【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ．“由一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線形成的圖形”到“射線繞著其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成角”的認(rèn)識(shí)過程，使學(xué)生感受“動(dòng)”與“靜”的對(duì)立與統(tǒng)一．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視事物，用對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律揭示生活中的空間形式和數(shù)量關(guān)系．教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情境 ［演 示］ ．、跳臺(tái)跳板運(yùn)動(dòng)員的前、后轉(zhuǎn)體動(dòng)作． ． ． ［問 題］，當(dāng)觀覽車轉(zhuǎn)了兩周時(shí)，他們觀察到的觀覽車上的某個(gè)座位上的游客進(jìn)行了怎樣的旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)了多大的角？“轉(zhuǎn)體一周半動(dòng)作”中，運(yùn)動(dòng)員是按什么方向旋轉(zhuǎn)的，轉(zhuǎn)了多大角？ （）是按什么方向轉(zhuǎn)動(dòng)的，轉(zhuǎn)動(dòng)了多大角？ ，自行車輪子上的某一點(diǎn)，轉(zhuǎn)了多大角？顯然，這些角超出了我們已有的認(rèn)識(shí)范圍．本節(jié)課將在已掌握的0176。～360176。角的范圍的基礎(chǔ)上，把角的概念加以推廣，為進(jìn)一步研究三角函數(shù)作好準(zhǔn)備．二、建立模型、負(fù)角、零角的概念在平面內(nèi)，一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)有兩個(gè)方向：順時(shí)針方向和逆時(shí)針方向．習(xí)慣上規(guī)定，按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)而成的角叫作正角；按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而成的角叫作負(fù)角；當(dāng)射線沒有旋轉(zhuǎn)時(shí)，我們也把它看成一個(gè)角，叫作零角．當(dāng)角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合、角的始邊與ｘ軸正半軸重合時(shí)，角的終邊在第幾象限，就把這個(gè)角叫作第幾象限的角．如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，就認(rèn)為這個(gè)角不屬于任何象限．在坐標(biāo)系中作出390176。，－330176。角的終邊，不難發(fā)現(xiàn)，它們都與30176。角的終邊相同，并且這兩個(gè)角都可以表示成0176?！?60176。角與k個(gè)（k∈Z）周角的和，即390176。＝30176。＋360176。，（k＝1）； －330176。＝30176。－360176。，（k＝－1）．設(shè)S＝｛β｜β＝30176。＋k360176。，k∈Z｝，則390176。，－330176。角都是S中的元素，30176。角也是S中的元素（此時(shí)k＝0）．容易看出，所有與30176。角終邊相同的角，連同30176。角在內(nèi)，都是S中的元素；反過來，集合S中的任一元素均與30176。角終邊相同．一般地，所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合：S＝｛β｜β＝α＋k360176。，k∈Z｝，即任一與α終邊相同的角，都可以表求成角α與整數(shù)個(gè)周角的和．三、解釋應(yīng)用 ［例 題］176。～360176。范圍內(nèi)，找出與下列各角終邊相同的角，并判斷它們是第幾象限的角．（1）－150176。．（2）650176。．（3）－950176。5′．，并把S中適合不等式－360176?！堞拢?20176。的元素寫出來．（1）60176。．（2）－21176。．（3）363176。14′． ．解：在0176?！?60176。范圍內(nèi)，終邊在ｙ軸上的角有兩個(gè)，即90176。，270176。．因此，與這兩個(gè)角終邊相同的角構(gòu)成的集合為S1＝｛β｜β＝90176。＋k360176。，k∈Z｝＝｛β｜β＝90176。＋2k180176。，k∈Z｝，而所有與270176。角終邊相同的角構(gòu)成的集合為S2＝｛β｜β＝270176。＋k360176。，k∈Z｝＝ ｛β｜β＝90176。＋（2k＋1）180176。，k∈Z｝． 于是，終邊在y軸上的角的集合為S＝S1∪S2＝｛β｜β＝90176。＋2k180176。，k∈Z｝∪｛β｜β＝90176。＋（2k＋1）180176。，k∈Z｝＝｛β｜β＝90176。＋n180176。，n∈Z｝．注：會(huì)正確使用集合的表示方法和符號(hào)語言． ［練習(xí)］，并把集合中適合不等式－720176?！堞拢?60176。的元素β寫出來．（1）45176。．（2）－30176。．（3）420176。．（4）－225176。． ．（分別用集合表示出來）（1）第一象限角．（2）銳角．（3）小于90176。的角．（4）0176?！?0176。的角． 176。，其終邊按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)三周后的角度數(shù)為．；終邊在第一、三象限的角的平分線上的角集合為．四、拓展延伸，則α與β的關(guān)系是；若角α與β的終邊互為反向延長(zhǎng)線，則角α與β的關(guān)系是．，那么2α，是第幾象限角？注：（1）不能忽略2α的終邊可能在坐標(biāo)軸上的情況．（2）研究在哪個(gè)象限的方法：討論k的奇偶性．（如果是呢？）任意角的三角函數(shù)教材分析這節(jié)課是在初中學(xué)習(xí)的銳角三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)．任意角的三角函數(shù)通常是借助直角坐標(biāo)系來定義的．三角函數(shù)的定義是本章教學(xué)內(nèi)容的基本概念和重要概念，也是學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容的基礎(chǔ)，更是學(xué)好本章內(nèi)容的關(guān)鍵．因此，要重點(diǎn)地體會(huì)、理解和掌握三角函數(shù)的定義．在此基礎(chǔ)上，這節(jié)課又進(jìn)一步研討了三角函數(shù)的定義域，函數(shù)值在各象限的符號(hào)，以及誘導(dǎo)公式（一），這既是對(duì)三角函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，也是為學(xué)習(xí)后續(xù)內(nèi)容做了必要準(zhǔn)備．教學(xué)目標(biāo)，經(jīng)歷三角函數(shù)的推廣的過程，增強(qiáng)對(duì)數(shù)的理解能力．，在此基礎(chǔ)上探索與研究三角函數(shù)定義域、三角函數(shù)值的符號(hào)和誘導(dǎo)公式（一），并能初步應(yīng)用它們解決一些問題．，初步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和運(yùn)用的過程，提高學(xué)生的科學(xué)思維水平．教學(xué)設(shè)計(jì)一、情景設(shè)置初中我們學(xué)習(xí)過銳角三角函數(shù)，知道它們都是以銳角為自變量，由其所在的直角三角形的對(duì)應(yīng)邊的比值為函數(shù)值，并且定義了角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函數(shù)．這節(jié)課，我們研究當(dāng)α是一個(gè)任意角時(shí)的三角函數(shù)的定義．在初中，三角函數(shù)的定義是借助直角三角形來定義的．如圖321，在Rt△ABC中，現(xiàn)在，把三角形放到坐標(biāo)系中．如圖322，設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x，y），則OC＝b＝x，CB＝a＝y(tǒng)，OB＝，從而即角α的三角函數(shù)可以理解為坐標(biāo)的比值，在此意義下對(duì)任意角α都可以定義其三角函數(shù)．二、建立模型一般地，設(shè)α是任意角，以α的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以角α的始邊的方向作為ｘ軸的正方向，建立直角坐標(biāo)系xOy．P（x，y）為α終邊上不同于原點(diǎn)的任一點(diǎn)．如圖：那么，OP＝，記作r，（r＞0）．對(duì)于三個(gè)量x，y，r，一般地，可以產(chǎn)生六個(gè)比值：.當(dāng)α確定時(shí)，根據(jù)初中三角形相似的知識(shí)，可知這六個(gè)比值也隨之相應(yīng)的唯一確定．根據(jù)函數(shù)的定義可以看出，這六個(gè)比值都是以角為自變量的函數(shù)，分別把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函數(shù)，記為稱之為α對(duì)于定義，思考如下問題：，比值與P點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？為什么？？ 、余弦、正切都有意義嗎？為什么？三、解釋應(yīng)用 ［例 題］（－2，3），求角α的六個(gè)三角函數(shù)值． 思考：若P（－2，3）變?yōu)椋ǎ?m，3m）呢？（m≠0）．注：強(qiáng)化定義． ［練習(xí)］，求角α的六個(gè)三角函數(shù)值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 算．（1）5sin90176。＋2sin0176。－3sin270176。＋10cos180176。．四、拓展延伸 ，三角函數(shù)可以看成以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)，如sina＝，不論α取任何實(shí)數(shù)，恒有意義，所以sina的定義域?yàn)椋粒痢蔙｝．類似地，研究cosa，tana，cota的定義域．，y，r在不同象限內(nèi)的符號(hào)，研究sina，cosa，tana，cota的值在各個(gè)象限的符號(hào)．，并歸納和總結(jié)出一般性的規(guī)律．（1）sin30176。，sin390176。．（2）cos45176。，cos（－315176。）．規(guī)律：終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值，即sin（α＋k360176。）＝sina，cos（α＋k360176。）＝cosa，tan（α＋k360176。）＝tana，（k∈Z）．五、應(yīng)用與深化 ［例 題］．：角α為第三象限角的充要條件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 證明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ為第三象限角．∵sinθ＜0成立，所以θ的終邊可能位于第三或第四象限，也可能位于y軸的負(fù)半軸上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的終邊可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的終邊只能位于第三象限．必要性：若θ為第三象限角，由三角函數(shù)值在各個(gè)象限的符號(hào)，知sinθ＜0，tanθ＞0． 從而結(jié)論成立． ［練習(xí)］，問：在sina，cosa，tana，tan取負(fù)值？為什么？中， 的值域是 ____________ ．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式教材分析這節(jié)課主要是根據(jù)三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式sina＋cosa＝1與＝1與，并初步進(jìn)行這些公式的兩類基本應(yīng)用．教學(xué)重點(diǎn)是公式sina＋cosa的推導(dǎo)及以下兩類基本應(yīng)用：2（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個(gè)，求其余兩個(gè)三角函數(shù)．（2）化簡(jiǎn)三角函數(shù)式及證明簡(jiǎn)單的三角恒等式．其中，已知某角的一個(gè)三角函數(shù)值，求它的其余各三角函數(shù)值時(shí)，正負(fù)號(hào)的選擇是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，正確運(yùn)用平方根及象限角的概念是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個(gè)難點(diǎn)．課堂上教師應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，優(yōu)化自己的解題過程．教學(xué)目標(biāo)、發(fā)現(xiàn)過程，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐、探索、研究能力．，并能初步運(yùn)用它們解決一些三角函數(shù)的求值、化簡(jiǎn)、證明等問題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，邏輯推理能力．，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀．任務(wù)分析 這節(jié)課的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)三角函數(shù)的定義探索出同角三角函數(shù)的兩個(gè)基本關(guān)系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進(jìn)行初步的應(yīng)用．由于該節(jié)內(nèi)容比較容易，所以，課堂上無論是關(guān)