【正文】 第 28講 ┃ 圓的有關(guān)性質(zhì) 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 1 圓的有關(guān)概念 定義 1 在一個(gè)平面內(nèi)，線段 OA 繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A 所形成的圖形叫做圓．固定的端點(diǎn) O 叫做圓心，線段 OA 叫做半徑 圓的 定義 定義 2 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的 所有 點(diǎn) 組成 的 圖形 叫做圓 弦 連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的 __ ______ 叫做弦 直徑 經(jīng)過圓心的弦叫做直徑 弧 圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做弧 優(yōu)弧 大于半圓的弧叫做優(yōu)弧 劣弧 小于半圓的弧叫做劣弧 線段 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 點(diǎn)和圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓外 ? ________ 點(diǎn)在圓上 ? ________ 如果圓的半徑是 r ，點(diǎn)到圓心的距離是 d ，那么 點(diǎn)在圓內(nèi) ? ________ dr d＝ r dr 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 3 確定圓的條件及相關(guān)概念 確定圓 的條件 不在同一直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓 三角形的 外心 三角形三邊 _ __ _______ _____ 的交點(diǎn)，即三角形外接圓的圓心 防錯(cuò)提醒 銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部，直角三角形的外心在直角三角形的斜邊上，鈍角三角形的外心在三角形的外部 垂直平分線 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 4 圓的對(duì)稱性 圓既是一個(gè)軸對(duì)稱圖形又是一個(gè) ________ 對(duì)稱圖形，圓還具有旋轉(zhuǎn)不變性 ． 中心 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 5 垂徑定理及其推論 垂徑定理 垂直于弦的直 徑 ______ ，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 推論 (1) 平分弦 ( 不是直徑 ) 的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條??； (2) 弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條??； (3) 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧 總結(jié) 對(duì)于 ① 過圓心； ② 垂直弦； ③ 平分弦； ④ 平分弦所對(duì)的優(yōu)??； ⑤ 平分弦所對(duì)的劣弧 ， 這 五條 結(jié)論 中的任意兩條成立，那么其他的結(jié)論也成立 平分弦 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 6 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的 ______ 相等，所對(duì)的 ______ 相等 推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角﹑兩條弧或兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量也分別相等 弧 弦 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 7 圓周角 圓周角 定義 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角 圓周角 定理 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角________ ，都等于該弧所對(duì)的圓心角的 ________ 推論 1 在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧 ______ 推論 2 半圓 ( 或直徑 ) 所對(duì)的圓周角是 ______ ； 90 176。 的圓周角所對(duì)的弦是 ______ 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是 ________ 三角形 相等 一半 相等 直角 直徑 直角 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 8 圓內(nèi)接多邊形 圓內(nèi)接多邊形 如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，這個(gè)多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形 ． 這個(gè)圓叫做這個(gè)多邊形的外接圓 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角 ______ 互補(bǔ) 第 28講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 9 反證法 定義 不直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾 斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法 步驟 ( 1 ) 假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的，即提出與命題結(jié)論相反的假設(shè)； ( 2 ) 從假設(shè)的結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理、推出與公理，已知的定理、定義或已知條件相矛盾； ( 3 ) 由矛盾的結(jié)果說明假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確 第 28講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 確定圓的條件 命題角度： 1. 確定圓的圓心、半徑； 2. 三角形的外接圓圓心的性質(zhì) ． [ 2021 資陽 ] 直角三角形的兩邊長分別為 16 和12 ，則此三角形的外接圓半徑是 ________ ． 10或 8 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點(diǎn)，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況： ① 當(dāng)直角三角形的斜邊長為 16 時(shí)，這個(gè)三角形的外接圓半徑為 8 ； ② 當(dāng)兩條直角邊長分別為 16 和 12 時(shí)，則直角三角形的斜邊長為 162＋ 122＝ 20 ，因此這個(gè)三角形的外接圓半徑為 10. 綜上所述：這個(gè)三角形的外接圓半徑等于 8 或 10. ? 類型之二 垂徑定理及其推論 第 28講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 垂徑定理的應(yīng)用； 2. 垂徑定理的推論的應(yīng)用 ． [ 2021 臺(tái)州 ] 把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖 28 － 1 所示， 已知 EF ＝ CD ＝ 16 厘米，則球的半徑為 ________ 厘米． 圖 28 － 1 10 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 首先找到 EF 的中點(diǎn) M ，作 MN ⊥ AD 于點(diǎn) M ，分別交圓于 G 、 N 兩點(diǎn)，取 GN 的中點(diǎn) O ，連接 OF ， 設(shè) OF ＝ x ，則 OM ＝ 16 － x ， MF ＝ 8. 在直角三角 形 OM F 中， OM2＋ MF2＝ OF2， 即 ( 16 － x )2＋ 82＝ x2， 解得 x ＝ 10. 第 28講 ┃ 歸類示例 垂徑定理及其推論是證明兩線段相等，兩條弧相等及兩直線垂直的重要依據(jù)之一，在有關(guān)半徑、弦長、弦心距的計(jì)算中常常需要作垂直于弦的線段，構(gòu)造直角三角形 ． ? 類型之三 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 第 28講 ┃ 歸類示例 命題角度： 在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 ． 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 201 1 濟(jì)寧 ] 如圖 28 － 2 ， AD 為 △ ABC 外接圓的直徑，AD ⊥ BC ，垂足為點(diǎn) F ， ∠ ABC 的平分線交 AD 于點(diǎn) E ，連 接BD 、 CD . (1) 求證： BD ＝ CD ； (2) 請(qǐng)判斷 B 、 E 、 C 三點(diǎn)是否在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上？并說明理由． 圖 28 － 2 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 根據(jù)垂直于弦的直徑的性質(zhì)和同圓或等圓中等弧對(duì)等弦證明； ( 2 ) 利用同弧所對(duì)的圓周角相等和等腰三角形的判定證明 DB ＝ DE ＝ DC . 第 28講 ┃ 歸類示例 解： ( 1 ) 證明： ∵ AD 為直徑， AD ⊥ BC ， ∴ BD ＝ CD .∴ BD ＝ CD . ( 2 ) B 、 E 、 C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 . 理由：由 ( 1 ) 知： BD ＝ CD ， ∴∠ BAD ＝ ∠ CBD . ∵∠ D B E ＝ ∠ CBD ＋ ∠ CBE ， ∠ D E B ＝ ∠ BAD ＋ ∠ ABE ，∠ CBE ＝ ∠ ABE ， ∴∠ D B E ＝ ∠ D E B . ∴ DB ＝ DE . 由 ( 1 ) 知： BD ＝ CD ， ∴ DB ＝ DE ＝ DC . ∴ B 、 E 、 C 三點(diǎn)在以 D 為圓心，以 DB 為半徑的圓上 ． ? 類型之四 圓周角定理及推論 第 28講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1 ． 利用圓心角與圓周角的關(guān)系求圓周角或圓心角的度數(shù)； 2 ． 直徑所對(duì)的圓周角或圓周角為直角的圓的相關(guān)計(jì)算． 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 2021 湘潭 ] 如圖 28 － 3 ，在 ⊙ O 中，弦 AB ∥ CD ，若∠ ABC ＝ 40 176。 ，則 ∠ BOD ＝ ( ) 圖 28 － 3 A. 20 176。 B. 40 176。 C . 50 176。 D