20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第一章4．1單位圓與任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義、4．2單位圓與周期性練習(xí)題含答案(編輯修改稿)
2025-01-03 00:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 (2)在直角坐標(biāo)系的單位圓中 ， 已知 α＝－ 136 π . ① 畫出角 α； ② 求出角 α的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)； ③ 求出角 α的正弦、余弦值 ． 解： (1)根據(jù)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義知 ， sin α ＝－ 45， cos α ＝ － 45和 35. (2)① 因?yàn)?α＝－ 136 π ＝－ 2π － π 6 ， 所以角 α的終邊與－ π 6 的終邊相同 ， 如圖 ， 以原點(diǎn)為角的頂點(diǎn) ， 以 x 軸的非負(fù)半軸為角的始邊 ， 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 136 π ， 與單位圓交于點(diǎn) P， 則角 α如圖所示 ． ② 因?yàn)?α＝－ 136 π ， 所以點(diǎn) P 在第四象限 ． 由 ① 知 ， ∠ AOP＝ π 6 ， 過點(diǎn) P 作 PM⊥ x 軸于點(diǎn) M， 則在 Rt△ MOP 中 ， ∠ OMP＝ π 2 ， ∠ MOP＝ π 6 ， OP＝ 1， 由直角三角形的邊角關(guān)系 ， 得 OM＝ 32 ， MP＝ 12， 所以得點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ??? ???32 ， － 12 . ③ 根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的定義 ， 得 sin?? ??－ 136 π ＝－ 12， cos?? ??－ 136 π ＝ 32 . 判斷三角函數(shù)值的符號(hào)及角所在象限 判斷符號(hào)： (1)sin 340176。 cos 265176。 ； (2)若 sin 2α 0， 且 cos α 0， 試確定 α所在的象限 ． [解 ] (1)因?yàn)?340176。 是第四象限角 ， 265176。 是第三象限角 ， 所以 sin 340176。 0， cos 265176。 sin 340176。 cos 265176。 0. (2)因?yàn)?sin 2α 0， 所以 2kπ 2α 2kπ ＋ π (k∈ Z)， 所以 kπ α kπ ＋ π 2 (k∈ Z)． 當(dāng) k 為偶數(shù)時(shí) ， 設(shè) k＝ 2m(m∈ Z)， 有 2mπ α 2mπ ＋ π 2 (m∈ Z)；當(dāng) k 為奇數(shù)時(shí) ， 設(shè) k＝ 2m＋ 1(m∈ Z)， 有 2mπ ＋ π α 2mπ ＋ 3π2 (m∈ Z)． 所以 α為第一或第三象限角 ． 又由 cos α 0， 可知 α為第三象限角 ． 方法歸納 (1)三角函數(shù)值的符號(hào)可按以下口訣記憶：一全正 ， 二正弦 ， 三正切 ， 四余弦 (是正的 )． (2)對(duì)于確定 α 角所在象限問題 ， 應(yīng)首先界定題目中所有三角函數(shù)的符號(hào) ， 然后依據(jù)上述三角函數(shù)的符號(hào)來確定角 α所在的象限 ， 則它們所在象限的公共部分即為所求 ． 3． (1)若 α是第二象限角 ， 則點(diǎn) P(sin α ， cos α )在 ( ) A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 (2)填空： ① 如果 sin α 0， 且 cos α 0， 則 α是第 ________象限角； ② 如果 cos α 0， 且 sin α 0， 則 α是第 ________象限角； ③ 如果 sin α cos α 0， 則 α是第 ________象限角； ④ 如果 sin α cos α 0， 則 α是第 ________象限角 ． (3)判斷下列各式的符號(hào) ． ① α 是第四象限角 ， sin α cos α ； ② sin 3 cos 4 cos?? ??－ 23π4 . 解： (1)選 α是第二象限角 ， 所以 cos α 0， sin α 0. 所以點(diǎn) P 在第四象限 ． (2)① 二 ② 四 ③ 一或三 ④ 二或四 (3)① 因?yàn)?α是第四象限角 ， 所以 sin α 0， cos α sin α cos α 0. ② 因?yàn)?π 2 3π ， π 43π2 ， 所以 sin 30， cos 40. 因?yàn)椋?23π4 ＝－ 6π ＋ π 4 ， 所以 cos?? ??－ 23π4 0. 所以 sin 3 cos 4 cos?? ??－ 234 π 0. 周期性及其應(yīng)用 已知函數(shù) f(x)在定義域 R上恒有： ① f(x)＝ f(－ x)， ② f(2＋ x)＝ f(2－ x)， 當(dāng) x∈ [0， 4)時(shí) ， f (x)＝－ x2＋ 4x. (1)求 f(8)； (2)求 f(x)在 [0， 2 015]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù) ． [解 ] (1)由已知： f(8)＝ f(2＋ 6)＝ f(2－ 6)＝ f(－ 4)＝ f(4)＝ f(2＋ 2)＝ f(2－ 2)＝ f(0)＝ 0. (2)因?yàn)?f(x)在定義域 R上恒有 f(2＋ x)＝ f(2－ x)， 所以 f(x)＝ f(4－ x)對(duì) x∈ R恒成立 ． 又 f(x)＝ f(－ x)對(duì) x∈ R恒成立 ． 故有 f(－ x)＝ f(4－ x)對(duì) x∈ R恒成立 ． 即 4 是 f(x)的一個(gè)周期 ． 因?yàn)?x∈ [0， 4)時(shí) ， f(x)＝ 0 的根為 x＝ 0， 所以 f(x)＝ 0 在 R上的根為 x＝ 4k， k∈ Z. 由 0≤ 4k≤ 2 015(k∈ Z)得 0≤ k≤ (k∈ Z)． 所以 f(x)在 [0， 2 015]內(nèi)的零點(diǎn)共有 504 個(gè) ． 方法歸納 (1)周期的定義是對(duì)定義域中每一個(gè) x 值來說的 ． 如果只有個(gè)別的 x 值滿足 f(x＋ T)＝ f(x)，則不能 說 T 是 f(x)的周期 ． (2)從等式 f(x＋ T)＝ f(x)來看 ， 應(yīng)強(qiáng)調(diào)自變量 x本身加的常數(shù)才是周期 ． 如本題出現(xiàn)由 f(x)＝ f(4－ x)得 4 是 f(x)的一個(gè)周期是錯(cuò)誤的 ． 4． (1)設(shè) f(x)是 以 4 為一個(gè)周期的函數(shù) ， 且當(dāng) x∈ (－ 1， 0)時(shí) ， f(x)＝ 2x＋ 1， 則 f?? ??72 的值為 ( ) A． 2 B． 0 C． － 1 D． － 3 (2)已知函數(shù) f(x)滿足 f(1)＝ 2， 且 f(x＋ 1)＝－ 1f（ x） (f(x)≠ 0)對(duì)任意 x∈ R恒成立 ， 則 f(5)＝ ________． (3)已知 f(x＋ a)＝－ f(x)(a0)， 求證： f(x)是周期函數(shù) ， 并求出它的一個(gè)周期 ． 解： (1)選 (x)是以 4 為一個(gè)周期的函數(shù) ， 所以
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