【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 12．（5分）如圖，一環(huán)形花壇分成A，B，C，D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數(shù)為（）A．96 B．84 C．60 D．48 　 二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）13．（5分）若x，y滿足約束條件，則z=2x﹣y的最大值為　 ?。?14．（5分）已知拋物線y=ax2﹣1的焦點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則以拋物線與兩坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形面積為　 ?。?15．（5分）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e=　 ?。?16．（5分）等邊三角形ABC與正方形ABDE有一公共邊AB，二面角C﹣AB﹣D的余弦值為，M，N分別是AC，BC的中點(diǎn)，則EM，AN所成角的余弦值等于　 　． 　 三、解答題（共6小題，滿分70分）17．（10分）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且acosB﹣bcosA=c．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求tan（A﹣B）的最大值． 18．（12分）四棱錐A﹣BCDE中，底面BCDE為矩形，側(cè)面ABC⊥底面BCDE，BC=2，AB=AC．（Ⅰ）證明：AD⊥CE；（Ⅱ）設(shè)CE與平面ABE所成的角為45176。，求二面角C﹣AD﹣E的大?。?19．（12分）已知函數(shù)f（x）=﹣x2+ax+1﹣lnx．（Ⅰ）當(dāng)a=3時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 20．（12分）已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動(dòng)物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動(dòng)物，呈陰性即沒患?。旅媸莾煞N化驗(yàn)方法：方案甲：逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止． 方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動(dòng)物為這3只中的1只，然后再逐個(gè)化驗(yàn)，直到能確定患病動(dòng)物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．（Ⅰ）求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率；（Ⅱ）ξ表示依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)，求ξ的期望． 21．（12分）雙曲線的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線分別為l1，l2，經(jīng)過右焦點(diǎn)F垂直于l1的直線分別交l1，l2于A，B兩點(diǎn)．已知||、||、||成等差數(shù)列，且與同向．（Ⅰ）求雙曲線的離心率；（Ⅱ）設(shè)AB被雙曲線所截得的線段的長(zhǎng)為4，求雙曲線的方程． 22．（12分）設(shè)函數(shù)f（x）=x﹣xlnx．?dāng)?shù)列{an}滿足0＜a1＜1，an+1=f（an）．（Ⅰ）證明：函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）是增函數(shù)；（Ⅱ）證明：an＜an+1＜1；（Ⅲ）設(shè)b∈（a1，1），整數(shù)．證明：ak+1＞b． 　 2008年全國(guó)統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（全國(guó)卷Ⅰ）參考答案與試題解析 　 一、選擇題（共12小題，每小題5分，滿分60分）1．（5分）函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢．{x|x≥0} B．{x|x≥1} C．{x|x≥1}∪{0} D．{x|0≤x≤1} 【考點(diǎn)】33：函數(shù)的定義域及其求法．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】偶次開方的被開方數(shù)一定非負(fù)．x（x﹣1）≥0，x≥0，解關(guān)于x的不等式組，即為函數(shù)的定義域． 【解答】解：由x（x﹣1）≥0，得x≥1，或x≤0． 又因?yàn)閤≥0，所以x≥1，或x=0；所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≥1}∪{0} 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】定義域是高考必考題通常以選擇填空的形式出現(xiàn)，通常注意偶次開方一定非負(fù)，分式中分母不能為0，對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)一定要大于0，指數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1．另外還要注意正切函數(shù)的定義域． 　 2．（5分）汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】16：壓軸題；31：數(shù)形結(jié)合． 【分析】由已知中汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，我們可以根據(jù)實(shí)際分析函數(shù)值S（路程）與自變量t（時(shí)間）之間變化趨勢(shì)，分析四個(gè)答案即可得到結(jié)論． 【解答】解：由汽車經(jīng)過啟動(dòng)后的加速行駛階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來越快，故圖象的前邊部分為凹升的形狀；在汽車的勻速行駛階段，路程隨時(shí)間上升的速度保持不變 故圖象的中間部分為平升的形狀；在汽車減速行駛之后停車階段，路程隨時(shí)間上升的速度越來越慢，故圖象的前邊部分為凸升的形狀；分析四個(gè)答案中的圖象，只有A答案滿足要求，故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】從左向右看圖象，如果圖象是凸起上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來越慢；如果圖象是凹陷上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度越來越快；如果圖象是直線上升的，表明相應(yīng)的量增長(zhǎng)速度保持不變；如果圖象是水平直線，表明相應(yīng)的量保持不變，即不增長(zhǎng)也不降低；如果圖象是凸起下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越快；如果圖象是凹陷下降的，表明相應(yīng)的量降低速度越來越慢；如果圖象是直線下降的，表明相應(yīng)的量降低速度保持不變． 　 3．（5分）在△ABC中，=，=．若點(diǎn)D滿足=2，則=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】9B：向量加減混合運(yùn)算．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】把向量用一組向量來表示，做法是從要求向量的起點(diǎn)出發(fā)，盡量沿著已知向量，走到要求向量的終點(diǎn)，把整個(gè)過程寫下來，即為所求．本題也可以根據(jù)D點(diǎn)把BC分成一比二的兩部分入手． 【解答】解：∵由，∴，∴． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】用一組向量來表示一個(gè)向量，是以后解題過程中常見到的，向量的加減運(yùn)算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運(yùn)算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的 　 4．（5分）設(shè)a∈R，且（a+i）2i為正實(shí)數(shù)，則a=（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1 【考點(diǎn)】A4：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】注意到a+bi（a，b∈R）為正實(shí)數(shù)的充要條件是a＞0，b=0 【解答】解：（a+i）2i=（a2+2ai﹣1）i=﹣2a+（a2﹣1）i＞0，a=﹣1．故選D． 【點(diǎn)評(píng)】本題的計(jì)算中，要注意到相應(yīng)變量的范圍． 　 5．（5分）已知等差數(shù)列{an}滿足a2+a4=4，a3+a5=10，則它的前10項(xiàng)的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 【考點(diǎn)】83：等差數(shù)列的性質(zhì)；85：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計(jì)算題． 【分析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是等差數(shù)列的性質(zhì)，及等差數(shù)列前n項(xiàng)和，根據(jù)a2+a4=4，a3+a5=10我們構(gòu)造關(guān)于基本量（首項(xiàng)及公差）的方程組，解方程組求出基本量（首項(xiàng)及公差），進(jìn)而代入前n項(xiàng)和公式，即可求解． 【解答】解：∵（a3+a5）﹣（a2+a4）=2d=6，∴d=3，a1=﹣4，∴S10=10a1+=95． 故選：C． 【點(diǎn)評(píng)】在求一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和時(shí)，如果可以證明這個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，或等比數(shù)列，則可以求出其基本項(xiàng)（首項(xiàng)與公差或公比）進(jìn)而根據(jù)等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，寫出該數(shù)列的通項(xiàng)公式，如果未知這個(gè)數(shù)列的類型，則可以判斷它是否與某個(gè)等差或等比數(shù)列有關(guān)，間接求其通項(xiàng)公式． 　 6．（5分）若函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則f（x）=（）A．e2x﹣2 B．e2x C．e2x+1 D．e2x+2 【考點(diǎn)】4R：反函數(shù)．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計(jì)算題． 【分析】由函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=ln的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱知這兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)，故只要求出函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)即可，欲求原函數(shù)的反函數(shù)，即從原函數(shù)y=ln中反解出x，后再進(jìn)行x，y互換，即得反函數(shù)的解析式． 【解答】解：∵，∴，∴x=（ey﹣1）2=e2y﹣2，改寫為：y=e2x﹣2 ∴答案為A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了互為反函數(shù)圖象間的關(guān)系及反函數(shù)的求法． 　 7．（5分）已知曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，則a的值為（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2 【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，切線的斜率，由兩直線垂直的條件，即可得到a的值． 【解答】解：∵y=，∴y′==，∴曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線的斜率k=﹣，∵曲線y=在點(diǎn)（3，2）處的切線與直線ax+y+1=0垂直，∴直線ax+y+1=0的斜率k′=﹣a=﹣1，即a=﹣2． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的求法，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與直線垂直的性質(zhì)的靈活運(yùn)用． 　 8．（5分）為得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 【考點(diǎn)】HJ：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計(jì)算題． 【分析】先根據(jù)誘導(dǎo)公式將函數(shù)化為正弦的形式，再根據(jù)左加右減的原則進(jìn)行平移即可得到答案． 【解答】解：∵，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象向左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象． 故選：A． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查誘導(dǎo)公式和三角函數(shù)的平移．屬基礎(chǔ)題． 　 9．（5分）設(shè)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=0，則不等式＜0的解集為（）A．（﹣1，0）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D．（﹣1，0）∪（0，1）【考點(diǎn)】3N：奇偶性與單調(diào)性的綜合．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】16：壓軸題． 【分析】首先利用奇函數(shù)定義與得出x與f（x）異號(hào)，然后由奇函數(shù)定義求出f（﹣1）=﹣f（1）=0，最后結(jié)合f（x）的單調(diào)性解出答案． 【解答】解：由奇函數(shù)f（x）可知，即x與f（x）異號(hào)，而f（1）=0，則f（﹣1）=﹣f（1）=0，又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，則奇函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上也為增函數(shù)，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜f（1）=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞f（1）=0，得＞0，不滿足，舍去；當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＞f（﹣1）=0，得＜0，滿足；當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＜f（﹣1）=0，得＞0，不滿足，舍去；所以x的取值范圍是﹣1＜x＜0或0＜x＜1． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查奇函數(shù)定義與它的單調(diào)性． 　 10．（5分）若直線=1與圓x2+y2=1有公共點(diǎn)，則（）A．a(chǎn)2+b2≤1 B．a(chǎn)2+b2≥1 C． D． 【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【分析】用圓心到直線的距離小于或等于半徑，可以得到結(jié)果． 【解答】解：直線與圓有公共點(diǎn)，即直線與圓相切或相交得：d≤r，∴，故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到直線的距離公式，直線和圓的位置關(guān)系，是基礎(chǔ)題． 　 11．（5分）已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】LP：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；4R：轉(zhuǎn)化法；5G：空間角． 【分析】法一：由題意可知三棱錐A1﹣ABC為正四面體，設(shè)棱長(zhǎng)為2，求出AB1及三棱錐的高，由線面角的定義可求出答案；法二：先求出點(diǎn)A1到底面的距離A1D的長(zhǎng)度，即知點(diǎn)B1到底面的距離B1E的長(zhǎng)度，再求出AE的長(zhǎng)度，在直角三角形AEB1中求AB1與底面ABC所成角的正切，再由同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦． 【解答】解：（法一）因?yàn)槿庵鵄BC﹣A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC內(nèi)的射影為△ABC的中心，設(shè)為D，所以三棱錐A1﹣ABC為正四面體，