【正文】 忽略“弦不是直徑”這個條件，因為圓中任意兩條直徑總是互相平分的，但它們未必垂直． 由垂徑定理及其逆定理可得的其他結(jié)論． 對于一個圓和一條直線來說，如果具備下列五個條件中的任意兩個，那么就可推出其他三個：①垂直于弦；②平分弦；③平分弦所對的優(yōu)弧；④平分弦所對的劣??；⑤過圓心． 知識點 4 圓的旋轉(zhuǎn)不變性 圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形． 實際上，一個圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，都能與原來的圖形重合，這種性質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)不變性．圓的中心對稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例． 如圖 3－ 16 所示，⊙ O 繞圓心 O 旋轉(zhuǎn)任意一個角度 α ，⊙ O上的任意點 A 與 A′重合，即⊙ O 上的所有點旋轉(zhuǎn) α 角后，都與⊙ O 上的點重合． 知識點 5 圓心角、弦心距的概念 頂點在圓心的角叫做圓心角． 圓心到弦的距離叫做弦心距． 如圖 3－ 17所示，∠ AOB 是⊙ O的一個圓心角，垂線段 OC 的長為弦 AB 的弦心距． 知識點 6 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系 圓的一個特性： 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等． 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系： 在同圓或等圓中，如果兩個圓心 角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等． 如圖 3－ 18 所示，若下列三個等式：①∠ AOB＝∠ COD，②AB＝ CD，③ AB CD?中有一個等式成立，則其他兩個等式也成立． 拓展 (1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個前提條件，若丟掉這個前提條件，雖然圓心角相等，但所對的弧、弦不一定相等． (2)要結(jié)合圖形深刻理解圓心角、弧、弦這三個概念和“所對”一詞的含義，否則易錯用此關(guān)系． (3)上述關(guān)系中的“弧”一般指劣?。?(4)在具體運 用上述關(guān)系解決問題時，可根據(jù)需要選擇其有關(guān)部分．如：在同圓中，相等的弦所對的弧相等；在等圓中，相等的弧所對的圓心角相等． (5)上面的定理可以擴充為“圓心角、弧、弦、弦心距之間相等關(guān)系的定理” —— 在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條 弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等．如圖 3－ 19 所示， OE⊥ AB 于 E， OF⊥ CD 于 F，若下列四個等式：①∠AOB＝∠ COD，② AB＝ CD，③ CD?，④ OE＝ OF 中有一個等式成立，則其他三個等式 也成立． 探究交流 長度相等的弧是等弧． 點撥 因為在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧叫做等弧，所以等弧必須是在同圓或等圓中的弧，也只有在同圓或等圓中，兩條弧才可能互相重合．因此長度相等的弧不一定是等?。? 規(guī)律方法小結(jié) 1．本節(jié)解決問題的主要思想方法是數(shù)形結(jié)合思想，通過圖形把垂徑定理及其逆定理和圓心角、弧、弦、弦心距之間的相等關(guān)系展現(xiàn)出來，將幾何問題代數(shù)化．如垂徑定理的應(yīng)用，解題過程中使用列方程的方法，用代數(shù)方法解決幾何問題． 2． (1)與圓有關(guān)的一些概念的比較． 概念 區(qū)別與聯(lián)系 直徑 和弦 直徑是弦，但弦不一定是直徑 半圓和弧 半圓是弧，但弧不一定是半圓 同心圓、等圓 同心圓是指圓心相同、半徑不等的圓；等圓是指半徑相等、圓心不同的圓 (2)垂徑定理及其逆定理和幾個相關(guān)的結(jié)論是證明線段相等、角相等、弧相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)．在理解定理的前提下，要把垂徑定理和勾股定理結(jié)合起來，容易得到圓的半徑、弦心距、弦長及弓形的高之間的關(guān)系式． 如圖 3－ 20所示，對于一個圓中的弦長 a、弦心距 d、半徑 r及弓形的高 h，我們利用垂徑定理和勾股定理，由 a， d， r， h中的任意兩個可求其他兩 個． ①若已知 r， d，則 a＝ 2 22rd?； h=r－ d． ②若已知 r， h，則 a＝ 2 (2 )h r h?； d＝ r－ h． ③若已知 r， a，則222adr????????；222ah r r ??? ? ?????． ④若已知 d， h，則 r＝ h＋ d； a=2( 2 )h h d?． ⑤若已知 a， d，則222a??；222ad d??? ? ?????． ⑥若已知 a， h，則2222a hd h????????；2222ar??． 由弦及其所對的弧組成的圖形叫做弓形．如圖 3－ 21 所示，弦 AB與 AB及 ACB組成兩個不同的弓形． 弧的中點到弦的距離叫做弓形的高．如圖 3－ 22 所示， C 為 ACB的中點， CD⊥ AB 于 D，則 CD為弓形 ACB 的高． (3)在同圓或等圓中，兩個圓心角、兩條弧、兩條弦和兩條弦的弦心距四組量之間的相等關(guān)系可以概括為：圓心角相等 ?弧相等 弦相等 ?弦心距相等． 課堂檢測 基本概念題 下列語句中，不正確的有 ( ) ①直徑是弦；②弧是半圓；③經(jīng)過圓內(nèi)一定點可以作無數(shù)條弦；④長度相等的弧是等?。? A．①③④ B．②③ C．② D．②④ 基礎(chǔ)知識應(yīng)用題 如圖 3－ 23 所示， AB， CD 是⊙ O的兩條弦，且 AB∥ CD，直徑 MN⊥ AB 于 E，MN交 CD 于 F，根據(jù)垂徑定理，請你至少寫出五個結(jié)論． 如圖 3－ 25 所示，在⊙ O 中，弦 AB 的長為 8 cm，圓心O到 AB 的距離為 3 cm，則⊙ O的 半徑長為 cm． 如圖 3－ 26 所示，在⊙ O 中，過圓周上一點 A作弦 AB 和 AC，且 AB＝ AC，M 和 N 分別為弦 AB 及 AC 的中點，連接 MN 并向兩方延長，交圓于 P和 Q 兩點，求證 PM＝ NQ． 綜合應(yīng)用題 如圖 3－ 27 所示⊙ O1和⊙ O2相交于 A 和 B 兩點，過點 A 作 O1O2的平行線交兩圓于 C， D兩點，已知 O1O2＝ 20 cm，求 CD 的長． 如圖 3－ 28 所示，以 □ ABCD 的頂點 A為圓心， AB 為半徑畫圓，分別交 AD，BC于 E， F，延長 BA交⊙ A 于 G，求證 GE EF?． 探 索與創(chuàng)新題 如圖 3－ 29 所示，在半圓 O 中，半徑 OF⊥ AB于 O， OF 交 CD 于點 E， CD∥ AB，則弦 AC 與 BD是否相等 ? 如圖 3－ 30 所示，∠ APC＝∠ BPC， PC 過圓心 O，請判斷 PA 與 PB之間的大小關(guān)系． 體驗中考 如圖 3－ 33所示，弦 CD 垂直于⊙ O的直徑 AB，垂足為 E，且 CD＝ 22，BD＝ ，則 AB的長為 ( ) A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 如圖 3－ 34 所示，⊙ O的直徑 CD＝ 10，弦 AB＝ 8， AB⊥ CD，垂足為 M，則DM的長為 ． 如圖 3－ 35 所示，⊙ O的直徑 AB垂直弦 CD 于 P，且 P是半徑 OB 的中點，CD＝ 6 cm，則直徑 AB的長是 ( ) A．23cm B． 32cm C． 42cm D．43cm 學(xué)后反思 附： 課堂檢測及體驗中考答案 課堂檢測 分析 ①是正確的；②不正確，因為弧不一定是半圓，如優(yōu)弧是弧，但不是半圓；③是正確的；④不正確，因為等弧是在同圓或等圓中，能夠互相重合的兩條?。圆徽_的有②④．故選 D． 【解題策略】 準(zhǔn)確理解弦、直徑、弧、半圓、等弧 等與圓有關(guān)的概念． 分析 由 MN⊥ AB． MN 為直徑，可得 AE＝ BE， AM BM?， AN BN．由 MN⊥ AB， AB∥ CD，可得 MN⊥ CD， CF＝ DF， CM DM?， CN N．又由 CM DM?，AM BM?，可得 C AM D M BM? ? ?， 即 AC BD?． 解 ：答案不唯一，如由 MN⊥ AB， MN 為直徑，可得 AE＝ BE， AM BM?，NA BN?．由 MN⊥ AB， AB∥ CD，可得 MN⊥ CD， CM DM?， CN N， AC BD?． 【解題策略】 由本例我們得出垂徑定理的一個重要推論，即圓的兩條平行弦所夾的弧相等．如圖 3－ 24所示，若 AB∥ CD，則 AC BD? ． 分析 欲求半徑長，可連接 OB．由垂徑定理．可得 BC＝ AC＝12AB＝128＝ 4(cm)．在 Rt△ OCB 中， OB＝2 2 2 234O C BC? ? ?＝ 5(cm)．即⊙ O 的半徑長為 5 cm．故填 5． 【解題策略】 (1)垂徑定理的應(yīng)用常與勾股定理相聯(lián)系． (2)連接半徑是圓中 常見的一種輔助線的作法．通過連接半徑可構(gòu)造出直角三角形，再利用勾股定理求相關(guān)線段的長度． 分析 欲證 PM＝ NQ，由 PQ 為弦，容易聯(lián)想到作弦心距 OH，則 PH＝ HQ連接 OM， ON．現(xiàn)只需證 MH＝ HN即可．又 M， N 分別為弦 AB， AC的中點，易知 OM＝ ON，所以可證 MH＝ NH． 證明 ：作 OH⊥ PQ于 H，則 PH＝ HQ 連接 OM， ON． ∵ M， N分別是弦 AB， AC 的中點， ∴ OM⊥ AB， ON⊥ AC．∵ AB＝ AC，∴ OM＝ ON． ∵ OH⊥ MN，∴ MH＝ HN．∴ PH－ MH＝ HQ－ HN，∴ PM＝ NQ． 【解題策略】 本例反復(fù)運用垂徑定理及其逆定理和推論來達到證題的目的，要仔細體會遇弦作弦心距這種輔助線作法的應(yīng)用． 分析 可過 O1作 O1E⊥ CD 于 E，過 O2作 O2F⊥ CD 于 F，這樣就可構(gòu)造出矩形 O1O2FE，再利用矩形及垂徑定理的相關(guān)知識求解． 解 ：過 O1作 O1E⊥ AC于 E，過 O2作 O2F⊥ AD 于 F， 由垂徑定理，可得 AE＝ EC， AF＝ DF， ∴ EF＝ AE＋ AF＝12CD． ∵ EF∥ O1O2， O1E∥ O2F， O1E⊥ AC， O2F⊥ AD， ∴四邊形 O1O2FE是矩形． ∴ EF＝ O1O2＝ 20 cm，∴ CD＝ 2EF＝ 40 cm． 【解題策略】 本題在解題過程中綜合運用了垂徑定理及矩形的判定和性質(zhì)． 分析 可連接 AF，欲證 GE EF?，可證它們所對的圓心角∠ GAE 與∠ EAF相等． 證明 ：連接 AF，則 AB＝ AF，∴∠ ABF＝∠ AFB ∵四邊形 ABCD 是平行四邊形，∴ AD∥ BC， ∴∠ DAF＝∠ AFB，∠ GAE＝∠ ABF， ∴∠ GAE＝∠ EAF，∴ GE EF?． 【解題策略】 在同圓中，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系是證弧相等、角相等、線段相等的依據(jù)，一般在分析時，哪一組量與所證問題聯(lián)系最緊，就應(yīng)構(gòu)造這一組量，再證明相等． 分析 由圖形和已知條件不難發(fā)現(xiàn)，半徑 OF 是弦 CD 的中垂線，要探求弦 AC 與 BD是否相等，只需判斷圓心角∠ AOC 與∠ BOD 是否相等即可，可連接 OC，OD． 解 ：連接 OC， OD，則 OC＝ OD． 因為 OE⊥ AB，所以∠ AOE＝∠ BOE＝ 90176。． 又因為 AB∥ CD，所以 OE⊥ CD， CE＝ DE， 所以∠ COE＝∠ DOE，所以∠ COA＝∠ BOD，所以 AC＝ BD． 【解題策略】 本題的解題關(guān)鍵是利用垂徑定理和半徑的性質(zhì)求得∠ COE＝∠ DOE，而不需要由△ COE≌△ DOE 來得到∠ COE＝∠ DOE． 分析 PA， PB 既不是弦也不是弧，而是弦上的線段，所以可以過 O作兩弦的垂線． 解 ：作 OE⊥ PA， OF⊥ PB，垂足分別為 E， F， 則 AE＝12GA， BF＝12HB． 因為∠ APC＝∠ BPC，所以 OE＝ OF， 所以 GA＝ HB，所以12GA＝12HB，所以 AE＝ BF． 因為 OE＝ OF， OP＝ O