【文章內(nèi)容簡介】 （ 215） 可知，該算法的頻響與 kt 無關(guān)。同時，該算法對諧波的敏感程度與一個周期內(nèi)的采樣點數(shù) N有關(guān)系：當(dāng) 12N? 時，其頻響特性如圖 21所示，此時該算法對三次諧波過于敏感；當(dāng) 20N? 時，其頻響特性如 圖 22所示，此時該算法對五次諧波過于敏感。 圖 21 12N? 時兩點乘積算法的頻率響應(yīng) 圖 22 20N? 時兩點乘積算法的頻率響應(yīng) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 9 兩點乘積算法小結(jié) 兩點乘積算法對電路中電壓和電流在任意時刻進行相隔 4/T 采樣，通過計算獲得電壓和電流的有效值，有功功率和無功功率。對工頻交流電而言，兩點乘積法的數(shù)據(jù)窗為 msT 54? ，它的優(yōu)點是計算簡單快速，克服了一點采樣法要求輸入對稱三相電流和電壓的缺點，但是它同樣沒有濾波作用，而且受直流分量影響最大。兩點乘積法對采樣的時間要求精確等于 4/T ，否則將會產(chǎn)生誤差。 只要知道相隔 2/? 電氣角的任意兩個正弦函數(shù)瞬時值，就可以計算出該正弦量的有效值和相位。兩點乘積算法本身所需要的數(shù)據(jù)窗很短，理想情況下誤差為零，不過由于算式較復(fù)雜，有可能使算法所需時間的加長與采樣間隔的縮短發(fā)生矛盾，因而限制了這種算法的廣泛應(yīng)用 。如果對乘積算法采取特殊措施，如采用專用硬件加法器，則這種算法的應(yīng)用會獲得很大的改善。但實際電網(wǎng)信號不可能是純正弦波，因此要與帶通數(shù)字濾波器配合使用。算法本身與采樣頻率無關(guān)，因此對采樣頻率無特殊要求，但由于數(shù)據(jù)需先經(jīng)過數(shù)字濾波，故采樣頻率的選擇由所用的濾波器來確定。合理選擇采樣頻率可使數(shù)字濾波器的運算量大大降低。本算法主要用于配電系統(tǒng)電壓，電源保護。 兩點乘積算法本身所需要的數(shù)據(jù)窗很短，理想情況下誤差為零，不過由于算式較復(fù)雜，有可能使算法所需時間的加長與采樣間隔的縮短發(fā)生矛盾，因而限制了這種算法的廣泛應(yīng)用。 如果對乘積算法采取特殊措施，如采用專硬件加法器，則這種算法的應(yīng)用會獲得很大的改善。但實際電網(wǎng)信號不可能是純正弦波，因此要與帶通數(shù)字濾波器配合使用。算法本身與采樣頻率無關(guān)，因此對采樣頻率無特殊要求，但由于數(shù)據(jù)需先經(jīng)過數(shù)字濾波，故采樣頻率的選擇由所用的濾波器來確定。合理的選擇采樣頻率可使數(shù)字濾波器的運 算量大大降低。本算法主要用于配電系統(tǒng)電壓，電源保護。 半周積分算法 半周積分算法原理 半周積分算法的依據(jù)是一個正弦量在任意半個周期內(nèi)絕對值的積分為常數(shù) s， 且與采樣的起始角度無關(guān)。以正弦 電流信號為例，說明如下： 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 ? ?/20222 |s in t a |d tTS I I? ?? ? ?? （ 216） 式 （ 216） 的 積分可以用梯形法則近似求出 TsiiiS NkNk ????????????? ???||21||||21 20121 式中， ki 第 k 次采樣值； N 周期的采樣點數(shù)。 求出積分值 s 后，應(yīng)用式 （ 216） 可求得有效值 22?SI ? (217) 半周積分算法本身所需的數(shù)據(jù)窗長度為工頻的 1/2 周期，時延為 10ms ，它進行的是積分運算，有一定的濾除高頻干擾信號的作用，計算精度與采樣頻率有關(guān)，采樣頻率越高， Ts 越小，精度越高。 半周積分算法的性能分析 半周積分算法的誤差分析 由于用采樣值 求和代替積分，會帶來誤差，此誤差隨 ? 值而變化。設(shè)當(dāng)30T??? ， 15?? 時，可算得 ? ?15 ? ，而當(dāng) 30 , 0T??? ? ?時，? ?0 ? 。 故 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?1 5 0 1 5 0 3 . 8 6 3 6 3 . 7 3 2 1 3 . 5 %3 . 7 3 2 100U U K KUK?? ?? ? ? (220) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 11 圖 23 ? 值變化與計算結(jié)果的誤差曲線 由圖 23可見，由于 ? 值變化會給最后計算的結(jié)果帶來一定的誤差。當(dāng)?30??T? ,? 值變化給最后計算的結(jié)果帶來的誤差曲線見圖 23所示。但 由于采用累加法計算 mU 值，個別采樣所受的干擾對累加的總和的影響就相 對較少。 半周積分算法 小結(jié) 半周 積分算法的依據(jù)是一個正弦量在任意半個周期內(nèi)絕對值的積分為一常數(shù)。半周積分算法本身所需的數(shù)據(jù)窗長度為工頻 1/2 周期，時延為 10ms ，顯然較長。它進行的是積分運算，有一定的濾除高頻干擾信號的作用，因為疊加在基頻成份上的幅度不大的高頻分量在半周積分中其對稱的正負半周互相抵消，剩余的未被抵消的部分所占的比重就減小了。但它不能抑制直流分量。計算精度與采樣頻率有關(guān)，采樣頻率越高，精度越高。該算法計算簡單，避免了平方等其他運算，其缺點是用梯形法求積分存在誤差，因此對于一些要求不高的電流、電壓保護可以采用這種算法，還可以作為復(fù)雜保護的啟動元件的算法，必要的時候可以分配一個簡單的差分濾波器來抑制直流中的非周期分量。 導(dǎo)數(shù)算法 導(dǎo)數(shù)算法原理 導(dǎo)數(shù)算法也叫做微分法。這種算法只需要知道輸入正弦量在某 一 時刻的采樣值和該時刻 1t 的導(dǎo)數(shù)，即可算出其有效值和初相位 。 以電流為例，設(shè) 1i 為 1t 時刻的 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 電流瞬時值，表達式為： ? ? II aIatIi 1011 s in2s in2 ??? ? (221) 則該 時刻電流的 導(dǎo)數(shù)為 ? ? III aatIi 1011 s in2c o s2 ??? ??? (222) 求平方和得 222 112 iIi ????????? 式 (221)和式 (222)相除得 *111 /iitga I ?? (223) 以上分析表明，只要知道電流和電壓在某一時刻的采樣值和 導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流和電壓的有效值和初相位。采樣值可以通過采樣獲得，而導(dǎo)數(shù)不能直接得到，但是可以通過差分方法獲得近似值。 可以取 1t 為兩個相鄰的采樣時刻 n 和 1?n 的中間點，用差分法近似求導(dǎo) ? ?nn iiTi s ?? ? 11 1 (224) 而 1t 時刻電流瞬時值則用平均值計算，即 ? ?nn iii ?? ? 11 21 (225) 該算法實質(zhì)上是利用了正弦的導(dǎo)數(shù)與其自身 具有 90 相位差的性質(zhì) ， 所 以它與兩點算法本質(zhì)上是一致的。 導(dǎo)數(shù)算法的性能分析 導(dǎo)數(shù)算法的誤差分析 導(dǎo)數(shù)算法主要是利用正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為余弦函數(shù)的特點計算正弦電壓，電流的幅值。 設(shè) ? ?m sinI sinmu U tit??????? ???? (226) 則 ? ?** mc o sI c o smu U tit??? ? ?? ??????? (227) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 13 容易得出 22*222*22 2 2 * 222 2 2 * 2mmmmuuUiiUU uuZI i i????? ????? ??? ????????? ?????? ?? ????? (228) 在對電壓，電流采樣以后，利用采樣數(shù)據(jù)進行上述計算時，導(dǎo)數(shù)值采用下式近似代替： * 112kkk uuu T???? ? (229) 式 (229)中 ， k 為采樣值的序號， ku 為第 k 次采樣時的采樣值， 1ku? 則為第 k 次以后經(jīng)過一個 T? 時的采樣值。 1ku? 則為在第 k 次前一次，即前一個 T? 時的采樣值。T? 為一個采樣間隔的時間。 導(dǎo)數(shù)法只需知道輸入正弦量在某一時刻的采樣值及該時刻對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)，即可算出有效值和相位。 下面分析用采樣值計算時帶來的誤差。 令 mU 為精確計算時的電壓幅值， mjU 為用離散的采樣值計算時所得的電壓幅值的計算值，可得 ? ? ? ?222 112222s in s ins in2kkm j kkkmkuuUUTt T t TUtT???????????? ???????? ? ? ? ??????? ??????? (230) 或 2 222 2 22 2 2 2sin sinsin c os 1 c os 1mj k k kmU TTt t tU T T??? ? ????? ????? ? ? ? ??? ???????? (231) 當(dāng) 0kt ? 時，此時誤差最大，若取 12N? ，即 6T ???? 時，則 2m in931 1 5mjmUU ???? ??? ? ? ? ??? ?????? (232) 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 14 即當(dāng) 12N? 時，最大誤 差為 % mU ，出現(xiàn)在瞬時值過零 時刻 。 導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 由式 (231)可知 2 22 222si n1 c os 1mj kmU THtUT ?? ??? ?? ?? ? ? ??? ??????? (233) 從式 (233)可見， H 是頻率 ? 的函數(shù)，此外，它也受 kt 值的影響。 先假定 0kt ? ，即采樣時刻是在輸入信號過零時，此時， 002si nsi n2NTHTN??????????? ????? (234) 當(dāng) 12N? 時， 06 sin 6H ???????????? (235) 其關(guān)系曲線如圖 24所示?？梢姡惴ㄔ?0kt ? ， 12N? 時，對三次諧波最敏感。此時 ，當(dāng) 0??? 時， 3 ??? 。當(dāng) 03??? ， 6 ??? 。 圖 24 0, 12tk N??時導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 當(dāng) 2kt ?? ?時，圖 25即采樣時刻 k 處于輸入信號的最大值時，從式 （ 233） 可 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 15 知， 1H? 。 圖 25 2kt ?? ?時導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 在 0kt ? ，當(dāng) 20N? 時， 010 sin 10H ???????????? (236) 其關(guān)系曲線如圖 26所示，此時，算法對五次諧波最敏感。當(dāng) 0??? 時， 10 s in 0 .9 8 3 610H ?? ????????。當(dāng) 05??? ， 10 83 1H ??? 。 在 2kt ?? ?，當(dāng) 20N? 時， 1H? 。 圖 26 0, 20ktN??時導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 綜上所述，當(dāng) 0kt ? ，即采樣時刻在輸入信號過零時，算法對諧波的敏感程度與一個周期內(nèi)的采樣點數(shù) N 有關(guān)系，當(dāng) 12N? 時，算法對三次諧波最 敏感：當(dāng) 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計（論文） 16 20N? 時，算法對五次諧波最敏感。而當(dāng)2kt ?? ?，無論采樣點數(shù) N 為多少，算法的頻率響應(yīng)恒為 1。 導(dǎo)數(shù)法小結(jié) 導(dǎo)數(shù)法需要的數(shù)據(jù)窗較短，僅為兩個采樣間隔，且算式也不復(fù)雜，這對于加快保護的動作速 度是有好處的。但是由于它要用導(dǎo)數(shù)，這將帶來兩個問題：一是要求數(shù)字濾波器有良好的濾去高頻分量的能力，因為求導(dǎo)數(shù)將放大高頻分量。二是由于用差分近似求導(dǎo)，所以算法的精度和采樣頻率有關(guān)，特別是 T? 較大時，誤差增大。故采用此算法時，為達到一定的精度，要合理選擇采樣頻率。導(dǎo)數(shù)算法常可用于輸入信號中暫態(tài)分量不豐富或者計算精度要求不高的保護中，如直接應(yīng)用于低壓網(wǎng)絡(luò)的電流、電壓后備保護中，或者將其配備一些簡單的差分濾波器以削弱電流中衰減的直流分量作為電流速斷保護，加速出口故障的切除時 間。 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 17 3 基于周期函數(shù)的算法 基于周期函數(shù)模型的算法本身對周期函數(shù)有不錯的濾波效果，故測量故障信號的精