【文章內(nèi)容簡介】 [19]。其次 ， 在每次迭代的過程中 ，牛頓法 都需要計算相關(guān)的海森矩陣以及其逆矩陣，計算量頗大。盡管牛頓法有著上述的缺陷，但是 具有 稀疏矩陣 的 特 點讓 牛頓法 在最優(yōu)潮流的計算上仍 然有著巨大的優(yōu)勢，至今 仍有 不少學(xué)者 在 關(guān)注著此類方法。 內(nèi)點法 內(nèi)點法最 早是在 1954 年由 Frish 提出 [20]，但是由于當(dāng)時科學(xué)計算技術(shù)的限制 ，內(nèi)點法并不能 與當(dāng)時主流的計算方法相比， 在當(dāng)時 沒有 得到很好的發(fā)展 。直到 1984 年 karmarkar提出了一種具有多項式計算復(fù)雜性的內(nèi)點法 [21],對 內(nèi)點法 的研究才算真正的得到了突破。該方法的計算速度超過當(dāng)時常用的最優(yōu)潮流計算方法單純形法 50倍以上。 目前內(nèi)點法 已經(jīng) 被廣泛的應(yīng)用于 電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算當(dāng)中 ， 成為 目前 最優(yōu)潮流計算的主流算法之一 。 從本質(zhì)上講，內(nèi)點法就是牛頓法、對數(shù)障礙函數(shù)法以及拉格朗日函數(shù)法這三種方法 的結(jié)合，其基本的思想是從可行 域內(nèi)的一個內(nèi)點出發(fā) ， 接著 沿著可行域的方向找到使目標(biāo)函數(shù) 下降最快的新 的 內(nèi)點，然后從這個新內(nèi)點繼續(xù)沿著可行域的方向找到使目標(biāo)函數(shù)下降最快的新內(nèi)點，如此周而復(fù)始，直到 目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值 [22]。內(nèi)點法具有計算速度快、 迭代次數(shù)與系統(tǒng) 規(guī)模不大、 對初值要求不高 、數(shù)值魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點，因而受到了廣大學(xué)者的密切 關(guān)注。經(jīng)過 國內(nèi)外學(xué)者多年 不斷 的 研究，目前主要形成了三大類的內(nèi)點算法： （ 1）、投影尺度法； 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 8 （ 2）、仿射尺度法； （ 3）、路徑跟蹤法 （原對偶內(nèi)點法） [23]。 當(dāng)然， 內(nèi)點法也存在著 許多 不足之處，如對于原對偶內(nèi)點法，其對 偶變量的初值以及修正變量的參數(shù)的選取尚無統(tǒng)一的選取方法， 這些參數(shù)都需要使用者根據(jù)經(jīng)驗給出，沒有規(guī)律可循。此外， 在迭代時步長的選 取 、各個離散變量的處理等方面，內(nèi)點法仍然無法給出具體明確的方法。 內(nèi)點法仍然需要廣大學(xué)者的進(jìn)一步探索研究 。 電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流計算的新興 算法 最優(yōu)潮流 的新興 算法起源于 20 世紀(jì) 80 年代， 這 類計算方法主要 是基于一定的自然現(xiàn)象或者原理而建立的 ， 因此，此類 算法一般被稱作智能優(yōu)化算法 [24]。 與傳統(tǒng)的潮流計算方法相比， 新型的智能優(yōu)化算法在數(shù)學(xué)方面與導(dǎo)數(shù)無關(guān)，求解的效率高 ，對于復(fù)雜優(yōu)化問 題的求解，與傳統(tǒng)的計算方法相比更是 具有無可比擬的優(yōu)勢。 目前，此類算法 已經(jīng)引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注與研究。目前， 智能算法已經(jīng)成功應(yīng)用在了 電力系統(tǒng)最優(yōu)潮流的求解 上也 取得了不錯的效果 [25]。 在 智能 優(yōu)化 算法中 比較具有代表性的算法 有：遺傳算法、擬退火算法、粒子群算法、人工免疫算法等 [26]。 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 9 原對偶內(nèi)點法 在內(nèi)點法 理論之中， 原對偶內(nèi)點法 已經(jīng) 在理論上 被證明其具有收斂快、精度高，穩(wěn)定性好 等優(yōu)點， 目前已經(jīng)被廣泛運用于最優(yōu)潮流計算當(dāng)中 ，并 逐步取代了其他傳統(tǒng)的算法，成為最優(yōu)潮流算法 中 的主流算 法 之一 。 原對偶 內(nèi)點法的數(shù)學(xué)原理 最優(yōu)潮流問題是 一個 典型的非線性規(guī)劃 的 問題 ，其數(shù)學(xué)模型可用前文描述的 表達(dá)式（ 27） 表示， 即 ： ? ?? ?? ?min.0fxhxg g x g??? 用 原對偶 內(nèi)點法求解上面的方程 時， 可以先 對 上面的數(shù)學(xué)模型 進(jìn)行一些處理。 （ 1） 引入松弛變量將 約束條件 中的不等式約束變成等式約束； （ 2） 引入對數(shù)障礙函數(shù) 把對松弛變量非負(fù)的要求給消去 。 則（ 24）式可以化為如下形式： ? ?? ?? ?? ?121112m i n l n l n.000rriiiif x S Ss t h xg x S gg x S g????????????? ? ?? ? ??? （ 31） 上式中， 1 0iS? ， 2 0iS ? ， ? ?1 1 1 1 2 1, , .. . rS dia g S S S? ， ? ?2 2 1 2 2 2, , .. . rS dia g S S S? ， 為松弛變量； ? 表示障礙參數(shù)。 對（ 31）這樣的表達(dá)式可用拉格朗日法求解，對（ 31）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)可得： ? ? ? ?? ? ? ?121112l n l nrriiiiL f x S S h xg x S g g x S g????????? ? ? ???????? ? ? ? ? ????????? （ 32） 式中， 0?? 、 0?? 、 0?? ， 是 拉格朗日乘子，也被稱為對偶變量 ， x 、 1S 、 2S 被稱為 為原變量。 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 10 要求得 （ 32） 式 的最優(yōu)值， 則（ 32） 式 應(yīng)滿足以下的 KKT 條件： ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?1122121111122200000000x x x xSSSSLL f x h x g xxLL h xLL g x S gLL g x S gLL S L S e eSLL S L S e eS???? ? ????? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? （ 33） 上式中， ? ?1 1 1 1 2 1, .. .. .. rS dia g S S S? ， ? ?2 2 1 2 2 2, .. .. .. rS dia g S S S? ， ? ?12, rdia g? ? ? ?? ，? ?12, rdia g? ? ? ?? ， ? ?1,1......1 Te? （共 r 個 1）。 顯然， （ 33） 這個 KKT 條件是一非線性方程組， 我們可以用牛頓法 處理上面的 方程組。首 先將 （ 33）線性化，可以得到： ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?122 2 2121122x x xx x xxxxSSf x h x g x xh x g x Lh x x Lg x S Lg x S LS S LS S L???? ? ?? ? ???????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 34） 可將上面的方程組表達(dá)成矩陣的形式，稍加整理后可以得到： ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?1211220 0 0 00 1 0 0 00 0 0 00 0 0 1 0000 0 0 0 0SxSxx x x xxLSgx LSS Lgx S Lg x g x H h x x Lhx L???? ?? ???????? ?????? ???? ?? ???????? ???????? ? ????????? ??? ? ? ?????? ? ??????? ?? （ 35） 在上式中： ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2x x xH f x h x g x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?。 通過消元法將（ 35）的系數(shù)矩陣化成行階梯形，則可以得到 修正方程 ： 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 11 ? ?? ?? ?? ?1211220 0 0 00 1 0 0 00 0 0 00 0 0 1 00 0 0 00 0 0 0 0SxSxx xxLSgx LSS Lgx S LH h x x Lhx L???? ?? ???????? ?????? ???? ?? ???????? ???????? ? ????? ??????? ? ? ?????? ? ??????? ?? （ 36） 在上式中： ? ?? ?2 1 112xH H g x S S????? ? ? ? ?； ? ? ? ? ? ?121112x x x S SL L g x S L L S L L????????? ? ? ? ? ? ???。 要求解上述的矩陣方程， 我們 可以先求解其中的一個子矩陣 ： ? ?? ? 0xxxH h x Lxh x L??????? ? ???? ??? ????????? ???? 求得 x? 與 ?? ，然后帶入（ 36）求得其他解。求得結(jié)果為： ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?1211111112122xx x xxSxSx h x LL H h x L h xS L g x xS L SS L g x xS L S??????????????? ? ? ???????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? （ 37） 如此 便可以求出修正變量的值 ， 將 初始值加上修正量便構(gòu)成了新一次迭代的初始值。為使方程能夠正確快速的收斂，還應(yīng)確定每次迭代的修正量的步長，即修正量前乘以的系數(shù)。由此可知 第 k+1 次迭代的初值可以由下列表達(dá)式確定： 1111 1 1112 2 21kkkkkkkkkkkkx x xS S SS S S?? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ???????? ? ? ??? ? ??? ? ? ???? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? （ 38） 在上式中， ? 是 原變量的迭代步長； ? 是 對偶變量的迭代步長。 對于 這兩個值， 可以按照以下方式選取步長 [27]： 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文） 12 ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?121 1 2 200000 .9 9 9 5 m in m in / 。 m in / 。1 .00 .9 9 9 5 m in m in / 。 m in / 。1 .0i i i iiiiiSSi i i iS S S S???? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ??? （ 39） 根據(jù) （ 38） 與（ 39） 的算式不斷更新下一次迭代的初值 并帶入（ 36） 中求得新的修正量，如此反復(fù)迭代， 直到 求得最優(yōu)解。 目標(biāo)函數(shù)的 收斂條件 由（ 25） 式可以知道，求解 最優(yōu) 潮流就是要求目標(biāo)函數(shù) ??fx的最優(yōu)值，而我們通過原對偶內(nèi)點法求得的是 下面 函數(shù) 的最優(yōu)值。 ? ? 1211ln lnrriiiif x S S? ???????????? （ 310） 根據(jù) Fiacco 以及 McCormick 的理論 [28]，在迭代的過程中，如果 ? 遞減到 0，那么（ 310）的最優(yōu)解就是 ??fx的最優(yōu)解。 因而當(dāng)我們求解（ 310）的時候希望能夠在迭代的過程中 將障礙參數(shù) ? 給消去，即在迭代過程中 ? 的取值可以收斂為 0。要確定 ? 的取值，我們可以將表達(dá)式（ 33）中的第五、第六項聯(lián)立起來，得到： 11221111122200SSLL S L S e eSLL S L S e eS? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?