高中數(shù)學人教a版選修2-1222橢圓的簡單幾何性質(zhì)第2課時知能演練輕松闖關(編輯修改稿)
2025-01-10 06:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 xOy中 ， 點 P到兩點 (0， 3)、 (0，－ 3)的距離之和等于 P的軌跡為 C. (1)寫 出 C的方程； (2)設直線 y＝ kx＋ 1 與 C交于 A、 B兩點 ， k為何值 時 OA→ ⊥ OB→ ？ 此時 |AB→ |的值是多少？ 解： (1)設 P(x， y)， 由橢圓定義可知 ， 點 P的軌跡 C是以 (0，－ 3)， (0， 3)為焦點 ， 長半軸為 a＝ 2 的橢圓 ， 它的短半軸 b＝ 22－ （ 3） 2＝ 1， 故曲線 C的方程為 x2＋ y24＝ 1. (2)由?????x2＋ y24＝ 1，y＝ kx＋ 1， 消去 y并整理得 (k2＋ 4)x2＋ 2kx－ 3＝ 0， Δ ＝ (2k)2－ 4179。 (k2＋ 4)179。 (－ 3)＝ 16(k2＋ 3)0， 設 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 則 x1＋ x2＝－ 2kk2＋ 4， x1x2＝－ 3k2＋ 4. 由 OA→ ⊥ OB→ ， 得 x1x2＋ y1y2＝ 0. 而 y1y2＝ (kx1＋ 1)(kx2＋ 1)＝ k2x1x2＋ k(x1＋ x2)＋ 1， 于是 x1x2＋ y1y2＝－ 3k2＋ 4－ 3k2k2＋ 4－2k2k2＋ 4＋ 1 ＝ － 4k2＋ 1k2＋ 4 . 由 － 4k2＋ 1k2＋ 4 ＝ 0， 得 k＝ 177。12， 此時 OA→ ⊥ OB→ . 當 k＝ 177。12時 ， x1＋ x2＝ ? 417， x1x2＝－ 1217. |AB→ |＝ （ x2－ x1） 2＋ （ y2－ y1） 2＝ （ 1＋ k2）（ x2－ x1） 2， 而 (x2－ x1)2＝ (x2＋ x1)2－ 4x1x2 ＝ 42172＋ 4179。1217＝42179。 52172 ， 所以 |AB→ |＝ 4 6517 . [B 級 能力提升 ]
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