【文章內容簡介】 級管伏安特性曲線 圖 24 蔡氏二極管伏安特性測量 經過比較，發(fā)現(xiàn)仿真得到的曲線與一給出的伏安特性曲線非常吻合，驗證了設計方案的可行性 。 蔡氏電路的數學模型 蔡氏電路 動力學方程 由 Kirchhoff結點電流定律得到圖 1所示 “ 電路的動力學狀態(tài)方程為 ” [16] ? ?? ? ? ?11 2 1 122 1 22()1cc c ccc c LLcdvC G v v f vdtdvC G v v idtdiLvdt? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? 其中函數 f(vc1)分段特性上面已經分析過，其函數形式為 ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 .5 0 .5c R b R a b R b a Rf v f U G U G G U E G G U E? ? ? ? ? ? ? ? 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 15 頁 共 48 頁 作變量代換 1cvx E? ， 2cvy E? ， Liz EG? ，2tGC?? ， 21CC?? ， 22CLG?? aa GG? ， bb GG? 取 x、 y、 z為狀態(tài)變量，自變量 τ 為時間變量， 則式（ 1）可以寫成 ? ?dx y x f xddy x y zddz yd?????? ? ?????? ? ? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ????????????????????? ????? 1()1b x a b xf x a x xb x a b x? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????????? ????? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? 上式（ 2）、（ 3）中 α、 β、 a和 b的變化，綜合反映了電路中實際元件參數的 變化。 平衡點及穩(wěn)定性 將式（ 2）寫成如下形式 [17] 0 ( )1 1 1 00 0 0dxd x f xdy ydzdzd? ???????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ?????? ?????? ??? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ??????? 由于式（ 3）描述的電路方程關于原點對稱，因此式（ 4）也關于原點對稱，即當式中的 ( , , ) ( , , )x y z x y z? ? ? ?時，方程保持不變。當電路方程 ( ) 000x f xyxz????? 時，平衡點為 101( , 0 , )(0 , 0 , 0)( , 0 , )P k k DODP k k D???? ? ? ??? ?????? ??? ? ? ?? 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 16 頁 共 48 頁 式中：1bak b?? ?； a與 b不為 1。這三個平衡點風別是狀 態(tài)空間 R3的三個子空間 ： ? ?? ?? ?101( , , ) | 1( , , ) | 1 ( 5 )( , , ) | 1D x y z xD x y z xD x y z x?????? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ? ? ??? 內唯一的平衡點。由于 f(x)的分段線性特點，因此式（ 5）所表示的每一個區(qū)域內，方程（ 4）均屬線性，可用線性方程組表示，若定義 X=[x,y,z]T， K=[k,0,k]T， Jacobi矩陣為 ( 1 ) 01 1 100mM?????????? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ??????? 式中： ma? ， 0xD?? ； mb? ， 11x D D?? ? ? 。這樣式（ 4）就可以寫成 101()( 7 )()M X K x DdxM X x DdM X K x D? ?? ?? ?? ?? ? ???? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ???????????? ?? ?? ?? ? ?? M 的特征方程為 ? ?32( ) 1 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 8 )f E M m m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? 根據 RouthHurwitz Crierion判據，當下式滿足時， 1 ( 1) 0m?? ? ? ， 0am???， ( 1) 0m?? ?? 1 ( 1 ) 1 0( 1 )mmm??? ? ??? ?????? ??? 在式（ 5）表示的三個區(qū)域中， M的特征值具有負的實部。此時，平衡點漸進穩(wěn)定，電路布發(fā)生震蕩。如果保證 ab0， P+(P)存在且位于對應的 D1(D1)中，當 a， b其中一個參數發(fā)生變化，平衡點的性質就會改變，當平衡點由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定且在平衡點附近出現(xiàn)極限環(huán)時，即發(fā)生了 Hopf分叉，此時電路參數 α、 β、 m滿足 1 ( 1 ) 1 0( 1 )mmm??? ? ??? ?????? ? ???????????????????????????????? ??? 將電路參數帶入以上方程可得到平衡點 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 17 頁 共 48 頁 2147 8 .3 95 .6CC? ? ? ?， 22 2 4 7 1 . 8 0 6 1 5 . 3 310CLG? ?? ? ? ( ) G G? ? ? ? ? ? ( ) G G? ? ? ? ? ? 式 （ 2） 、 式 （ 3） 分別可以寫成： ? ?8 .3 91 5 .3 3dx y x f xddy x y zddz yd???? ? ?????????? 0 .9 0 3 0 .5 4 2 1( ) 1 .4 4 50 .9 0 3 0 .5 4 2 1xxf x x xxx? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ???? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ? ??? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? ? ?? 當方程滿足條件： ( ) 000x f xyxz????? 時，平衡點為： 101( 5 .5 8 8 , 0 , 5 .5 8 8 )( 0 , 0 , 0 )( 5 .5 8 8 , 0 , 5 .5 8 8 )PDOD???? ? ? ??? ?????????????????????? ? ? ?? 在平衡點 O=(0,0,0)處線性化，得到 Jacobi矩陣 ： 011 01 1 10 3 0 01 1 10 3 0x D Mx D D M?????? ? ?????? ?????? ?????? ? ???????????? ? ? ?????? ?? ? ???? 顯然 M取決于 x所在的區(qū)域，當電路參數為 (α,β,a,b)=(,)時，蔡氏電路出現(xiàn)雙渦卷吸引子。 “ 在混沌吸引子的宏觀景象上，在 P+和 P附近分別形成空洞，形狀象相互扭在一起畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 18 頁 共 48 頁 的 2個漩渦，呈現(xiàn)出雙渦卷混沌奇怪吸引子 ， 這是整體穩(wěn)定和局部不穩(wěn)定相結合的結果，混沌軌道是在奇怪吸引子上盤旋運動的流 。 其相鄰軌線之間呈現(xiàn)出彼此排斥的趨勢，并以指數速率相互分離 。 ” [18] 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 19 頁 共 48 頁 第三章 蔡氏電路的電路實驗 典型蔡氏電路仿真 混沌是非線性電路系統(tǒng)中既普遍存在又極其復雜的現(xiàn)象 。 混沌態(tài)是非線性系統(tǒng)中的一種奇異的穩(wěn)態(tài)響應，是始終限于有限區(qū)域且軌道永不重復、性態(tài)復雜的運動 。 蔡氏電路系統(tǒng)的輸出由簡單規(guī)則的振蕩演變?yōu)榛煦?， 存在著許多不同的道路，如 “ 倍周期分岔和周期窗、環(huán)面破裂等 。 ” [19]實驗中仿真蔡氏電路如圖 5， 蔡氏電路具有參數敏感性， L，C1， C2， G， Ga， Gb， E 7個參數的變化對輸出特性的影響各不相同?？紤]到硬件電路實驗實現(xiàn)的可行性，本仿真實驗選擇 R作為控制參數。 圖 21中的電阻 R由 R R2串聯(lián)而 成，通過改變電位器 R2可 得 出蔡氏電路由超臨界 Hopf分岔至倍周期分岔直至混沌的 Multisim仿真結果 。 具體仿真電路見圖 31在本文的數值仿真中固定以下參數 C1= nF， C2=47 nF，L=10 mH， E=1 V， Ga= ms， Gb= ms。 改變參數 R，變化范圍 0～ 1830Ω， 隨著 R繼續(xù)減小，接著依次出現(xiàn)周期 周期 2直至混沌典型的 Feigenbaum倍周期分岔過程 。 圖 31 蔡氏電路 仿真圖 當 R=1830 Ω時，電路發(fā)生超臨界 Hopf分岔， 電路有穩(wěn)定平衡點變成不穩(wěn)定且出現(xiàn)穩(wěn)定 極限環(huán)，與式（ 9）計算的結果完全一致，隨著 R的繼續(xù)減小， 電路依次出現(xiàn) 2周期態(tài)直至 R=1806Ω是電路呈現(xiàn)出雙渦卷混沌吸引子。具體仿真波形如圖 32， 現(xiàn)整理得到 表畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 20 頁 共 48 頁 31， 圖 b、 d、 f分別為 相軌跡 圖 a、 c、 e對應的時域圖。 R/Ω 狀態(tài) 實驗結果 1830 穩(wěn)定平衡點 1830 周期 1極限環(huán) a b 1816 周期 2極限環(huán) c d 1806 雙渦卷混沌吸引子 e f 表 31 (a) 典型蔡氏電路 周期 1 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 21 頁 共 48 頁 (b) 周期 1對應的 時域圖 (c) 典型蔡氏電路 周期 2 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 22 頁 共 48 頁 (d) 周期 2對 應的 時域圖 (e) 典型蔡氏電路 雙渦卷吸引子 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 23 頁 共 48 頁 (f) 雙渦卷吸引子時域圖 圖 32 典型蔡氏電路仿真波形 振蕩吸收器 在仿真過程中我發(fā)現(xiàn)了一個問題：從電路呈現(xiàn)出 1周期態(tài)到完全的混沌態(tài) 1000Ω的可變電阻 R只改變了 2%左右，而且 4周期時相軌圖已經開始難以辨別，混沌現(xiàn)象并不明顯。于是我采用 振蕩 吸收器 來吸收部分波形，使得混沌現(xiàn)象更加明顯。 “ 振蕩 吸收器的實現(xiàn)方式很簡單，就是一個 R、 L、 C并聯(lián)電路 ” [20]，實現(xiàn)方式如圖33： 圖 33 振蕩吸收器 畢業(yè)設計說明書 (論文 ) 第 24 頁 共 48 頁 將變型蔡氏電路耦合到一個線性二階電路，其 中線性二階電路的元件參量為 L:18 mH， C:100 nF， R:8 kΩ． 顯然有方程： 39。 39。39。 L cdiLVd? ?? ， ? ?39。 39。 39。 2 39。1139。 39。c c L c cxdVC V i V Vd R R? ? ? ? ? ? 于是方程（ 2）可改寫 為 ： ? ?? ?? ?239。39。39。39。39。 39。 2 39。139。1139。39。ccxLccc L c cxdxy x f xddyx y z V VdRdzyddiLVddVC V i V Vd R R???????? ? ?????? ? ? ? ?????? ? ? ? ? 其無綱量電路方程為： ? ?39。39。( 39。)39。[ 39。 39。 39。 ( 39。) ]39。39。dxy x f xddyx y z y yddzyddyy z y yddzyd??????? ? ????? ? ?????? ? ? ? ?? ? ?????????????????????????????????????? ????????????????? ??? ?? ? ? ? ??? 式中 239。139