【正文】 以電流為例，設(shè) 1i 為 1t 時(shí)刻的 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 電流瞬時(shí)值，表達(dá)式為： ? ? II aIatIi 1011 s in2s in2 ??? ? (221) 則該 時(shí)刻電流的 導(dǎo)數(shù)為 ? ? III aatIi 1011 s in2c o s2 ??? ??? (222) 求平方和得 222 112 iIi ????????? 式 (221)和式 (222)相除得 *111 /iitga I ?? (223) 以上分析表明，只要知道電流和電壓在某一時(shí)刻的采樣值和 導(dǎo)數(shù)，就可以求出電流和電壓的有效值和初相位。 設(shè) ? ?m sinI sinmu U tit??????? ???? (226) 則 ? ?** mc o sI c o smu U tit??? ? ?? ??????? (227) 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 13 容易得出 22*222*22 2 2 * 222 2 2 * 2mmmmuuUiiUU uuZI i i????? ????? ??? ????????? ?????? ?? ????? (228) 在對(duì)電壓，電流采樣以后，利用采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行上述計(jì)算時(shí)，導(dǎo)數(shù)值采用下式近似代替： * 112kkk uuu T???? ? (229) 式 (229)中 ， k 為采樣值的序號(hào)， ku 為第 k 次采樣時(shí)的采樣值， 1ku? 則為第 k 次以后經(jīng)過一個(gè) T? 時(shí)的采樣值。 下面分析用采樣值計(jì)算時(shí)帶來的誤差?？梢?，算法在 0kt ? ， 12N? 時(shí)，對(duì)三次諧波最敏感。 圖 25 2kt ?? ?時(shí)導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 在 0kt ? ，當(dāng) 20N? 時(shí)， 010 sin 10H ???????????? (236) 其關(guān)系曲線如圖 26所示，此時(shí)，算法對(duì)五次諧波最敏感。 圖 26 0, 20ktN??時(shí)導(dǎo)數(shù)算法的頻率響應(yīng) 綜上所述，當(dāng) 0kt ? ，即采樣時(shí)刻在輸入信號(hào)過零時(shí)，算法對(duì)諧波的敏感程度與一個(gè)周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù) N 有關(guān)系，當(dāng) 12N? 時(shí)，算法對(duì)三次諧波最 敏感：當(dāng) 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16 20N? 時(shí)，算法對(duì)五次諧波最敏感。二是由于用差分近似求導(dǎo)，所以算法的精度和采樣頻率有關(guān)，特別是 T? 較大時(shí)，誤差增大。 正弦函數(shù)模型算法只是對(duì)理想情況下的電流、電壓波形進(jìn)行了粗略的計(jì)算。 常見的有全波傅里葉算法和半波傅里葉算法 ，它們根據(jù)傅里葉級(jí)數(shù)計(jì)算出信號(hào)的有效值。 根據(jù)傅氏級(jí)數(shù)的原理，可以求出 nnba, 非別為： ? ? ? ??? Tn dttntxTa01c o s2 ? (32) ? ? ? ??? Tn dttntxTb01s in2 ? (33) 在 用計(jì)算機(jī) 進(jìn)行處理時(shí)，上式的積分可以用梯形法則求得 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 ??? Nk kn NnkxNa 1 2c o s2 ? (34) ??? Nk kn NnkxNb 1 2s in2 ? (35) 式中， N 為一周期采樣點(diǎn)數(shù)， kx 為第 k 次采樣值，當(dāng) n 取不間的數(shù)值時(shí)，可求出不同次諧波分量的正 弦量和余弦量。 半波傅氏算法 全周波傅氏算法由于需要等待一個(gè)采樣周期結(jié)束時(shí)才能進(jìn)行計(jì)算，因此其響 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分析及仿真 19 應(yīng)速度比較慢， 為了提高響應(yīng)速度，根據(jù)正余弦函數(shù)的性質(zhì)，我們可以只取半個(gè)采樣周期來計(jì)算，這種方法叫做半周波傅氏算法，半周波傅氏算法的計(jì)算和推導(dǎo)過程與全周波傅氏算法相似，計(jì)算式子如下： ??? 2/ 1 2c o s4 Nk kn NnkxNa ? (312) ??? 2/ 1 2s in4 Nk kn NnkxNb ? (313) 由于半波傅氏算法只用半個(gè)周期的采樣數(shù)據(jù)，響應(yīng)快，但濾波能力相對(duì)較弱，不能消除直流分量和偶次諧波，故只能用于保護(hù)切除出口或近處故障。 (2)衰減直流分量的影響 ． 傅氏算法的基礎(chǔ)是假定輸入信號(hào)是周期函數(shù)，可以分解為整倍數(shù)頻率的 分量之和，其中包括恒 定的直流分量。因此，當(dāng)采用傅氏算法，而輸入中含有衰減直流分量時(shí)，計(jì)算所得的基頻或倍頻分量必定含有誤差。當(dāng)初相角 0?? ， 12N?時(shí) ，其頻率響應(yīng)特性如圖 31所示； 當(dāng) 2??? ， 12N? 時(shí)，其頻率響應(yīng)特性如圖 32所示。但當(dāng) p 不為整數(shù)時(shí)，即即存在分?jǐn)?shù)次諧波時(shí)，全波和半波傅氏算法都會(huì)帶來一定的誤差。 （ a） 待分析信號(hào) 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 （ b） 全波傅氏算法求得的基波分量 （ c） 半波傅氏算法求得的基波分量 圖 35不含衰減直流分量時(shí)用傅里葉變換計(jì)算信號(hào)的基波幅值 。而且隨著時(shí)間窗的推移，傅氏算法的計(jì)算結(jié)果會(huì) 產(chǎn)生振蕩，從圖 36可以看出，無論是全波還是半波傅氏算法，在振蕩了 6個(gè)周期（即 120ms ）后仍未收斂到真值 20。的有限長(zhǎng)脈沖響 應(yīng)濾波器（ FIR 濾波器）的兩點(diǎn)乘積算法，傅氏算法和兩點(diǎn)乘積法的本 質(zhì)是統(tǒng)一的。顯然，傅里葉算法在克服干擾和響應(yīng)速度上存在不足，在提高響應(yīng)速度和減少計(jì)算量方面，目前主要從下面四個(gè)方面來考慮： （ 1） 盡可能減少采樣點(diǎn)數(shù) N ； （ 2） 選取合適的 N 以使正弦序列盡可能取易于計(jì)算的值，從而將乘法運(yùn)算減少或轉(zhuǎn)化為移位運(yùn)算； （ 3）對(duì)信號(hào)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn) 化，忽略信號(hào)中的偶次諧波分量，可導(dǎo)出計(jì)算量減半和響應(yīng)速度增倍的半波傅里葉算法； （ 4） 利用遞推算法。 LR?模型算法同前述各種算法不同，它不是僅反應(yīng)基頻分量，而是在相當(dāng)寬帶一個(gè)頻段內(nèi)都能適用，因此， LR? 模型算法不受頻率變化的影響。（ 2） LR? 模型算法不受頻率變化的影響采用 LR? 模型， 可先用短數(shù)據(jù)窗的低帶通濾波器濾波后，進(jìn)行一次粗略但快速的計(jì)算，以便快速 切除近處故障；對(duì)于 I段保護(hù)范圍邊緣的故障， 則再用長(zhǎng)數(shù)據(jù)庫(kù)的帶通濾波器進(jìn)行精算濾波后切除故障，這樣就較好解決了速度和精度的矛盾。電力系統(tǒng)中的中低 壓網(wǎng)絡(luò)和不太長(zhǎng)的 KV220 輸電線上短路時(shí)，上述條件基本上可以滿足。在這種情況下，一些適合于隨機(jī)模型的算法應(yīng)運(yùn)而生。該算法 是 假定輸入信號(hào)是由衰減直流分 量 和有限項(xiàng)的 整數(shù) 倍諧波分量組成的，將輸入信號(hào)最大限度地?cái)M合于這一函數(shù)模型，并將擬合過程中剩余的部分作為誤差量，使其均方值減到最小。設(shè)擬合函數(shù)為： ? ? ? ? ? ?? ??? ??? Nn InRn tnXtnXeXty 1 c o ss in10 ??? (51) 式中， nRX ， InX 分別為 n 次諧波信號(hào)的實(shí)部和虛部，即 nnRn XX ?cos? ， nnIn XX ?sin? ；nX ， n? 分別為信號(hào)的幅值和初相角； 0X ， ? 為衰減非周期分量的起始值和時(shí)間常數(shù)。同時(shí)，可以利用一個(gè)預(yù)設(shè)函數(shù)擬合，同時(shí)計(jì)算輸入信號(hào)中各種所需計(jì)算的分量。當(dāng)擬合 函數(shù) 包含有第 j次諧波分量時(shí)，相當(dāng)于在該次諧波頻率處設(shè)置一零點(diǎn)?？柭鼮V波算法，也稱卡爾曼最佳線性估計(jì)，是從另一種最小均方估計(jì)誤差的角度出發(fā)，以遞推的形式實(shí)現(xiàn)。 卡爾曼濾波算法的基本思想是根據(jù)某一系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測(cè)方程，用估值算法對(duì)某個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)。 設(shè)有線性系統(tǒng)，其系統(tǒng)狀 SSS態(tài)方程為： 1111/ ???? ???? kkkkkk xx ? (516) 其系統(tǒng)量測(cè)方程為： ? ?1, ???? kvxH kkkk (517) 式中， kx ， kZ 分別為系統(tǒng) n 維狀態(tài)變量和 m 維量測(cè)變量。 卡爾曼濾波的出發(fā)點(diǎn)是將故障信號(hào)中的基波分量看成是有效成分，而將故障信號(hào)中的高次諧波、低次諧波分量及衰減非周期分量作為噪聲來處理，從含有噪聲的測(cè)量中，通過不斷的預(yù)測(cè)修正運(yùn)算，最優(yōu)地估計(jì)出 50Hz電流和電壓相量。卡爾曼濾波用在多狀態(tài)變量的估計(jì)上，需要矩陣運(yùn)算，一般的微型機(jī)很難滿足速度上的要求，致使卡爾曼濾波在微機(jī)距離保護(hù)上的應(yīng)用在較長(zhǎng)時(shí)間里，始終處在理論研究階段。因此，最小二乘算法未能在微機(jī)距離保護(hù)中得到廣泛采用。（ 2）最小二乘算法的精度一方面受數(shù)據(jù)窗大小影響，數(shù)據(jù)窗越大，精度越高；另一方面，受選擇的擬合函數(shù)模型影響，模型包含的諧波次數(shù)越多，精度就越高，但表達(dá)式也越復(fù)雜，計(jì)算量也越大，因而在實(shí)用中還需在精度與速度之間仔細(xì)權(quán)衡。如對(duì)采用二次諧波制動(dòng)原理的變壓器差動(dòng)保護(hù)只要求計(jì)算出基波和二次諧波，因此只需要計(jì)算 A? 中的第 4,5,6,7行乘 Y ，即可得 出2211 , IRIR XXXX ，則基波和二次諧波的幅值就可以用以下式計(jì)算出： 2,1,22 11 ??? iXXX IRi (511) 當(dāng) 應(yīng)用于阻抗計(jì)算的時(shí)候，可將 X 以電壓和電流代入分別計(jì)算 A? 的 4,5行乘Y ，即可以求出電流，電壓的幅值為： ? ?UmUUmUUUm UXUXXXU 55445242 s i n,c o s ?? ???? (512) ? ?UIUIII XXXX 5m54m45242m s i nI,c o sII ?? ???? (513) 從而求出保護(hù)安裝處至短路點(diǎn)的阻抗為 IIIUIU XX XXXXIUR52425544Re ?????????? (514) IIIUIU XX XXXXIUX52425445Im ?????????? (515) 最小二乘算法性能分析 最小二乘方算法是將輸入的暫態(tài)電氣量與一個(gè)預(yù)設(shè)的含有非周期分量及其某些諧波分量的函數(shù)按最小二乘方（或最小 平方誤差）的原理進(jìn)行擬合，使被處理的函數(shù)與預(yù)設(shè)函數(shù)盡可能逼近，其總方差或最小均方差為最小，從而可求出輸入信號(hào)中的基頻及各種暫態(tài)分量的幅值和相角。目前所采用的最小二乘算法大多將擬合函數(shù)選擇為包含直流、基頻和幾種低次諧波分量 。 最小二乘算法 最小濾波二乘算法原理 最小二乘濾波算法在實(shí)用上，最常用的模型是線性化的衰減直流分 量 加上基頻分量和整數(shù)倍數(shù)的 諧波分量 。但是在較長(zhǎng)的 KV220 和 KV500 輸電線上短路，或在有并聯(lián)補(bǔ)償電容的系統(tǒng)中短路時(shí)，會(huì)產(chǎn)生一些非整數(shù)倍數(shù)的諧波，這些諧波的頻率和幅值大小是隨機(jī)的，隨著短路地點(diǎn)，系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)等參數(shù)不 同而不同。在這種情況下，計(jì)算結(jié)果精度是很高的，對(duì)非主頻的抑制效果也很好，但是當(dāng)出現(xiàn)衰減直流分量時(shí)，輸入信號(hào)本身不是周期函數(shù)，此時(shí)經(jīng)過按數(shù)據(jù)窗截?cái)嗪笤傺油爻芍芷诤瘮?shù)，是可以分解成基頻及倍頻，但數(shù)值大小已經(jīng)發(fā)生變化，與原來函數(shù)所含的基頻或相應(yīng)的倍頻數(shù)值己不一樣。 LR? 模型算法同前述各種算法不同，它不是僅反應(yīng)基頻分量，而是在 相當(dāng)寬帶一個(gè)頻段內(nèi)都能適用。因?yàn)榫€路分布電容產(chǎn)生的影響主要表現(xiàn)為高頻分量，采用低通濾波器可將高頻分量濾除。 從精度來看，由于半波傅氏算法的數(shù)據(jù)窗只有半周，其精度要比全波傅氏算法差。 可見，當(dāng)信號(hào)中含有分?jǐn)?shù)次諧波時(shí)，全波和半波傅里葉算法的結(jié)果也會(huì)產(chǎn)生周期性振蕩，全波傅氏算法在最嚴(yán)重的情況下誤差超 過 20％ ，半波傅氏算法的誤差更大，接近 30％，從而使得基波分量的計(jì)算結(jié)果帶來很大的誤差，嚴(yán)重破壞了保護(hù)算法的安全性與可靠性。 (1)待分析信號(hào)中含有衰減直流分量 假設(shè)待分析信號(hào)為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 . 0 32 0 2 0 s i n 4 s i n 2 1 0 s i n 3 2 s i n 4 6 s i n 53ti t e t t t t t?? ? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? ????? (325) 一周期內(nèi)采樣點(diǎn)取 20N? ，此時(shí)信號(hào)的波形和仿真結(jié)果如圖 36所示。下面通過仿真實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證這一點(diǎn)。 圖 31 12N? ， 0?? 時(shí)全波傅氏 算法的頻率響應(yīng)特性 南京工程學(xué)院康尼學(xué)院畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 圖 32 12, 2N ????時(shí)全波傅氏 算法的頻率響應(yīng)特性 圖 33 12N? ， 0?? 時(shí)半波傅氏算法的頻率響應(yīng)特性 圖 34 12, 2N ????時(shí)半波傅氏算法的頻率響應(yīng)特性 徐安超：幾種數(shù)字算法的特性分