【文章內(nèi)容簡介】 min 或目標函數(shù)極大化 f（ x）→ max。由于求 f（ x）的極大化與求 f（ x）的極小化等價，所以今后優(yōu)化問題的數(shù)學表達式一律采用目標函數(shù)極小化形式。 優(yōu)化設計的步驟 一般來說，優(yōu)化設計有以下幾個步驟： 建立數(shù)學模型 — 般說來建立數(shù)學模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機理分析方法，一類是測試分析方法．機理分析是根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認識、分析其因果關系，找出反映內(nèi)部機理的規(guī)律 ,建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實意義 . 模型準備 首先要了解問題的實際背景，明確建模的目的搜集建模必需 的各種信息如現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等，盡量弄清對象的特征 ,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準備工作．情況明才能方法對，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實際工作的同志請教，盡量掌握第一手資料 . 模型假設 根據(jù)對象的特征和建模的目的，對問題進行必要的、合理的簡化，用精確的語言做出假設，可以說是建模的關鍵一步．一般地說，一個實際問題不經(jīng)過簡化假設就很難翻譯成數(shù)學問題，即使可能，也很難求解．不同的簡化假設會得到不同的模型．假設作得不合理或過份簡單，會導致模型失敗或部分失敗，于是應該修改和補充假設；假設作得過 分詳細，試圖把復雜對象的各方面因素都考慮進去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作．通常，作假設的依據(jù)，一是出于對問題內(nèi)在規(guī)律的認識，二是來自對數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合．作假設時既要運用與問題相關的物理、化學、生物、經(jīng)濟等方面的知識，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力和判斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性Rx xf? )(min南昌航空大學科技學院學士學位論文 13 化、均勻化．經(jīng)驗在這里也常起 重要作用．寫出假設時，語言要精確，就象做習題時寫出已知條件那樣 。 模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設分析對象的因果關系，利用對象的內(nèi)在規(guī)律和適 當?shù)臄?shù)學工具，構(gòu)造各個量 (常量和變量 )之間的等式 (或不等式 )關系或其他數(shù)學結(jié)構(gòu)．這里除需要一些相關學科的專門知識外，還常常需要較廣闊的應用數(shù)學方面的知識，以開拓思路 .當然不能要求對數(shù)學學科門門精通 ,而是要知道這些學科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決．相似類比法，即根據(jù)不同對象的某些相似性，借用已知領域的數(shù)學模型，也是構(gòu)造模型的一種方法．建模時還應遵循的一個原則是，盡量采用簡單的數(shù)學工具，因為你建立的模型總是希望能有更多的人了解和使用 ,而不是只供少數(shù)專家欣賞 。 模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、 邏輯運算、數(shù)值計算等各種傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學方法，特別是計算機技術． 模型分析 對模型解答進行數(shù)學上的分析，有時要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關系或穩(wěn)定狀況，有時是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學上的預報，有時則可能要給出數(shù)學上的最優(yōu)決策或控制，不論哪種情況還常常需要進行誤差分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等． 模型檢驗 把數(shù)學上分析的結(jié)果翻譯回到實際問題，并用實際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢驗模型的合理性和適用性．這一步對于建模的成敗是非常重要的，要以嚴肅認真的態(tài)度來對待．當然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接 受實際的檢驗了．模型檢驗的結(jié)果如果不符合或者部分不符合實際，問題通常出在模型假設上，應該修改、補充假設，重新建模．有些模型要經(jīng)過幾次反復，不斷完善，直到檢驗結(jié)果獲得某種程度上的滿意 。 模型應用 應用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書討論的范圍。 應當指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時各步驟之間的界限也不那么分明．建模時不應拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實例就采取了靈活的表述方式 。 選擇最優(yōu)化算法 對于一定的數(shù)學模型，選用何種優(yōu)化算法來求得其最優(yōu)解，對提 高計算效率，甚至對保證計算成功有著相當大的關系。選擇的依據(jù)通常是：是連續(xù)問題還是離散問題？是有約束問題還是無約束問題？問題的規(guī)模多大？所要達到的計算精度如何？南昌航空大學科技學院學士學位論文 14 目標函數(shù)的導數(shù)是否容易計算？目標函數(shù)和數(shù)學形態(tài)如何？是否有現(xiàn)成的程序可以引用？盡可能使優(yōu)化計算過程可靠地完成，這一點是選擇算法時應著重予以考慮的。 最優(yōu)化 算 法是近幾十年形成的，它主要 運用數(shù)學方法 研究各種系統(tǒng)的優(yōu)化途徑及方案，為決策者提供科學決策的依據(jù)。最優(yōu)化方法的主要研究對象是各種有 組織系統(tǒng) 的管理問題及其生產(chǎn)經(jīng)營活動。最優(yōu)化方法的目的在于針對所研究的 系統(tǒng)，求得一個合理運用人力、物 力和財力的最佳方案，發(fā)揮和提高系統(tǒng)的效能及效益，最終達到系統(tǒng)的最優(yōu)目標。實踐表明，隨著科學技術的日益進步和生產(chǎn)經(jīng)營的日益發(fā)展，最優(yōu)化方法已 成為現(xiàn)代管理科學 的重要理論基礎和不可缺少的方法，被人們廣泛地應用到公共管理、經(jīng)濟管理、國防等各個領域，發(fā)揮著越來越重要的作用。本章將介紹最優(yōu)化方法的研究對象、特點，以及最優(yōu)化方法模型的建立和模型的分析、求解、應用。主要是線性規(guī)劃問題的模型、求解（線性規(guī)劃問題的單純形解法）及其應用運輸問題；以及動態(tài)規(guī)劃的模型、求解、應用 ―― 資源分配問題。 程序設計 對已經(jīng)建立的數(shù)學模型和選定的優(yōu)化算法，必須把它們編制成程序，才能夠交由計算機完成計算。在編制程序前，應當把包括計算目標函數(shù)值、反映約束條件和執(zhí)行優(yōu)化算法在內(nèi)的整個計算過程，整理排列為一些邏輯關系，清楚流程流向合理的以方框表示的流程圖，以充分反映整個計算過程中各部分計算的先后順序及相互關系。 編寫準備輸入計算機的源程序。選擇哪一種計算機語言來編制程序應當根據(jù)計算機的軟件配置和對現(xiàn)成程序可引用的程度來決定，并且也要考慮到數(shù)學模型的計算特點和編程人員對語言的掌握情況。 在編制程序以前，對整個 程序的結(jié)構(gòu)安排、輸入輸出方式、乃至標示符的命名等問題，都應當有充分的考慮。程序編成后，應在計算機上反復調(diào)試。待程序調(diào)試通過后，可選擇一些典型的算例驗算多次，以證明程序中的各條計算路徑都是暢通無誤的。 計算機自動篩選最優(yōu)設計方案 待完成的設計任務向我們提供了設計條件，把這些設計條件整理排列成輸入數(shù)據(jù)，并輸入到計算機中以后，計算機將完成優(yōu)化設計任務。 優(yōu)化設計與常規(guī)設計的比較 優(yōu)化 設計各參數(shù)： X [z z iⅠ 、 iⅡ 、 mnⅠ 、 mnⅡ 、 β ] =[19,22,2,4,176。 ] f(x)= mm 常規(guī)設計各參數(shù)： X [z z iⅠ 、 iⅡ 、 mnⅠ 、 mnⅡ 、 β ] 南昌航空大學科技學院學士學位論文 15 =[28,28,2 ,15176。 ] f(x)=372 mm 圓柱齒輪傳動具有結(jié)構(gòu)緊湊，體積小、重量輕、傳動效率高等特點，近年來在工程機械上得到廣泛的應用．過去人工設計圓柱齒輪機構(gòu)只能從少數(shù)的幾種方案中進行比較決定．用這種方法選擇的方案和參數(shù)，沒有明確的評價指標，因此用常規(guī)設計方法只能找一個滿足要求的可行方案，此方案不一定是最佳方案．采用 優(yōu)化設計方法，按某種設計指標直接達到最佳參數(shù)設計方案，這無論對減輕變速箱的重量，縮小其體積或提高承載能力、節(jié)約材料及降低成本，均有重大 的現(xiàn)實意義。 通過對比可以得到 : (1)經(jīng)優(yōu)化設計后，體積比原設計有顯著的減少； (2)采用優(yōu)化設計程序來計算，大大縮短了設計周期； (3)當然，體積最小并不是機械產(chǎn)品最理想的唯一優(yōu)化目標．還有很多其他指標來衡量機械產(chǎn)品的優(yōu)劣，例如：材料消耗少、生產(chǎn)周期短、制造成本低等，所以還需要進一步的研究． 在優(yōu)化設計中，基本輸入?yún)?shù)未變，只對加權因子進行調(diào)節(jié)．經(jīng)優(yōu)化后，中心距下降，因此。 對減速器進行優(yōu)化設計計算是可行的．采用優(yōu)化方法進行設計，不僅節(jié)省材料，降低成本，而且節(jié)省設計時間，使設計參數(shù)達到最優(yōu)值，這對提高設計水平，改善傳統(tǒng)的設計方法十分有益，并為新產(chǎn)品改進設計提供了依據(jù)。 原始數(shù)據(jù)及設計要求 原始數(shù)據(jù) 二級圓柱齒輪減速器，已知輸入功率 P=，輸入轉(zhuǎn)速 n1=1450r/min，總傳動比 i=，齒輪的寬度系數(shù) φ a=，工作壽命 10 年，每年工作 300 天。 設計要求 1） 采用懲罰函數(shù)法，以中心距最小為目標進行減速器優(yōu)化設計； 2） 與常規(guī)設計結(jié)果進行比較分析； 3） 繪制減 速器裝配圖及主要零件圖。 減速器輪傳動類型的選擇 根據(jù)上述設計要求：短期間斷、傳動比大、結(jié)構(gòu)緊湊和外窺尺寸較小。根據(jù)各傳動類型的工作特點可知，展開式圓柱齒輪傳動適合結(jié)構(gòu)緊湊，傳動比大，因而選擇展開式圓柱齒輪傳動。其傳動簡圖如圖 21所示。 南昌航空大學科技學院學士學位論文 16 圖 21 減速器輪傳動簡圖 建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型 從圖 21的減速器傳動簡圖中可以看出，它由兩對圓柱齒輪傳動共四個齒輪組成，它們的齒數(shù)分別為 z z z z4，相應的齒數(shù)比分別是 iⅠ = z2/ z1和 iⅡ = z4/ z3； 兩組傳動齒輪的法 面模數(shù)分別設為 mnⅠ和 mnⅡ ； 齒輪的螺旋角為 β 。在這里 zz z z iⅠ 、 iⅡ 、 mnⅠ 、 mnⅡ 和 β 都是設計參數(shù)。 但由于設計時一給定總傳動比 i ，且有 i= iⅠ iⅡ ， 所以 iⅡ = i/iⅡ 。 從而四個齒輪的齒數(shù)只要能確定兩個即可。通過設定兩個小齒輪的齒數(shù) z1和 z3為設計變量。因此，這個設計問題的獨立設計變量為： z z iⅠ 、 iⅡ 、 mnⅠ 、 mnⅡ 和 β 六個。并不是所有的設計參數(shù)都是設計變量。 按照要求使減速器的中心距 A 最小，目標函數(shù)寫成 保證總中心距 A 為最小時應滿足的條件是本優(yōu)化設計問題的約束條件，它們是：齒面接觸強度和齒根彎曲強度以及中間軸Ⅱ上大齒輪 z2 不與低速軸Ⅲ發(fā)生干涉。 1) 齒面接觸強度計算給出 式中 [σH]許用接觸應力； TⅠ 高速軸Ⅰ的扭矩； TⅡ 中間軸Ⅱ的扭矩； KⅠ、 KⅡ 載荷系數(shù)； )12(m i n])1()1([c os2 1 II1III1I ?????? izmizmA nn?)22(0c ][ 3IIII6II33II32H ???? ??? izm n)32(0c ][ 3II6I33I32H ???? ??? izm n南昌航空大學科技學院學士學位論文 17 Ψ 齒寬系數(shù)； 2）齒根彎曲強度計算給出 高速級大、小齒輪的齒根彎曲強度條件為 和 低速級大、小齒輪的齒根彎曲強度條件為 式中 4321 ][][][][ WWWW ???? 分別是齒輪 z z z3和 z4 的許用接 觸應力； 4321 YYYY 分別是齒輪 z z z3和 z4 的齒形系數(shù)； 3）根據(jù)不干涉條件，有 式中 s低速軸 Ⅲ的軸線和中間軸Ⅱ上大齒輪 z2齒頂間的距離?？扇?s=5mm。 得 )82(0)5(c o s2)1( I1IIIII3II ?????? izmmizm nnn ? 另外，還要考慮傳動平穩(wěn)、軸向力不宜過大、高速級與低速級的大齒輪 z3和 z4 浸油深度大致相等、小齒輪分度圓尺寸不能太小等因素，建立一些邊界約束條件 )92( ??? iii bxa式中 i = 1， 2， ...， 6（ 6 是設計變量的個數(shù)）。這樣，則可以寫出二級圓柱齒輪減速器優(yōu)化設計的數(shù)學模型如下： )42(0c os)1(TK3 Yψ][ σ 221I3III 11W ???? ?zmi n)62(0c os)1(TK3 Yψ][ σ 223II3IIIII 33W ???? ?zmi n)52(0c os)1(TK3 Yψ][ σ 221I3III 22W ???? ?zmi n)72(0c os)1(T3K ψY][ σ 223II3IIIII 44W ???? ?zmi nm i n])1()1([c os2 1 II1III1I ????? izmizmA nn?0c ][ 3IIII6II33II32H ??? ??? izm n0)c os2(c os2 )1( 13 ????? sizmmizm IInInIIIIn ??南昌航空大學科技學院學士學位論文 18 0)5(c o s2)1( I1IIIII3II ????? izmmizm nnn ? 111 bza ?? 232 bza ?? 33 bma nI ??