20xx北師大版中考數(shù)學(xué)第六章第30課直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系(編輯修改稿)
2025-01-12 14:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 圓的切線(xiàn)垂直于連結(jié)切點(diǎn)的半徑或直 徑．在已知圓的切線(xiàn)解決其他問(wèn)題時(shí) ， 常常將圓心和切點(diǎn)連結(jié) ， 得到的直角定能幫助解題． 【例 2 】 ( 2 0 1 5 烏魯木齊 ) 如圖 ， AB 是 ⊙ O 的直徑 ，CD 與 ⊙ O 相切于點(diǎn) C ， 與 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) D ， DE ⊥AD 且與 AC 的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn) E . (1 ) 求證： DC ＝ DE . (2 ) 若 tan ∠ CA B ＝12， AB ＝ 3 ， 求 BD 的長(zhǎng)． ( 例 2 題圖 ) 解析 (1 ) 連結(jié) OC ，利用切線(xiàn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)可得出∠ DC E ＝ ∠ E ，進(jìn)而證得 DC ＝ DE . (2 ) 設(shè) BD ＝ x ，則 AD ＝ AB ＋ BD ＝ 3 ＋ x ， OD ＝ OB ＋ BD ＝ 1 .5 ＋ x ，利用勾股定理得出 BD 的長(zhǎng)． 答案 (1 ) 證明：如解圖 ， 連結(jié) OC ， ( 例 2 題圖解 ) ∵ CD 是 ⊙ O 的切線(xiàn)， ∴∠ OCD ＝ 90 176。， ∴∠ ACO ＋ ∠ DCE ＝ 90 176。 . 又 ∵ DE ⊥ AD ， ∴∠ EDA ＝ 90 176。， ∴∠ A ＋ ∠ E ＝ 90 176。 . ∵ OC ＝ OA ， ∴∠ ACO ＝ ∠ A ， ∴∠ DCE ＝ ∠ E ， ∴ DC ＝ DE . (2 ) 設(shè) BD ＝ x ， 則 AD ＝ AB ＋ BD ＝ 3 ＋ x ， OD ＝ OB ＋ BD ＝ 1 . 5 ＋ x . 在 Rt △ EAD 中 ， ∵ tan ∠ CAB ＝12， ∴ ED ＝12AD ＝12????3 ＋ x ， 由 (1 ) 知 ， DC ＝12????3 ＋ x . 在 Rt △ O CD 中 ， OC2＋ CD2＝ DO2， 則 1 . 52＋ [12????3 ＋ x ]2＝ ????1 . 5 ＋ x2， 解得 x1＝－ 3( 舍去 ) ， x2＝ 1 ， 故 BD ＝ 1. 變式訓(xùn)練 2 (2 0 1 5 衢州 ) 如圖 ， 已知 △ ABC ， AB ＝BC ， 以 AB 為直徑的圓交 AC 于點(diǎn) D ， 過(guò)點(diǎn) D 的 ⊙ O的切線(xiàn)交 BC 于點(diǎn) E . 若 CD ＝ 5 ， CE ＝ 4 ， 則 ⊙ O 的半徑是 ( ) A . 3 B. 4 C. 256 D. 258 ( 變式訓(xùn)練 2 題圖 ) 解析 如解圖，連結(jié) OD ， BD ，易證 DE ⊥ BC . ( 變式訓(xùn)練 2 題圖解 ) ∵ DE ⊥ BC ， CD ＝ 5 ， CE ＝ 4 ， ∴ DE ＝ 52－ 42＝ 3. ∵ AB 是 ⊙ O 的直徑， ∴∠ ADB ＝ 9 0 176。 . ∵ S△ B CD＝12BD CD ＝12BC DE ， ∴ 5 BD ＝ 3 BC ， ∴ BD ＝35BC . ∵ BD2＋ CD2＝ BC2， ∴ (35BC )2＋ 52＝ BC2， 解得 BC ＝254. ∵ AB ＝ BC ， ∴ AB ＝254， ∴⊙ O 的半徑為258. 答案 D 題型 三 切線(xiàn)的判定 要點(diǎn)回顧： 經(jīng)過(guò)半徑的外端且垂直于這條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)．證明圓的切線(xiàn)常用的方法是將圓上的一點(diǎn)與圓心相連 ， 證明所連的這條線(xiàn)段與所求證的直線(xiàn)垂直． 【例 3 】 (2 0 1 5 龍巖 ) 如圖 ， 已知 AB 是 ⊙ O 的直徑 ， AB ＝ 4 ， 點(diǎn) C 在線(xiàn)段 AB 的延長(zhǎng)線(xiàn)上 ， 點(diǎn) D 在 ⊙ O 上 ， 連結(jié) CD ， 且 CD ＝ OA ， OC ＝ 2 2 .
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