在正方形 A BCD 中，對角線AC 、 BD 相交于點 O ， E 、 F 分別在 OD 、 OC 上，且 DE ＝ CF ，連結(jié) DF 、 AE ， AE 的延長線交 DF 于點 M . 求證： AM ⊥ DF . 圖 26 － 4 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 根據(jù) DE ＝ CF ，可得出 OE ＝ OF ，繼而證明△ AOE ≌△ DOF ，得出 ∠ OAE ＝ ∠ ODF ，然后利用等角代換可得出 ∠ DME ＝ 90 176。 ，即可得出結(jié)論． 證明： ∵ 四邊形 AB C D 是正方形， ∴ OD ＝ OC . 又 ∵ DE ＝ CF ， ∴ OD － DE ＝ OC － CF ，即 OF ＝ OE ， 在 Rt △ AOE 和 Rt △ DOF 中，????? AO ＝ DO ，∠ AOD ＝ ∠ DOF ，OE ＝ OF ， ∴△ AOE ≌△ DOF ， ∴∠ OAE ＝ ∠ ODF . ∵∠ OAE ＋ ∠ AEO ＝ 90 176。 ， ∠ AEO ＝ ∠ DEM ， ∴∠ ODF ＋ ∠ DEM ＝ 90 176。 ， 即可得 AM ⊥ DF . 第 26講 ┃ 歸類示例 正方形是特殊的平行四邊形，還是特殊的矩形，特殊的菱形，因此正方形具有這些圖形的所有性質(zhì)；正方形的判定方法有兩條道路： ( 1 ) 先判定四邊形是矩形，再判定這個矩形是菱形； ( 2 ) 先判定四邊形是菱形，再判定這個菱形是矩形 ． ? 類型之四 特殊平行四邊形的綜合應(yīng)用 第 26講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用； 2. 矩形、菱形 、正方形的關(guān)系轉(zhuǎn)化 ． 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 2021 婁底 ] 如圖 26 － 5 ，在矩形 ABCD 中， M 、 N 分別是 AD 、 BC 的中點， P 、 Q 分別是 BM 、 DN 的中點． (1) 求證： △ MBA ≌△ NDC ； (2) 四邊形 MPNQ 是什么樣的特殊四邊形？請說明理由． 圖 26 － 5 第 26講 ┃ 歸類示例 解： (1) 證明：在矩形 AB C D 中， AB ＝ CD ， AD ＝ BC ， ∠ A ＝ ∠ C ＝ 90 176。 . ∵ M 、 N 分別是 AD 、 BC 的中點， ∴ AM ＝ CN . ∴△ MBA ≌△ NDC . (2) 四邊形 MPNQ 是菱形． 理由： ∵△ MBA ≌△ NDC ， ∴ BM ＝ DN . 連結(jié) MN ，則 MN ∥ AB ∥ CD ， 得 ∠ BNM ＝ ∠ DMN ＝ 90 176。 . ∵ P 、 Q 分別是 BM 、 DN 的中點， ∴ PN ＝ MP ＝12BM ， MQ ＝ QN ＝12DN ， ∴ PN ＝ MP ＝ MQ ＝ QN . ∴ 四邊形 MPNQ 是菱形． ? 類型之五 中點四邊形 第 26講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 對角線相等的四邊形的中點四邊形； 2. 對角線互相垂直的四邊形的中點四邊形 ． 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 邵陽 ] 在四邊形 AB C D 中， E 、 F 、 G 、 H 分別是 AB 、 BC 、 CD 、 DA 的中點，順次連 接 EF 、 FG 、 GH 、HE . (1) 請判斷四邊形 EFGH 的形狀，并給予證明； (2) 試添加一個條 件，使四邊形 E FG H 是菱形 ( 寫出你所添加的條件，不要求證明 ) ． 圖 26 － 6 第 26講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 連 接 四邊形對角線，利用三角形中位線定理證明． 解： (1) 四邊形 EF GH 是平行四邊形．證明如下： 連 接 AC 、 BD ，由 E 、 F 、 G 、 H 分別是所在邊的中點，知EF ∥ AC ，且 EF ＝12AC ， GH ∥ AC ，且 GH ＝12AC ， ∴ GH ∥ EF ，且 GH ＝ EF ，故四邊形 EF GH 是平行四