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正文內(nèi)容

四年級(jí)奧數(shù)統(tǒng)籌規(guī)劃問(wèn)題(教師用)(編輯修改稿)

2024-10-20 23:23 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 間按從少到多順序排列等候接水,這個(gè)最短時(shí)間是3180。6+4180。5+5180。4+6180。3+7180。2+10=100(分).【鞏固】 理發(fā)室里有甲、乙兩位理發(fā)師,同時(shí)來(lái)了五位顧客,根據(jù)他們所要理的發(fā)型,分別需要1120和24分鐘,怎樣安排他們理發(fā)的順序,才能使這五人理發(fā)和等候所用時(shí)間的總和最少?最少時(shí)間為多少?【解析】 一人理發(fā)時(shí),其他人需等待,為使總的等待時(shí)間盡量短,應(yīng)讓理發(fā)所需時(shí)間少的人先理.甲先給需10分鐘的人理發(fā),然后15分鐘的,最后24分鐘的;乙先給需12分鐘的人理發(fā),然后20分鐘的,甲給需10分鐘的人理發(fā)時(shí),有2人等待,占用三人的時(shí)間和為(10180。3)分;然后,甲給需 15分鐘的人理發(fā),有1人等待,占用兩人的時(shí)間和為(15180。2)分;最后,甲給需 24分鐘的人理發(fā),無(wú)人等待.甲理發(fā)的三個(gè)人,共用(10180。3+15180。2+24)分,乙理發(fā)的兩個(gè)人,共用(12180。2+20)分.總的占用時(shí)間為(10180。3+15180。2+24)+(12180。2+20)=128(分).【例 7】(101培訓(xùn)試題)車(chē)間里有五臺(tái)車(chē)床同時(shí)出現(xiàn)故障,已知第一臺(tái)到第五臺(tái)修復(fù)時(shí)間依次為18,30,17,25,20分鐘,每臺(tái)車(chē)床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元.現(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工,⑴ 怎樣安排才能使得經(jīng)濟(jì)損失最少?⑵ 怎樣安排才能使從開(kāi)始維修到維修結(jié)束歷時(shí)最短?【解析】 ⑴ 一人修130,另一人修125 ;最少的經(jīng)濟(jì)損失為:5180。(17180。3+20180。2+30+18180。2+25)=910(元). ⑵ 因?yàn)椋?8+30+17+25+20)184。2=55(分),經(jīng)過(guò)組合,一人修需18,17和20分鐘的三臺(tái),另一人修需30和25分鐘的兩臺(tái),修復(fù)時(shí)間最短,為55分鐘.【例 8】(三帆中學(xué)入學(xué)考試試題)設(shè)有十個(gè)人各拿著一只提桶同時(shí)到水龍頭前打水,設(shè)水龍頭注滿(mǎn)第一個(gè)人的桶需要1分鐘,注滿(mǎn)第二個(gè)人的桶需要2分鐘,…….如此下去,當(dāng)只有兩個(gè)水龍頭時(shí),如何巧妙安排這十個(gè)人打水,使他們總的費(fèi)時(shí)時(shí)間最少?最少的時(shí)間是多少?【解析】 要想總的時(shí)間最少,應(yīng)該安排打水時(shí)間少的人先來(lái)打水,下面給出排隊(duì)方式:顯然計(jì)算總時(shí)間時(shí),2計(jì)算了5次,4計(jì)算了4次,6計(jì)算了3次,8計(jì)算了2次,10計(jì)算了1次.所以有最短時(shí)間為(1+2)180。5+(3+4)180。4+(5+6)180。3+(7+8)180。2+(9+10)180。1=125分鐘.【例 9】(小學(xué)數(shù)學(xué)報(bào)試題)右圖是一張道路示意圖,每段路上的數(shù)字表示小明走這段路所需要的時(shí)間(單位:分).小明從A到B最快要幾分鐘?G65E4503F3H7646BDCA14【解析】 我們采用分析排除法,將道路圖逐步簡(jiǎn)化.從A到O有兩條路,A→C→O用6分鐘,A→F→O用7分鐘,排除后者,可將FO抹去,但AF不能抹去,因?yàn)閺腁到B還有其它路線經(jīng)過(guò)AF,簡(jiǎn)化為圖⑴.從A到E還剩兩條路,A→C→G→E用12分鐘,A→C→O→E用10分鐘,排除前者,可將CG,GE抹去,簡(jiǎn)化為圖⑵.從A到D還剩兩條路,A→C→O→D用12分鐘,A→H→D用13分鐘,排除后者,可將AH,HD抹去,簡(jiǎn)化為圖⑶.從A到B還剩兩條路,A→C→O→E→B用17分鐘,A→C→O→D→B用16分鐘,排除前者,可將OE,EB抹去,簡(jiǎn)化為圖⑷. 小明按A→C→O→D→B走最快,用16分鐘.5E6CA1574O67F(1)46HBDCA1E74O67F46H(2)BDCA15E746O4GBDCA15O64BD(3)⑴⑵⑶⑷【鞏固】(十一學(xué)??碱})下圖為某三岔路交通環(huán)島的簡(jiǎn)化模型,在某高峰時(shí)段,單位時(shí)間進(jìn)出路口A,(4)B,C的機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)如圖所示,圖中x1,x2,x3分別表示該時(shí)段單位時(shí)間通過(guò)路段AB,BC,CA的機(jī)動(dòng)車(chē)輛數(shù)(假設(shè):?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi),在上述路段中,同一路段上駛?cè)肱c駛出的車(chē)輛數(shù)相等),問(wèn):x1,x2,x3的大小關(guān)系.5055X3X12030X23035【解析】 x1=x355+50=x35,x2=x120+30=x1+10,x3=x235+30=x25,所以x2x3x1【例 10】 某人從住地外出有兩種方案,一種是騎自行車(chē)去,但乘公共汽車(chē)有一個(gè)等候時(shí)間(候車(chē)時(shí)間可以看成是固定不變的),在任何情況下,、B、他需要花多少時(shí)間?并簡(jiǎn)述理由.【解析】 顯然A、B兩地所需時(shí)間與路程不成比例,所以不可能為A、B兩地均為騎自行車(chē).①.如果A、B兩地均采用公共汽車(chē),那么到達(dá)B地比A地多1千米,-12=,則等候時(shí)間為12-2=5分鐘.當(dāng)達(dá)到A、B兩個(gè)較短的路程都采用公共汽車(chē),那么到達(dá)C地采用的方式一定也是公共汽車(chē),于是所需時(shí)間為4+5=19分鐘,與題中條件不符,所以開(kāi)始假設(shè)不成立;②.所以只能是到達(dá)A采用自行車(chē),到達(dá)B采用公共汽車(chē),則C地采用的也是公共汽車(chē).由C地比B地多1千米,多18-=,那么行3千米所需時(shí)間為3=,-=8分鐘.那么行至8千米的路程及等候時(shí)間為8+8=28分鐘.板塊二、合理安排地點(diǎn)【例 11】 如圖,在街道上有A、B、C、D、E、F六棟居民樓,現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)公交站,要想使居民到達(dá)車(chē)站的距離之和最短,車(chē)站應(yīng)該設(shè)在何處?ABCDEF【解析】 找最中間的那棟樓,可這時(shí)最中間的樓有兩個(gè),這該怎么辦呢?其實(shí)經(jīng)過(guò)研究發(fā)現(xiàn),建在這兩個(gè)樓都一樣,路程和最短,所以可以建在C或D .如果我們只要求建在這條道路上的一點(diǎn)即可,那么CD之間及點(diǎn)C、D均可.【鞏固】 如圖,在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓,為使五棟樓的居民到車(chē)站的距離之和最短,車(chē)站應(yīng)立于何處?ABCDE【解析】 條件中只有五個(gè)樓的名字和排列順序,樓與樓的距離也不確定.那么我們先來(lái)分析一下A、E兩個(gè)點(diǎn),不論這個(gè)車(chē)站放在AE之間的那一點(diǎn),A到車(chē)站的距離加上E到車(chē)站的距離就是AE的長(zhǎng)度,也就是說(shuō)車(chē)站放在哪兒不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到車(chē)站的距離之和;那么我們就使其他的3個(gè)點(diǎn)到車(chē)站的距離之和最短,再看為了使B、D兩個(gè)到車(chē)站的距離之和小,應(yīng)把車(chē)站放在BD之間.同理,只要是在BD之間,B、D到車(chē)站的距離之和也是不變的,等于BD.最后,只需要考慮C點(diǎn)到車(chē)站的距離最近就行了.那么當(dāng)然也就是把車(chē)站放在C點(diǎn)了.這里就體現(xiàn)了一個(gè)“向中心靠攏的思想”.【鞏固】 有1993名少先隊(duì)員分散在一條公路上值勤宣傳交通法規(guī),問(wèn)完成任務(wù)后應(yīng)該在公路的什么地點(diǎn)集合,可以使他們從各自的宣傳崗位沿公路走到集合地點(diǎn)的路程總和最???【解析】 由于1993數(shù)目較大,不易解決.我們先從人數(shù)較小的情況入手.當(dāng)只有2個(gè)人時(shí),設(shè)2人宣傳崗位分別為A1和A2(如上圖),顯然集合地點(diǎn)選在A1點(diǎn)或A2點(diǎn)或者A1A2之間的任何一個(gè)地點(diǎn)都可以.因?yàn)橛葾A2出發(fā)的人走過(guò)的路程總和都等于A1A2.當(dāng)有3個(gè)人時(shí),則集合地點(diǎn)應(yīng)該選在A2點(diǎn)(如上圖).因?yàn)槿艏系攸c(diǎn)選在A1A2之間的B點(diǎn),那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是A1B+A2B+A3B=(A1B+A3B)+A2B=A1A3+A2B;若集合地點(diǎn)選在A2A3之間的C點(diǎn),那時(shí)3個(gè)人所走的路程總和是:A1C+A2C+A3C=(A1C+A3C)+A2C=A1A3+A2C;而集合地點(diǎn)選在A2點(diǎn)時(shí),3個(gè)人所走路程總和僅是A1A3.當(dāng)然A1A3比A1A3+A2B及A1A3+A2C都?。?dāng)有4個(gè)人時(shí),由于集合地點(diǎn)無(wú)論選在A1A4之間的任何位置,對(duì)AA4崗位上的人來(lái)說(shuō),這2人走的路程和都是A1A4(如上圖).因此,集合地點(diǎn)的選取只影響AA3崗位上的人所走的路程,這就是說(shuō),問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“2個(gè)人站在A2和A3崗位的情形”.根據(jù)上面已討論的結(jié)論可知,集合地點(diǎn)應(yīng)選在A2或A3或者A2A3之間任何地點(diǎn).當(dāng)有5個(gè)人時(shí),類(lèi)似地可把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“ 3個(gè)人站在AAA4崗位的情形”(如下圖)根據(jù)已討論的結(jié)論可知,集合地點(diǎn)應(yīng)選在A3點(diǎn).依此遞推下去,我們就得到一個(gè)規(guī)律: 當(dāng)有偶數(shù)(2n)個(gè)人時(shí),集合地點(diǎn)應(yīng)選在中間一段 AnAn+1之間的任何地點(diǎn)(包括An和An+1點(diǎn)); 當(dāng)有奇數(shù)(2n+1)個(gè)人時(shí),集合地點(diǎn)應(yīng)選在正中間崗位An+1點(diǎn).本題有1993=2996+1(奇數(shù))個(gè)人,因此集合地點(diǎn)應(yīng)選在從某一端數(shù)起第997個(gè)崗位處.【例 12】 如圖,在街道上有A、B、C、D、E五棟居民樓,每棟樓里每天都有20個(gè)人要坐車(chē),現(xiàn)在設(shè)立一個(gè)公交站,要想使居民到達(dá)車(chē)站的距離之和最短,應(yīng)該設(shè)在何處?【解析】 如果不考慮樓里坐車(chē)的人數(shù),應(yīng)該把車(chē)站放在C點(diǎn).因?yàn)槊織潣堑娜藬?shù)相同所以數(shù)量不影響選擇,所以答案不影響,應(yīng)該把車(chē)站放在C點(diǎn).【例 13】 在一條公路上每隔100千米,有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)(如圖)共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù),一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有10噸貨物,二號(hào)倉(cāng)庫(kù)有20噸貨物,五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有40噸貨物,其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的.現(xiàn)在想把所以的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里,那么最少要多少運(yùn)費(fèi)才行? ABCDE一二三四五10噸40噸20噸【解析】 做此類(lèi)問(wèn)題時(shí)我們都可以根據(jù)“小往大處靠”的原則進(jìn)行判斷,觀察可知五號(hào)倉(cāng)的最大,所以先把一號(hào)倉(cāng)庫(kù)的10噸貨物往五號(hào)方向靠攏,先集中到二號(hào)倉(cāng)庫(kù),那么現(xiàn)在二號(hào)倉(cāng)庫(kù)中就有30噸貨物了.再根據(jù)“小往大處靠”的原則,那么這30噸貨物應(yīng)該集中到五號(hào)倉(cāng)庫(kù)中. 所以所需的費(fèi)用是:共需要:10180。180。100=500(元),30180。180。300=4500(元),500+4500=5000(元).【鞏固】(人大附中分班考試題)在一條公路上,每隔10千米有一座倉(cāng)庫(kù)(如圖),共有五座,圖中數(shù)字表示各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存貨物的重量.現(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里,那么集中到哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)運(yùn)費(fèi)最少?10噸A30噸B20噸C10噸D60噸E【解析】 這道題可以用“小往大處靠”的原則來(lái)解決.E點(diǎn)60噸,存的貨物最多,那么先處理小勢(shì)力,A往E那個(gè)方向集中,集中到B,B變成40噸,判斷仍是E的勢(shì)力最大,所以繼續(xù)向E方向集中,B點(diǎn)集中到C點(diǎn),C點(diǎn)變成60噸.此時(shí)C點(diǎn)和E點(diǎn)都是60噸,那么C、E誰(shuí)看成大勢(shì)力都可以.例如把E點(diǎn)集中到D點(diǎn),D點(diǎn)是70噸.所以C點(diǎn)也要集中到D點(diǎn).確定了集中地點(diǎn),運(yùn)輸費(fèi)用也就容易求了.運(yùn)費(fèi)最少為:(10180。30+30180。20+20180。10+60180。10)184。=1530(元).【例 14】 在一條公路上,每隔100千米有一座倉(cāng)庫(kù),共有8座,圖中數(shù)字表示各倉(cāng)庫(kù)庫(kù)存貨物的重量(單位:噸),其中C、G為空倉(cāng)庫(kù).現(xiàn)在要把所有的貨物集中存入一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里,那么集中到那個(gè)倉(cāng)庫(kù)中運(yùn)費(fèi)最少,需要多少元運(yùn)費(fèi)?A10B30CD20E5F10GH60【解析】 根據(jù)這道題可以用“小往大處靠”的原則來(lái)解決.H點(diǎn)60噸,存的貨物最多,那么先處理小勢(shì)力,A往H那個(gè)方向集中,集中到B,B變成40噸,判斷仍是H的勢(shì)力最大,所以繼續(xù)向H方向集中,B點(diǎn)集中到D點(diǎn),D點(diǎn)變成60噸.此時(shí)D點(diǎn)和H點(diǎn)都是60噸,那么D、H誰(shuí)看成大勢(shì)力都可以.例如把H點(diǎn)集中到F點(diǎn),F(xiàn)點(diǎn)是70噸.把D點(diǎn)集中到E點(diǎn),E點(diǎn)是65噸所以E點(diǎn)也要集中到F點(diǎn).確定了集中地點(diǎn)為F點(diǎn),運(yùn)輸費(fèi)用也就容易求了.運(yùn)費(fèi)最少為:(10180。500+30180。400+20180。200+5180。100+60180。200)180。=16750(元).【鞏固】(04年我愛(ài)數(shù)學(xué)夏令營(yíng)試題)一條直街上有5棟樓,從左到右編號(hào)為1,2,3,4,5,相鄰兩樓的距離都是50米.第1號(hào)樓有1名職工在A廠上班,第2號(hào)樓有2名職工在A廠上班……,第5號(hào)樓有5名職工在A廠上班.A廠計(jì)劃在直街上建一通勤車(chē)站接送這5棟樓的職工上下班,為使這些職工到通勤車(chē)站所走的路程之和最小,車(chē)站應(yīng)建在距1號(hào)樓多少米處?【解析】 如圖所示,“小往大處靠”的原則來(lái)解決,故應(yīng)建在4號(hào)樓的位置,距1號(hào)樓150米處.12345[小結(jié)]對(duì)于集中貨物的問(wèn)題,涉及到了重量,而集中到何處起決定作用的是貨物的重量,而至于距離,僅僅只是為了計(jì)算所以對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題老師要強(qiáng)調(diào)“小往大處靠”的原則.【例 15】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫(kù))右圖是A,B,C,D,E五個(gè)村之間的道路示意圖,○中數(shù)字是各村要上學(xué)的學(xué)生人數(shù),道路上的數(shù)表示兩村之間的距離(單位:千米).現(xiàn)在要在五村之中選一個(gè)村建立一所小學(xué).為使所有學(xué)生到學(xué)校的總距離最短,試確定最合理的方案.A402B20320C435D550E【解析】 “小往大處靠”的原則來(lái)解決,A點(diǎn)向C點(diǎn)集中,因?yàn)楦鶕?jù)“小往大處靠”的原則,雖然A點(diǎn)40人比C點(diǎn)20人多,但是人最多的點(diǎn)是E點(diǎn),所以大方向是向E點(diǎn)的方向靠攏.那么B點(diǎn)當(dāng)然也要向C點(diǎn)靠攏.C點(diǎn)就有80人了.此時(shí)人數(shù)最多的點(diǎn)變成了C點(diǎn)了.D、E又變成小勢(shì)力了,因此還是“小往大處靠”的原則,看大方向,E點(diǎn)要向D點(diǎn)靠攏.此時(shí)D點(diǎn)變成85人了.那么D點(diǎn)比此時(shí)C點(diǎn)的80人多了.C點(diǎn)又變成小勢(shì)力了.所以最終要集中在D點(diǎn).也就是學(xué)校要設(shè)在D點(diǎn).【鞏固】(三帆中學(xué)分班考試題)有七個(gè)村莊A1,A2,L,A7分布在公路兩側(cè)(見(jiàn)右圖),由一些小路與公路相連,要在公路上設(shè)一個(gè)汽車(chē)站,要使汽車(chē)站到各村莊的距離和最小,車(chē)站應(yīng)設(shè)在哪里?A1CBA2A3A4A5DEA7A6F公路【解析】 本題可簡(jiǎn)化為“B,C,D,E,F(xiàn)處分別站著1,1,2,2,1個(gè)人(見(jiàn)右圖),求一點(diǎn),使所有人走到這一點(diǎn)的距離和最小”.顯然D、E最大,靠攏完的結(jié)果變成了D=4,E=3,所以車(chē)站設(shè)在D點(diǎn).【例 16】(奧數(shù)網(wǎng)習(xí)題庫(kù))某鄉(xiāng)共有六塊麥地,每塊麥地的產(chǎn)量如右圖.試問(wèn)麥場(chǎng)設(shè)在何處最好?(運(yùn)輸總量的千克千米數(shù)越小越好.)3000千克F2000千克EA
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