【文章內(nèi)容簡介】 圖 21a svd變換后運(yùn)行結(jié)果 從左至右依次為：原圖像轉(zhuǎn) 換為灰度圖后的圖像，矩陣 U等價(jià)的圖像，矩陣 S等價(jià)的圖像 圖 21b svd變換后運(yùn)行結(jié)果 從左至右依次為：矩陣 V等價(jià)的圖像，矩陣 SM等價(jià)的圖像，矩陣 SN等價(jià)的圖像 武漢理工大學(xué)《 matlab 課程設(shè)計(jì)》報(bào)告 9 圖像的正交分解 正交分解理論知識 實(shí)數(shù)矩陣 A 的 QR 分解 是把 A 分解為 QRA? （公式 24） 這里的 Q 是 正交矩陣 （意味著 QTQ = 1）而 R 是上 三角矩陣 。類似的，我們可以定義 A 的 QL, RQ 和 LQ 分解。 更一般的說，我們可以因數(shù)分解復(fù)數(shù) mn 矩陣（有著 m ≥ n）為 mn 酉矩陣 （在 Q? Q = 1的意義上）和 nn 上三角矩陣的乘積。 如果 A 是 非奇異 的，則這個(gè)因數(shù)分解為是唯一，當(dāng)我們要求 R 的對角是正數(shù)的時(shí)候。 程序及運(yùn)行結(jié)果 I=imread(39。 C:\Users\Administrator\Pictures\ 39。)。 II=rgb2gray(I)。 A=im2double(II) [Q,R]=qr(A,0) %對矩 陣 A進(jìn)行經(jīng)濟(jì)型 QR分解 B=Q*R。 subplot(1,3,1)。 imshow(II)。 subplot(1,3,2)。 imshow(Q) subplot(1,3,3)。 imshow(R) 運(yùn)行結(jié)果如圖 23所示，各圖像從左至右依次為原圖像轉(zhuǎn)換為灰度圖后的圖像，矩陣 Q等價(jià)的圖像，矩陣 R 等價(jià)的圖像 武漢理工大學(xué)《 matlab 課程設(shè)計(jì)》報(bào)告 10 圖 23 對圖像進(jìn)行正交分解后的顯示窗口 從左至右：原始灰度圖，分解后 Q 矩陣代表圖，分解后 R 矩陣代表圖 圖像的離散余弦變換 離散余弦變換，尤其是它的 第二種類型，經(jīng)常被 信號處理 和 圖像處理 使用，用于對 信號 和 圖像 (包括 靜止圖像 和 運(yùn)動(dòng)圖像 )進(jìn)行 有損數(shù)據(jù)壓縮 。這是由于離散 余弦變換具有很強(qiáng)的 能量集中 特性 :大多數(shù)的自然信號 (包括聲音和圖像 )的能量都集中在離散余弦變換后的低頻部分。 離散余弦變換（ Discrete Cosine Transform）的計(jì)算速度要比對象為復(fù)數(shù)的離散傅立葉變換塊得多，并且已經(jīng)被廣泛應(yīng)用到圖像壓縮編碼、語音信號處理等眾多領(lǐng)域。 一維離散余弦變換的定義可以用下式表示： (公式 25) ???? 10 )(1)0( Nx xfNF??? ?? 10 2 )1(2c o s)(2)( Nx N uxxfNuF ?武漢理工大學(xué)《 matlab 課程設(shè)計(jì)》報(bào)告 11 (公式 26) 式中 )(uF 是第 u 個(gè)余弦變換系數(shù)， u 是廣義頻率變量， 1,2,1 ?? Nu ? ； )(xf 是時(shí)域 N點(diǎn)序列 1,2,1,0 ?? Nx ? 。 (公式 27) 二維離散余弦變換的定義由下式表示： (公式 28) 其中 ),( yxf 為空間 域中二維向量， 1,2,1,0, ?? Nyx ? ， ),( vuF 為變換系數(shù)矩陣，1,2,1, ?? Nvu ? 。 程序及運(yùn)行結(jié)果 如下編輯 M 程序，可得如圖 24所示的經(jīng)離散余弦變換后的圖像 I=imread(39。C:\Users\Administrator\Pictures\39。)。 S=dct2(II)。 subplot(1,2,1) imshow(I) subplot(1,2,2) imshow(log(abs(S)),[]) %輸出頻譜二維圖像 colormap(jet(64))。 %定義色圖為 HSV變異真彩色圖 運(yùn)行結(jié)果如圖 24所示，各圖像從左至右依次為原圖像， dct 變換后輸出圖像。 ??? ??? 11 2 )12(c os)(2)0(1)( Nu N uxuFNFNxf ?? ??? ?? ???10 10 2 )12(c o s2 )12(c o s),(2 Nx Ny N vyN uyyxfN ??武漢理工大學(xué)《 matlab 課程設(shè)計(jì)》報(bào)告 12 圖 24 dct 變換后窗口顯示圖像 從左至右依次為：原始圖像， dct 變換后圖像 圖像的 離散傅利葉變換 離散傅利葉變換理論基礎(chǔ) 離散傅立葉變換還有一個(gè)明顯的 優(yōu)點(diǎn)就是具有快速算法 ，即快速傅立葉算法 (Fast Fourier Transform)，它可以大大減少計(jì)算次數(shù)，使計(jì)算量減少到只是相當(dāng)于直接使用離散傅立葉變換所用的一小部分。并且，二維離散傅立葉變換很容易從一維的概念推廣得到。在數(shù)字圖像處理中，二維離散傅立葉被廣泛的應(yīng)用于圖像增強(qiáng)、復(fù)原、編碼和分類中。 如果為一長度為 N 的數(shù)字序列，則其離散傅里葉正變換定義由下式來表示： (公式 29) 二維離散函數(shù) ),( yxf 的傅立葉變換為： ? ? ??? ?????????? 10 2e x p)()()( Nx NuxjxfxfuF ?武漢理工大學(xué)《 matlab 課程設(shè)計(jì)》報(bào)告 13 (公式 210) 離散傅里葉變換已成為數(shù)字信號處理的重要工具，但是它的計(jì)算量較大，運(yùn)算時(shí)間長，在某種程度上限制了它的使用。為了解決這一矛盾，引用了快速傅里葉變換的思想。 快速傅立葉算法以 N 的組成狀況可以分成 N 為 2 的整數(shù)冪的算法； N 為高復(fù)合數(shù)的算法； N 為素?cái)?shù)的算法三種情況。這里介紹第一種算法。 令 ? ?NxjWN /2ex p ??? 一維離散傅立葉變換公式變?yōu)? (公式 211) xu, 分別為 1,2,1,0 ?N? 。再令 nN 2? ?,2,1,0?n 在此基礎(chǔ)上，將 )(xf 分解成為 )2( xf 和 )12( ?xf 對應(yīng)的偶數(shù)和奇數(shù)兩部分， x 的取值范圍由原來的 0 到 1?N 改為 0 到 12?N 。下面我們按照奇偶來將序列 )(nf 進(jìn)行劃分，設(shè)： ??? ?? 10 )()( Nn unNWnfuF ? ??? ?? ?????? 12 0 12 0 )12()2( )12()2(Nn Nn nuNnuN WnfWnf (公式 212) 因此，離散傅立葉變換可以改寫成下面的形式： (公式 213) 因此，一個(gè)求 N 點(diǎn)的離散傅立葉變換可以被轉(zhuǎn)換成為兩個(gè)求 點(diǎn)的離