【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 動(dòng)機(jī)中，電流乘磁通產(chǎn)生轉(zhuǎn)矩，轉(zhuǎn)速乘磁通得到感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，由于它們都是同時(shí)變化的，在數(shù)學(xué)模型中，就含有兩個(gè)變量的乘積項(xiàng)，這樣一來(lái)，即使不考慮磁飽和等因素，數(shù)學(xué)模型也是非線性的。 3． 三相異步電動(dòng)機(jī)有三個(gè)定子繞組，轉(zhuǎn)子也可等效為三個(gè)繞組，每個(gè)繞組產(chǎn)生磁通時(shí)都有自己的電磁慣性，再算上運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電慣性和轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)角的積分關(guān)系，即使不考慮變頻裝置的滯后因素，也是一個(gè)八階系統(tǒng)。 鑒于異步電動(dòng)機(jī)的以上特點(diǎn)，我們有必要研究一下異步電機(jī)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。 三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性數(shù)學(xué)模型 無(wú)論電 動(dòng)機(jī)是繞線型還是 籠型的，都可以將它等效成三相繞線轉(zhuǎn)子，并折算到定子側(cè)，折算后的定子和轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)都相等。在做出以下 假設(shè)： （ 1） 忽略空間諧波，三相繞組在空間互差 120176。，所產(chǎn)生的磁動(dòng)勢(shì)沿氣隙周圍按正弦規(guī)律分布； （ 2） 忽略磁路飽和，認(rèn)為各繞組的自感和互感都是恒定的； （ 3）忽略鐵心損耗； （ 4）不考慮頻率變化和溫度變化對(duì)繞組電阻的影響。 此時(shí)電動(dòng)機(jī)繞組就等效成 圖 。圖中，定子三相繞組軸線 A,B,C在空間是固定的，以 A軸為參考坐標(biāo)軸；轉(zhuǎn)子繞組軸線 a,b,c隨轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)子 a軸和定子 A軸間的電 角度 ? 為空間角位移變量。 規(guī)定各繞組電壓，電流，磁鏈的的正方向符合電動(dòng)機(jī)慣性和右手螺旋定則，這時(shí)，異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型由下述電壓方程，磁鏈方程，轉(zhuǎn)矩方程和運(yùn)動(dòng)方程組成。 8 圖 ﹑強(qiáng)耦合模型結(jié)構(gòu) 圖 電壓方程 AA A s du i R dt??? BB B s du i R dt??? CC C s du i R dt??? 2． 三相轉(zhuǎn)子繞組折算到定子側(cè)的電壓方程 aa a s du i R dt??? bb b s du i R dt??? cc c s du i R dt??? 9 式中 Au ， Bu ， Cu ， au ， bu ， cu —— 定子和轉(zhuǎn)子相電壓的瞬時(shí)值； Ai ， Bi ， Ci ， ai ， bi ， ci —— 定子和轉(zhuǎn)子相電流的瞬時(shí)值； 將電壓方 程寫(xiě)成矩陣形式，并以微分算子 p 代替微分符號(hào)dtd 000000 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 000000A s A AB s B BC s C Ca s a ab s b bc s c cu R iu R iu R ipu R iu R iu R i??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? （ 21） 即 p??u Ri ? 磁鏈方程 每個(gè)繞組的磁鏈?zhǔn)撬旧淼淖愿写沛満推渌@組對(duì)他的互感磁鏈之和，因此，六個(gè)繞組的磁鏈可表示為 A A A A B A C A a A b A c AB B A B B B C B a B b B c BC CA CB CC Ca Cb Cc Ca a A a B a C a a a b a c ab b A b B b C b a b b b c bc c A c B c C c a c b c c cL L L L L L iL L L L L L iL L L L L L iL L L L L L iL L L L L L iL L L L L L i?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? （ 22） 即 ?ΨLi 實(shí)際上，與電機(jī)繞組交鏈的磁通只有兩類：一類是穿要過(guò)氣隙的相間互感磁通；另一類是只與一相繞組交鏈而不穿過(guò)氣隙的漏磁通，前者是主要的。定子各相漏磁通所對(duì)應(yīng)的電感稱為定子漏感，由于繞組的對(duì)稱性，各相漏感值均相等； 同樣，轉(zhuǎn)子各相漏磁通則對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)子漏感。與定子一相繞組交鏈的最大互感磁通對(duì)應(yīng)于定子互感 msL ，與轉(zhuǎn)子繞組交鏈的最大磁通對(duì)應(yīng)于轉(zhuǎn)子互感 mrL 。由于折算后定、轉(zhuǎn)子繞組匝數(shù)相等，且各繞組間互感磁通都通過(guò)氣隙，磁阻相同，故可認(rèn)為 msL = mrL 。 對(duì)于每一相繞組來(lái)說(shuō)，它所交鏈的磁通是互感磁通和漏感磁通之和，因此，定子 各相自感為： rmsCCBBAA LLLLL 1???? （ 23） 轉(zhuǎn)子各相自感： rmsrmrccbbaa LLLLLLL 11 ?????? （ 24） 現(xiàn)在先討論第一類，三相繞組軸線彼此在空間的相位差是 120 度。 在假定氣隙磁 正弦分布的條件下，互感值應(yīng)為： 1c os 12 0 c os( 12 0 ) 2m s m s m sL L L? ? ? ? 12A B B C CA B A CB A C m sL L L L L L L? ? ? ? ? ? ? （ 25） 10 1122ab bc c a ba c b ac m r m sL L L L L L L L? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 26） 第二類，即定子﹑ 轉(zhuǎn)子繞組間的互感，由于相互位置的變化（見(jiàn)圖 ）可分別表示為： c o sA a a A B b b B C c c C m sL L L L L L L ?? ? ? ? ? ? （ 27）c o s ( 1 2 0 )A b b A B c c B C a a C m sL L L L L L L ?? ? ? ? ? ? ? （ 28） c o s ( 1 2 0 )A c c A B a a B C b b C m sL L L L L L L ?? ? ? ? ? ? ? （ 29） 當(dāng)定﹑轉(zhuǎn)子兩相繞組軸線一致時(shí)，兩者之間的互感值最大，就是每相的最大互感msL ， 將式 （ 23） 到式 （ 29） 都代入式 （ 22） ，即得完整的磁鏈方程，顯然這個(gè)矩陣是比較復(fù)雜的，為了方便起見(jiàn)，可以將它寫(xiě)成分塊矩陣的形式如下： = ss srssrs rrrrLL iLL i?? ??? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? （ 210） 式中 ? ? ? ?TTs A B C r a b c? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?TTs A B C r a b ci i i i i i i i （ 211） 111112211221122m s s m s m ss s m s m s s m sm s m s m s sL L L LL L L L LL L L L??? ? ???? ? ? ???? ? ??? （ 212） 111112211221122m s r m s m sr r m s m s r m sm s m s m s rL L L LL L L L LL L L L??? ? ???? ? ? ???? ? ??? （ 213） 值得注意的是， rsL 和 srL 兩個(gè)矩陣互為轉(zhuǎn)置，且均與轉(zhuǎn)子位置角 ? 有關(guān)，它們的元素都是變參數(shù)，這是系統(tǒng)非線性的一個(gè)根源。為了把變參數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換成常參數(shù)矩陣須利用坐標(biāo)變換。 c o s c o s( 1 2 0 ) c o s( + 1 2 0 )c o s( + 1 2 0 ) c o s c o s( 1 2 0 )c o s( 1 2 0 ) c o s( + 1 2 0 ) c o sTr s s r m sL L L? ? ?? ? ?? ? ??????? ? ???? （ 214） 將磁鏈方程代入電壓方程，即得展開(kāi)后的電壓方程： () d i d Lu R i p Li R i L id t d t? ? ? ? ? di dLRi L idt d ??? ? ? （ 215） 其中， /Ldi dt 項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)中的脈變電動(dòng)勢(shì)， ( / )dL d i?? 項(xiàng)屬于電磁感應(yīng)電 11 動(dòng)勢(shì)中與轉(zhuǎn)速 ? 成正比的旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)。 轉(zhuǎn)矩方程 根據(jù)機(jī)電能 量轉(zhuǎn)換原理， 在線性電感的條件下，磁場(chǎng)的儲(chǔ)存能量和磁共能為： 12 TmmW W i Li??? （ 216） 電磁轉(zhuǎn)矩等于機(jī)械角位移變化時(shí)磁共能的變化率mmW??? ， （電流約束為常值），且機(jī)械角位移 m? =pn? ，于是 eT =mmW??? ， cti? = pn ??? ，mW cti? （ 217） 將（ 216）代入（ 217）并考 慮到電 感的分塊矩陣關(guān)系 式（ 212）到（ 214）得： 01122 0srTTe p prsLLT n i i n i iL????????? ????? ????? （ 218） 又 ? ?T T Ts s A B C a b ci i i i i i i i i?????? ， 代入式 （ 218）得 12 TTrs sre p r s s rLLT n i i i i???????????? （ 219） 用三相電流和轉(zhuǎn)角表示的轉(zhuǎn)矩方程 ( ) sin ( ) sin ( + 1 2 0 )e p m s A a B b C c A b B c C aT n L i i i i i i i i i i i i????? ? ? ? ? ??? + ( ) sin ( 1 2 0 )p m s A c B a C bn L i i i i i i ???? ? ??? （ 220） 應(yīng)該指出，上述公式是在線性磁路 ，磁動(dòng)勢(shì)在空間按正弦 分部的假定條件下得出來(lái)的，但對(duì)定轉(zhuǎn)子電流對(duì)時(shí)間的波形未作任何假定，式中的電流 i 都是實(shí)際瞬時(shí)值。因此上述電磁轉(zhuǎn)矩公式完全適用于變壓變頻器供電的含有電流諧波的三相異步電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng)。 電力拖動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程 若忽略電力拖動(dòng)系統(tǒng)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中的粘性摩擦和扭轉(zhuǎn)彈性，則系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式為： eL pJdTT n dt??? （ 221） 式中 LT ： 負(fù)載轉(zhuǎn)矩； J ： 機(jī)組的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 將式（ 21），式（ 216），式（ 220）和式（ 221）綜合起來(lái)，再加上 轉(zhuǎn)速與轉(zhuǎn)角的關(guān)系 : 12 ddt??? （ 222） 以上各式便構(gòu)成恒轉(zhuǎn)矩負(fù)載下三相異步電動(dòng)機(jī)的多變量 非線性數(shù)學(xué)模型，用結(jié)構(gòu)圖表示如下圖所示： 圖 異步電動(dòng)機(jī)的多變量非線性動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)框圖 上圖表明異步電動(dòng)機(jī)的數(shù)學(xué)模型有下列具體性質(zhì)： 1）除負(fù)載轉(zhuǎn)矩輸入外，異步電動(dòng)機(jī)可以看成一個(gè)雙輸入雙輸出的系統(tǒng)，輸入量是電壓相量和定子輸入角頻率，輸出量是磁鏈相量和轉(zhuǎn)子角速度，電流相量可以看作是狀態(tài)變量。 2）非線性因素存在于 ??1?? 和 ??2?? 中，即存在于產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)電動(dòng)勢(shì)和電磁轉(zhuǎn)矩兩個(gè)環(huán)節(jié)上，