【文章內容簡介】 點的半徑 ” ，所以連結切點和圓心構適垂直或直角三角形是進行有關證明和計算的常用方法． ? 類型之三 圓的切線的判定方法 第 29講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 利用圓心到一條直線的距離等于圓的半徑，判定這條直線是圓的切線； 2. 利用一條直線經過半徑的外端，且垂直于這條半徑，判定這條直線是圓的切線 ． 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 2021 臨沂 ] 如圖 29 － 2 ，點 A 、 B 、 C 分別是 ⊙ O 上的點， ∠ B ＝ 60 176。 ， AC ＝ 3 ， CD 是 ⊙ O 的直徑， P 是 CD 延長線上的一點，且 AP ＝ AC . ( 1 ) 求證： AP 是 ⊙ O 的切線； ( 2 ) 求 PD 的長 ． 圖 29 － 2 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 首先連 接 OA ，利用圓周角定理 ，即可求得 ∠ AOC 的度數，利用等邊對等角求得 ∠ P AO ＝ 90 176。 ， 則可證得 AP 是 ⊙ O 的切線； (2) 由 CD 是 ⊙ O 的直徑，即可得 ∠ DAC ＝ 90 176。 ，然后利用三角函數與等腰三角形的判定定理，即可求得 PD 的長． 第 29講 ┃ 歸類示例 解： (1) 證明：連 接 OA . ∵∠ B ＝ 60 176。 ， ∴∠ AOC ＝ 2 ∠ B ＝ 120 176。 . 又 ∵ OA ＝ OC , ∴∠ A CP ＝ ∠ CAO ＝ 30 176。 . ∴∠ AOP ＝ 60 176。 . 又 ∵ AC ＝ A P , ∴∠ P ＝ ∠ ACP ＝ 30 176。 . ∴∠ OAP ＝ 90 176。 . ∴ OA ⊥ AP , 故 AP 是 ⊙ O 的切線． (2) 連 接 AD . ∵ CD 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ CAD ＝ 90 176。 . ∴ AD ＝ AC tan30 176。 ＝ 3 33＝ 3 . ∵∠ ADC ＝ ∠ B ＝ 60 176。 ， ∴∠ P AD ＝ ∠ ADC － ∠ P ＝ 60 176。 － 30 176。 ＝ 30 176。 ， ∴∠ P ＝ ∠ P AD ， ∴ PD ＝ AD ＝ 3 . 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 安順 ] 已知：如圖 29 － 3 ，在 △ ABC 中， BC＝ AC ，以 BC 為直徑的 ⊙ O 與邊 AB 相交于點 D ， DE ⊥ AC ，垂足為點 E . (1) 求證：點 D 是 AB 的中點； (2) 判斷 DE 與 ⊙ O 的位置關系，并證明你的 結論． 圖 29 － 3 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 連 接 CD ，利用等腰三角形底邊上的高也是底邊上的中線證明． 解： (1 ) 證明：連 接 CD ，因為 BC 為 ⊙ O 的直徑， 則 CD ⊥ AB . ∵ AC ＝ BC ， ∴ AD ＝ BD ，即點 D 是 AB的中點． (2) DE 是 ⊙ O 的切線 . 證明：連 接 OD , 則 DO 是 △ ABC 的中位線， ∴ DO ∥ AC . 又 ∵ DE ⊥ AC ， ∴ DE ⊥ DO ，即 DE 是 ⊙ O 的切線． 第 29講 ┃ 歸類示例 在涉及切線問題時，常連結過切點的半徑，要想證明一條直線是圓的切線，常常需要作輔助線．如果已知直線過圓上某一點，則作出過這一點的半徑，證明直線垂直于半徑；如果直線與圓的公共點沒有確定，則應過圓心作直線的垂線，證明圓心到直線的距離等于半徑． ? 類型之四 三角形的內切圓 第 29講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 三角形的內切圓的定義； 2. 求三角形的內切圓的半徑 ． [ 2021 玉林 ] 如圖 29 － 4 ， Rt △ ABC 的內切圓 ⊙ O 與兩直角邊 AB 、 BC 分別相切于點 D 、 E ，過劣弧 DE ( 不包括端點 D 、E ) 上任一點 P 作 ⊙ O 的切線 MN ，與 AB 、 BC 分別交于點 M 、 N ，若 ⊙ O 的半徑為 r ，則 Rt △ MBN 的周長為 ( ) A ． r B. 32r C ． 2 r D. 52r 圖 29 － 4 C 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 連 接 OD 、 OE ，則 ∠ ODB ＝ ∠ DBE ＝ ∠ OEB ＝90 176。，推出四邊形 ODBE 是正方形，得出 BD ＝ BE ＝ OD ＝OE ＝ r . 根據切線長定理得出 MP ＝ DM ， NP ＝ NE , Rt △ MBN 的周長為： MB ＋ NB ＋ MN ＝ MB ＋ BN ＋ NE＋ DM ＝ BD ＋ BE ＝ r ＋ r ＝ 2 r ，故選 C. 第 29講 ┃ 歸類示例 解三角形內切圓問題，主要是切線長定理的運用 ． 解決此類問題，常轉化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性質及三角函數等解決 ． 第 30講 ┃ 圓與圓的位置關系 第 30講 ┃ 考點聚焦 考點聚焦 考點 1 圓和圓的位置關系 外離 ? ____ ____ 外切 ? ____ ____ 相交 ? ___ _ _________ 內切 ? ____ ____ 設 ⊙ O1， ⊙ O2的半徑分別為 R ，r ( R r ) ，圓心之間的距離為 d ，那么⊙ O1和 ⊙ O2 內含 ? ____ ____ dR＋ r d＝ R＋ r R－ rdR＋ r d＝ R－ r dR－ r 第 30講 ┃ 考點聚焦 考點 2 相交兩圓的性質 性質 (1) 相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦 (2) 兩圓相交時的圖形是軸對稱圖形 點撥 解有關兩圓相交問題時，常常要作出連心線，公共弦，或者連 接 交點與圓心，從而把兩圓的半徑，公共弦長的一半，圓心距等集中在同一個三角形中，利用三角形的知識加以解決 第 30講 ┃ 考點聚焦 考點 3 相切兩圓的性質 如果兩圓相切，那么兩圓的連心線經過________ 相切兩 圓的性 質 兩圓相切時的圖形是軸對稱圖形，通過兩圓圓心的連線 ( 連心線 ) 是它的對稱軸 切點 第 30講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 圓和圓的位置關系的判別 命題角度： 1. 根據兩圓的公共點的個數確定； 2. 根據兩圓的圓心距與半徑的數量關系確定 ． [2021 上海 ] 如果兩圓的半徑長分別為 6 和 2 ，圓心距為 3 ，那么這兩圓的關系是 ( ) A ． 外離 B ．相切 C ．相交 D ．內含 D [ 解析 ] ∵ 兩個圓的半徑分別為 6 和 2 ，圓心距為 3 ， 又 ∵ 6 － 2 ＝ 4 ， 4 ＞ 3 ， ∴ 這兩個圓的位置關系是內含 ． ? 類型之二 和相交兩圓有關的計算 第 30講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 相交兩圓的連心線與兩圓的公共弦的關系； 2. 和勾股定理有關的計算 ． 第 30講 ┃ 歸類示例 [ 2021 宜賓 ] 如圖 30 － 1 ， ⊙ O ⊙ O2相交于 P 、 Q 兩點，其中 ⊙ O1的半徑 r1＝ 2, ⊙ O2的半徑 r2＝ 2 ，過點 Q 作CD ⊥ PQ ，分別交 ⊙ O1和 ⊙ O2于點 C 、 D ，連結 CP 、 DP ，過點 Q 任作一直線 AB 分別交 ⊙ O1和 ⊙ O2于點 A 、 B ，連結 AP 、BP 、 AC 、 DB ，且 AC 與 DB 的延長線交于點 E . (1) 求證：PAPB＝ 2 ； (2) 若 PQ ＝ 2 ，試求 ∠ E 的度數 . 圖 30 － 1 第 30講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1) 根據 PC 、 PD 分別是 ⊙ O1和 ⊙ O2的直徑，證△ A P C ∽△ B P D ，推出PAPB＝C PPD，代入求出即可； ( 2) 求出 c os ∠ C P Q ＝PQPC