【文章內(nèi)容簡介】 P，所以 Rt△ OPE≌ Rt△ OPF， 所以 PE＝ PF，所以 PE＋ EA＝ PF＋ BF，所以 PA＝ PB． 【解題策略】 (1)圓心到弦的距離叫做弦心距； (2)在同圓或等圓中，若兩條弧、兩個(gè)圓心角、兩條弦、兩條弦的弦心距有一組量相等，則其余各組量都相等． 體驗(yàn) 中考 分析 在⊙ O 中， AB 為直徑， AB⊥ CD 于 E，所以∠ DEB＝ 90176。，所以 CE＝ DE＝12CD＝ 2，所以 BE＝22( 3) ( 2)?＝ 1．連接 OD，則 OE＝ OD－ BE＝ OD－ 1，所以在 Rt△ OED中， OD2＝ (OD－ 1)2＋2( 2)，解得 OD＝ 1． 5．所以 AB＝ 2OD＝ 3．故選 B． 分析 在⊙ O中， CD 為直徑，弦 AB＝ 8． AB⊥ CD，所以 AM＝ BM＝ 4，連接OB，則 OB＝ 5，在 Rt△ OBM 中， OM＝2254?＝ 3，所以 DM＝ 5＋ 3＝ 8．故填 8． 分析 在⊙ O中，直徑 AB 垂直弦 CD于 P， CD＝ 6 cm，所以 CP＝ DP＝ 3 cm，連接 OD，因?yàn)?P為 OB 的中點(diǎn)，所以 OP＝12OD，所以在 Rt△ ODP中， (2OP)2＝ OP2＋ 32，解得 OP＝3?，因?yàn)?OP＞ 0，所以 OP＝3cm，故 AB＝43cm．故選 D． 圓周角和圓心角的關(guān)系 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ． ． 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 ． ． 知識概覽圖 新課導(dǎo)引 【問題鏈接】 如下圖所示，通過觀察發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形都是由∠ BAC 和⊙ O組成的． 【問題探究】 通過觀察可知第三個(gè)圖中的 ∠ BAC 是⊙ O 的圓周角．那么什么叫做圓周角呢 ? 【點(diǎn)撥】 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 教材精華 知識點(diǎn) 1 圓周角的概念 頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角． 拓展 圓周角有兩個(gè)特征： (1)角的頂點(diǎn)在圓上； (2)兩邊在圓內(nèi)的部分是圓的兩條弦．二者缺一不可． 知識點(diǎn) 2 圓周角定理 定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半． 圓周角和圓心角的關(guān)系 圓周角的概 念 圓周角定理 圓周角定理的推論 拓展 (1)定理的要求是同一條弧所對的圓周角和圓心角，從數(shù)值上來看，圓周角是圓心角的一半． (2)不能忽略“同一條弧”這個(gè)前提條件，不能簡單表述成“圓周角等于圓心角的一半”． 關(guān)于這個(gè)定理的證明，教材上采用的是分類討論的證明方法，這種方法應(yīng)認(rèn)真理解．其證明要點(diǎn)是： (1)將已知圖形之間的各種可能位置關(guān)系進(jìn)行分類； (2)先證明特殊位置的情形； (3)利用特殊情形的結(jié)論證明其他情形，即把其他情形轉(zhuǎn)化為已證的特殊情形進(jìn)行證明； (4)歸納、總結(jié)出一般性結(jié)論．這種方法可應(yīng)用于解題之中． 本定理的證明可以通過畫圖觀察，如圖 3－ 44所示，以圓上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓周角，雖然有無數(shù)多個(gè)，但它們與圓心的位置關(guān)系歸納起 來卻只有三種情況：(1)圓心在角的一邊上 (如圖 3－ 44(1)所示 )； (2)圓心在角的內(nèi)部 (如圖 3－ 44(2)所示 )； (3)圓心在角的外部 (如圖 3－ 44(3)所示 )．在這三種情況下證明定理成立，進(jìn)而證明在一般情況下也成立． 知識點(diǎn) 3 圓周角定理的推論 推論 1： 在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等． 如圖 3－ 45 所示， AB所對的圓周角有∠ ACB，∠ ADB，∠AEB，因此∠ ACB＝∠ ADB＝∠ AEB． 拓展 (1)若將“同弧或等 弧”改為“同弦或等弦”，結(jié)論不成立．如圖 3－ 46 所示，∠ ACB，∠ ADB，∠ AEB 所時(shí)的弦是同一條弦 AB，∠ ADB＝∠ AEB，但∠ ADB 與∠ ACB，∠ AEB 與∠ ACB卻不相等． (2)此推論的逆命題是一個(gè)真命題，可以作為圓周角定理的一個(gè)推論，其表述為：在同圓或等圓中．相等的圓周角所對的弧也相等．如圖 3－ 47 所示．如果∠ ACB＝∠ DFE，那么 AB DE?． 推論 2： 直徑所對的圓周角是直角； 90176。的圓周角所對的弦是直徑． 如圖 3－ 48 所示，若 AB 為直徑 ，則∠ ACB＝ 90176。；若∠ ACB＝ 90176。，則 AB為直徑． 由此得到：如果三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角 形是直角三角形． 規(guī)律方法小結(jié) 1． (1)分類討論思想：如本節(jié)中的圓周角定理，是分三種情況進(jìn)行證明的，但對于各類所要證明的命題，應(yīng)不應(yīng)該分情況討論，主要是看各種情況的證明方法是否相同．如果相同，那么不需要分情況證明；如果不同，那么必須分情況證明，而且情況要分得正確，不能重復(fù)或遺漏． (2)轉(zhuǎn)化思想：在圓周角定理的證明過程所分的三種情況中，后兩種情況是通過轉(zhuǎn)化為第 一種情況來證明的． 2．圓心角與圓周角的比較． 定義 圖形 圓心角與圓周角的關(guān)系 圓 心 角 頂點(diǎn)在圓心的角 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．如下圖所示，∠ ACB＝12∠ AOB 圓 周 角 (1) 頂點(diǎn)在圓上 (2) 角的兩邊都與圓相交 課堂檢測 基本概念題 如圖 3－ 49 所示，判斷哪些角是圓周角． 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 如圖 3－ 50 所示，在⊙ O 中，∠ AOC＝ 150176。，求∠ABC，∠ ADC， ∠ EBC 的度數(shù)，并判斷∠ ABC 和∠ ADC，∠ EBC 和∠ ADC 的度數(shù)關(guān)系． 如圖 3－ 51 所示，已知 AB 為⊙ O的直徑， C， D兩點(diǎn)在⊙ O 上，且 AD＝ CD，∠ B＝ 50176。，求∠ BAD，∠ DCB，∠ ADC 的度數(shù)． 綜合應(yīng)用題 如圖 3－ 52 所示， AB， CD 是半徑為 5 的圓內(nèi)互相垂直的兩條直徑， E為AO的中點(diǎn)，連接 CE 并延長，交⊙ O于另一點(diǎn) F，求弦 CF 的長． 如圖 3－ 53 所示，已知⊙ O 的直徑 AB 為 10 cm，弦 AC 為 6 cm，∠ ACB的平分線交⊙ O于 D，求 BC， AD 和 BD 的長． 探索與創(chuàng)新題 在足球比賽場上，甲、乙兩名隊(duì)員互相配合向?qū)Ψ角蜷T MN 進(jìn)攻，當(dāng)甲帶球沖到 A 點(diǎn)時(shí)，乙已跟隨沖到 B 點(diǎn) (如圖 3－ 54 所示 )，此時(shí)甲是自己直接射門好還是迅速將球回傳給乙，讓乙射門好呢 ?(不考慮其他因素 ) 體驗(yàn)中考 如圖 3－ 59 所示， AB 是⊙ O 的直徑，點(diǎn) C 在⊙ O 上，則∠ ACB 的度數(shù)為 ( ) A． 30176。 B． 45176。 C． 60176。 D． 90176。 如圖 3－ 60 所示，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn) A 處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是 65176。，為了監(jiān)控整個(gè)展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器 臺． 如圖 3－ 61 所示，在⊙ O 中，∠ ABC＝ 40176。，則∠ AOC＝ 度． 如圖 3－ 62 所示， AB 為⊙ O的直徑，弦 CD⊥ AB， E為 BC上一點(diǎn)，若∠ CEA＝ 28176。，則∠ ABD＝ 度． 學(xué)后反思 附： 課堂檢測及體驗(yàn)中考答案 課堂檢測 分析 只有 (2)具備圓周角的兩個(gè)特征． (1)(3)的頂點(diǎn)不在圓上， (4)(5)雖然頂點(diǎn)在圓上．但角的兩邊不與圓相交，因此 (1)(3)(4)(5)都不是圓周角． 解 ： (2)中的角是圓周角． 【解題策略】 正確理解圓周角的概念． 分析 解題的關(guān)鍵是分清同弧所對的圓心角和圓周角，如 ADC所對的圓心角是∠ AOC，所對的圓周角是 ∠ ABC， ABC所對的圓心角是大于平角的∠ α ，所對的圓周角是∠ ADC． 解 ：∵∠ AOC＝ 150176。， ∴∠ ABC＝12∠ AOC＝ 75176。 (圓周角定理 )， ∵∠ α ＝ 360176。－∠ AOC＝ 360176。－ 150176。＝ 210176。． ∴∠ ADC＝12∠ α ＝ 105176。 (圓周角定理 )． ∠ EBC＝ 180176。－∠ ABC＝ 180176。－ 75176。＝ 105176。． ∵∠ ABC＋∠ ADC＝ 75176。＋ 105176。＝ 180176。，∠ EBC＝∠ ADC＝ 105176。， ∴∠ ABC 和∠ ADC互補(bǔ)，∠ EBC 和∠ ADC 相等． 【解題策略】 理解圓周角的概念，分清同弧所對的圓心角和圓周角是熟練運(yùn)用圓周角定理解題的前提． 分析 由 AB 是直徑，連接 AC，可得∠ ACB＝ 90176。．由 AD＝ CD．可得AD CD?，連接 OD，可得 OD⊥ AC， OD∥ BC，∠ AOD＝∠ B＝ 50176。．由圓周角定理，可得∠ DCA＝12∠ DOA＝ 25176。．只要求出∠ DCA 的度數(shù)，其余的角可以很容易求得． 解 ：連接 AC， OD．∵ AB 是直徑，∴∠ ACB＝ 90176。 ∵ AD＝ CD，∴ AD CD?，∴ OD⊥ AC． ∵∠ ACB＝ 90176。，∴ BC⊥ AC，∴ OD∥ BC， ∴∠ AOD＝∠ B＝ 50176。，∴∠ DCA＝12∠ AOD＝ 25176。． ∵ AD CD?，∴∠ DCA＝∠ DAC＝ 25176。． ∵∠ CAB＝ 90176。－∠ B＝ 90176。－ 50176。＝ 40176。， ∴∠ DAB＝∠ DAC＋∠ CAB＝ 25176。＋ 40176。＝ 65176。， ∠ ADC＝ 180176。－∠ DAC－∠ DCA＝ 180176。－ 25176。－ 25176。＝ 130176。， ∠ DCB＝∠ DCA＋∠ ACB＝ 25176。＋ 90176。＝ 115176。． 【解題策略】 運(yùn)用圓周角定理及其推論解此題． 分析 連接 FD，由 CD 為直徑，可得∠ CFD＝ 90176。，易知△ OCE 與△ FCD相似， CF 的長可由相似三角形的對應(yīng)邊成比例求得． 解 ：連接 FD．∵ CD 為直徑，∴∠ CFD＝ 90176。． 又∵ CD⊥ AB，∴∠ COE＝∠ CFD＝ 90176。． ∵∠ ECO＝∠ DCF，∴△ COE∽△ CFD， ∴CD CECF CO?，即CO CDCF CE?． 又∵1 1 552 2 2O E AO? ? ? ?， ∴在 Rt△ COE 中，22 2 2 5 5 5522C E C O O E ??? ? ? ? ?????， ∴5 10 45552CF ???． 【解題策略】 這里構(gòu)造直徑所對的圓周角 (直角 )是解題的關(guān)鍵，它是一種 重要的添加輔助線的方法，應(yīng)注意掌握． 分析 BC 可直接由勾股定理求出．求 AD， BD 的長，要先利用∠ ACB 被CD平分，得 AD BD?，然后再利用勾股定理求解． 解 ：因?yàn)?AB為⊙ O 的直徑，所以∠ ACB＝∠ ADB＝ 90176。． 在 Rt△ ACB 中， BC＝2 2 2 210 6AB AC? ? ?＝ 8(cm)． 因?yàn)?CD平分∠ ACB，所以 AD BD?，所以 AD＝ BD， 所以在 Rt△ ADB 中 ， AD＝ BD＝2 522 AB?(cm)． 【解題策略】 已知條件中若有直徑，則先利用圓周角定理的推論得到直角三角 形，然后利用直角三角形的性質(zhì)求解． 分析 在真正的足球比賽中，情況會(huì)很復(fù)雜，這里僅用數(shù)學(xué)方法從兩點(diǎn)的靜止?fàn)顟B(tài)加以考慮．如果兩個(gè)點(diǎn)到球門的距離相差不大，要確定較好的射門位置，關(guān)鍵看這兩個(gè)點(diǎn)各自對球門 MN 的張角的大?。?dāng)張角較小時(shí)，則球容易被對方守門員攔截． 解 ：連接 BM， BN，過 M， N， B三點(diǎn)作圓，顯然 A點(diǎn)