專題10數(shù)列求和及其應用-20xx年高考數(shù)學理備考易錯點專項復習(編輯修改稿)
2025-01-01 17:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 i i k nG k n k N a a?? ? ? ? ?N. 如果 ??iG ，取 ii Gm min? ，則對任何ii mnki aaamk ???? ,1. 從而 )(AGmi? 且 1?? ii nm . 又因為 pn 是 )(AG 中的最大元素，所以 ??pG . 從而對任意pn k N??，pnk aa ?，特別地，pnN aa ?. 對ii nn aapi ?????? ?? 11,1,1,0. 因此 1)( 111111 ????? ?? ???? iiiii nnnnn aaaaa. 所以 paaaaaaiip npi nnN ?????? ??? )( 1111. 因此 )(AG 的元素個數(shù) p不小于 1Naa? . 8.【 2021年高考四川理數(shù)】（本小題滿分 12分） 已知數(shù)列 {na }的首項為 1， nS 為數(shù)列 {}na 的前 n項和， 1 1nnS qS? ?? ，其中 q0， *nN? . （Ⅰ）若 2322 , , 2a a a ? 成等差數(shù)列，求 {}na 的通項公式； （Ⅱ）設雙曲線 222 1nyx a?? 的離心率為 ne ，且2 53e ? ，證明：12 1433nnn ne e e ??? ? ???? ?. 【答案】（Ⅰ） 1=nnaq ；（Ⅱ）詳見解析 . 【解析】 （ Ⅰ ）由已知， 1 2 11 , 1 ,n n n nS qS S qS+ + += + = + 兩式相減得到 21,1nna qa n++=?. 又由 211S qS=+得到 21a qa= ，故 1nna qa+ = 對所有 1n179。 都成立 . 所以，數(shù)列 {}na 是首項為 1，公比為 q的等比數(shù)列 . 從而 1=nnaq . 由 2322 +2a a a， ， 成等比數(shù)列，可得 322 =3 2aa+ ，即 22 =3 2,qq+ ，則 (2 1)( 2) 0q+ q =， 由已知 , 0q ，故 =2q . 所以 1*2 ( )nnan=?N . （ Ⅱ ）由（ Ⅰ ）可知， 1nnaq= . 所以雙曲線 222 1nyx a=的離心率 2 2 ( 1 )11 nnne a q = + = +． 由 2 51 3qq= + = 解得 43q= . 因為 2( 1) 2( 1)1+ kkqq ，所以 2 ( 1 ) 1 *1+ kkq q k?N（ ）. 于是 112 11+ 1nnn qe e e q q q ++ 鬃 ? + 鬃 ?= ， 故1 2 3 1433nnne e e ++ 鬃 ?. 9.【 2021高考上海理數(shù)】（本題滿分 18分）本題共有 3個小題，第 1小題滿分 4分，第 2小題滿分 6分，第 3小題滿分 8分 . 若無窮數(shù)列 {}na 滿足：只要 *( , )pqa a p q N??，必有11pqaa???，則稱 {}na 具有性質(zhì) P . （ 1）若 {}na 具有性質(zhì) P ，且 1 2 4 51 , 2 , 3 , 2a a a a? ? ? ?， 6 7 8 21a a a? ? ? ，求 3a ； （ 2）若無窮數(shù)列 {}nb 是等差數(shù)列，無窮數(shù)列 {}nc 是公比為正數(shù)的等比數(shù)列， 151bc??，5181bc?? ， n n na b c??判斷 {}na 是否具有性質(zhì) P ，并說明理由； （ 3）設 {}nb 是無窮數(shù)列，已知 *1 si n ( )n n na b a n N? ? ? ?.求證：“對任意 1,{ }naa都具有性質(zhì)P ”的充要條件為“ {}nb 是常數(shù)列” . 【答案】（ 1） 3 16a? ．（ 2） ??na 不具有性質(zhì) ? ．（ 3）見解析． 【解析】（ 1）因為 52aa? ，所以 63aa? ， 743aa??， 852aa??． 于是 6 7 8 3 32a a a a? ? ? ? ?，又因為 6 7 8 21a a a? ? ? ，解得 3 16a? ． （ 3） [證 ]充分性： 當 ??nb 為常數(shù)列時， 11sinnna b a? ?? ． 對任意給定的 1a ，只要 pqaa? ，則由 11si n si npqb a b a? ? ?，必有 11pqaa??? ． 充分性得證． 必要性： 用反證法證明．假設 ??nb 不是常數(shù)列，則存在 k ??? ， 使得 12 kb b b b? ? ???? ?，而 1kbb? ? ． 下面證明存在滿足 1 sinn n na b a? ?? 的 ??na ，使得 1 2 1ka a a ?? ? ???? ，但 21kkaa??? ． 設 ? ? sinf x x x b? ? ?，取 m ??? ，使得 mb?? ，則 ? ? 0f m m b??? ? ?， ? ? 0f m m b??? ? ? ? ?，故存在 c 使得 ? ? 0fc? ． 取 1ac? ，因為 1 sinnna b a? ?? （ 1 nk??），所以 21sina b c c a? ? ? ?， 依此類推，得 1 2 1ka a a c?? ? ???? ?． 但 2 1 1 1si n si n si nk k k ka b a b c b c? ? ? ?? ? ? ? ? ?，即 21kkaa??? ． 所以 ??na 不具有性質(zhì) ? ，矛盾． 必要性得證． 綜上，“對任意 1a ， ??na 都具有性質(zhì) ? ”的充要條件為“ ??nb 是常數(shù)列”． 10.【 2021 高考新課標 2 理數(shù)】 nS 為等差數(shù)列 ??na 的前 n 項和，且 17=1 ?， 記? ?= lgnnba，其中 ??x 表示不超過 x 的最大整數(shù)，如 ? ? ? ? =0 lg 99 =1， ． （ Ⅰ ）求 1
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