【正文】 車(chē)輪為什么做成圓形 學(xué)習(xí)目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 ，經(jīng)歷探索點(diǎn)與圓位置關(guān)系的過(guò)程 . ，理解點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 . 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 ，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 . . 知識(shí)概覽圖 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】 在現(xiàn)實(shí)生活中，通過(guò)觀(guān)察你會(huì)發(fā)現(xiàn)，像車(chē)輪、齒輪等都做成圓形，家用餐具中，鍋、碗、盆等多數(shù)也是圓形． 【問(wèn)題探究】 在現(xiàn)實(shí)生活中，還有許多物品都是做成圓形的．那么，你能描述出什么樣的圖形叫做圓嗎 ? 【點(diǎn)撥】 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓． 教材精華 知識(shí)點(diǎn) 1 圓的定義 平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓．其中，定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑的長(zhǎng) (通常也稱(chēng)為半徑 )． 如圖 3－ 1 所示， OA 為半徑，以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙ O”，讀作“圓 O”． 拓展 確定一個(gè)圓需要兩個(gè)要素：一是圓心；二是半徑．圓心確定其位置，半徑確定其大?。挥袌A心沒(méi)有半徑，雖然圓的位置固定，但大小不確定，因而圓不確定；只有半徑?jīng)]有圓心，雖然圓的大小固定，但圓心的位置不確 定，因而圓也不確定．只有圓心和半徑都固定了，圓才被唯一確定． 探究交流 (1)以已知點(diǎn) O 為圓心，可以畫(huà) 個(gè)圓； (2)以已知線(xiàn)段 AB 的長(zhǎng)為半徑，可以畫(huà) 個(gè)圓． 點(diǎn)撥 由于確定一個(gè)圓要有兩個(gè)條件，即圓心和半徑，而兩個(gè)問(wèn)題中都只有一個(gè)條件，這樣的圓不能確定．故都應(yīng)填“無(wú)數(shù)”． 同時(shí)要注意到 (1)中的圓都有相同的圓心，稱(chēng)為同心圓； (2)中的圓都有相同的半徑，稱(chēng)為等圓． 知識(shí)點(diǎn) 2 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種：點(diǎn)在圓外、點(diǎn)在圓上、點(diǎn) 在圓內(nèi)，如圖 3－ 2所示． 點(diǎn)在圓外，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離大于半徑 (OA＞ r)； 點(diǎn)在圓上，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離等于半徑 (OB＝ r)； 點(diǎn)在圓內(nèi)，即這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離小于半徑 (OC＜ r)． 拓展 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)圓 圓的定義 點(diǎn)與圓的位置關(guān)系 點(diǎn)在圓內(nèi) 點(diǎn)在圓上 點(diǎn)在圓外 系；反過(guò)來(lái)，也可以通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．即：如果圓的半徑是 r，點(diǎn)到圓心的距離為 d，那么： (1)點(diǎn)在圓外 ?d＞ r； (2)點(diǎn)在圓上 ?d＝ r； (3)點(diǎn)在圓內(nèi) ?d＜ r． 探究交流 設(shè) AB＝ 3 cm，作圖說(shuō)明滿(mǎn)足下列要求的圖形． (1)到點(diǎn) A和點(diǎn) B的距離都等于 2 cm 的所有點(diǎn)組成的圖形； (2)到點(diǎn) A和點(diǎn) B的距離都小于 2 cm 的所有點(diǎn)組成的圖形． 點(diǎn)撥 (1)到點(diǎn) A 的距離都等于 2 cm 的所有點(diǎn)組成的圖形是⊙ A，到點(diǎn) B 的距離都等于 2 cm 的所有點(diǎn)組成的圖形是⊙ B，同時(shí)滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的點(diǎn)為既在⊙A上，又在⊙ B上的點(diǎn)，即為點(diǎn) P、點(diǎn) Q(如圖 3－ 3 所示 )． (2)滿(mǎn)足條件的點(diǎn)為 既在⊙ A 內(nèi)，又在⊙ B 內(nèi)的點(diǎn)，即如圖 3－ 4 所示的陰影部分，但要注意不包括陰影的邊界． 規(guī)律方法小結(jié) 1．本節(jié)運(yùn)用的思想方法有分類(lèi)討論思想和轉(zhuǎn)化思想．如：在分析點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，運(yùn)用了分類(lèi)討論思想，而在判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系時(shí)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為用點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)判斷，運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想． 2． (1)確定一個(gè)圓需要圓心和半徑兩個(gè)要素． (2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的數(shù)量關(guān)系來(lái)確定． 課堂檢測(cè) 基本概念題 求證：矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在以對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為圓心的同一個(gè) 圓上． 基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用題 兩個(gè)圓的圓心都是 O，半徑分別為 r 和 R(R＞ r)，點(diǎn) A 滿(mǎn)足 r＜ OM＜ R，那么點(diǎn) A 在 ( ) A．小圓內(nèi) B．大圓內(nèi) C．小圓外大圓內(nèi) D．小圓內(nèi)大圓外 綜合應(yīng)用題 如圖 3－ 6 所示，已知矩形 ABCD 的邊 AB＝ 3 cm， AD＝ 4 cm． (1)以點(diǎn) A為圓心， 4 cm 長(zhǎng)為半徑作⊙ A，則點(diǎn) B， C， D 與⊙ A 的位置關(guān)系如何 ? (2)若以點(diǎn) A為圓心作⊙ A，使 B， C， D三點(diǎn)中至少有 一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙ A的半徑 r的取值范圍是什么 ? 如圖 3－ 7 所示，⊙ O′過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O，點(diǎn) O′的坐標(biāo)為 (1， 1)，判斷點(diǎn)P(－ 1， 1)， Q(1， 0)， R(2， 2)和⊙ O′的位置關(guān)系． 探索與創(chuàng)新題 爆破時(shí)，導(dǎo)火索燃燒時(shí)的速度是每秒 0． 9厘米，點(diǎn)導(dǎo)火索的人需要跑到離爆破點(diǎn) 120 米以外的安全區(qū)域．如果這根導(dǎo)火索的長(zhǎng)度為 18 厘米，那么點(diǎn)導(dǎo)火索的人每秒跑 6． 5米是否安全 ? 已知線(xiàn)段 AB＝ 4 cm，試用陰影表示到點(diǎn) A的距離不小于 3 cm，而到點(diǎn) B的距離小于 2 cm 的點(diǎn)的集合． 體驗(yàn)中考 在平面內(nèi)，⊙ O 的半徑為 5 cm，點(diǎn) P到圓心 O的距離為 3 cm．則點(diǎn) P與⊙ O 的位置關(guān)系是 ． 如圖 3－ 11 所示， AB 是⊙ O的直徑， AC 是弦，若∠ ACO＝ 32176。，則∠ COB 的度數(shù)為 ． 學(xué)后反思 附： 課堂檢測(cè)及體驗(yàn)中考答案 課堂檢測(cè) 已知：如圖 3－ 5 所示，四邊形 ABCD 為矩形， O 是對(duì)角線(xiàn) AC 和 BD 的 交點(diǎn)． 求證： A， B， C， D 各點(diǎn)在以 O為圓心的同一個(gè)圓上． 分析 欲證 A， B， C， D 各點(diǎn)在以 O 為圓心的同一個(gè)圓上，需證明 OA＝ OB＝ OC＝ OD． 證明 ：因?yàn)樗倪呅?ABCD 是矩形， 所以 AC＝ BD， OA＝ OC＝ 21AC， OB＝ OD＝ 21BD， 所以 OA＝ OB＝ OC＝ OD．所以 A， B， C， D各點(diǎn)在以 O為圓心的同一個(gè)圓上． 【解題策略】 解此類(lèi)題要把文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語(yǔ)言，根據(jù)題意畫(huà)出圖形，寫(xiě) 出已知、求證，再進(jìn)行證明，這是解此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟． 分析 由于 r＜ OA，所以點(diǎn) A在小圓外，而 OA＜ R，所以點(diǎn) A在大圓內(nèi)．故選 C． 【解題策略】 要判斷平面上一點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，只需比較該點(diǎn)到圓心的距離與半徑的大小即可． 分析 要判斷 B， C， D與⊙ A 的位置關(guān)系，只需比較 AB， AC， AD的長(zhǎng)與半徑 4 cm 的大?。? 解 ： (1)連接 AC．∵ AB＝ 3 cm＜ 4 cm，∴點(diǎn) B在⊙ A 內(nèi)． ∵ AD＝ 4 cm，∴點(diǎn) D在⊙ A 上． 在 Rt△ ABC 中，∵ AC＝2222 43 ??? BCAB＝ 5 cm＞ 4 cm， ∴點(diǎn) C在⊙ A 外． (2)∵ AB＝ 3 cm， AD＝ 4 cm， AC＝ 5 cm， ∴點(diǎn) B到圓心 A的距離 3 cm 是最短的距離，點(diǎn) C到圓心 A的距離 5 cm 是最長(zhǎng)的距離． 要使 B， C， D 三點(diǎn)中至少有一點(diǎn)在圓內(nèi)，且至少有一點(diǎn)在圓外，則⊙ A 的半徑 r 的取值范圍是 3 cm＜ r＜ 5 cm． 【解題策略】 要確定⊙ A 的半徑 r 的取值范圍，需要知道 B， C， D三點(diǎn)到點(diǎn) A 的距離，即確定出最短距離和最長(zhǎng)距離，才能確定半徑 r的取值范圍． 分析 解此題的關(guān)鍵是先求出⊙ O′的 半徑，即 OO′的長(zhǎng)，其次要分別求出點(diǎn) P、點(diǎn) Q、點(diǎn) R到圓心 O′的距離 PO′， QO′和 RO′的長(zhǎng)，再用 OO′的長(zhǎng)與 PO′， QO′和 RO′的長(zhǎng)比較，即可得結(jié)論． 解 ：⊙ O′的半徑 r＝ OO′＝ 21122 ??， 2)11()11(22 ???????OP， 22(1 1 ) ( 0 1 ) 1QO ? ? ? ? ?， 2)12()12(22 ??????OR. ∵ PO′＞ r．∴點(diǎn) P在⊙ O′外； ∵ QO′＜ r．∴點(diǎn) Q在⊙ O′內(nèi)； ∵ RO′＝ r．∴點(diǎn) R在⊙ O′上． 【 解題策略】 本題在解題中應(yīng)用了平面內(nèi)任意兩點(diǎn)間的距離公式．設(shè)平面內(nèi)任意兩點(diǎn)的坐標(biāo)為 A(x1， y1)， B(x2， y2)，則221221 )()( yyxxAB ????． 分析 爆破時(shí)的安全區(qū)域是以爆破點(diǎn)為圓心， 120 米為半徑的圓的圓外部分． 解 ：導(dǎo)火索燃燒的時(shí)間為 18＝ 20(秒 )，人跑的路程為 20 6． 5＝ 130(米 )． ∵ 130 米＞ 120 米，∴點(diǎn)導(dǎo)火索的人是安全的． 【解題策略】 解此題的關(guān)鍵是求人跑的路程，再與 120 米相比較． 分析 到點(diǎn) A的距離不小于 3 cm．即所求點(diǎn)應(yīng)在以 A為圓心、 3 cm 長(zhǎng)為半徑的⊙ A的圓上及其外部；而到點(diǎn) B的距離小于 2 cm的點(diǎn)應(yīng)在以 B為圓心、 2 cm 長(zhǎng)為半徑的⊙ B 的內(nèi)部． 解 ：根據(jù)題意畫(huà)出圖形如圖 3－ 8所示，其中陰影部分即為所求． 體驗(yàn)中考 分析 因?yàn)辄c(diǎn) P到圓心 O的距離為 3 cm＜ 5 cm，所以點(diǎn) P在⊙ O內(nèi)．故填點(diǎn) P在⊙ O 內(nèi)． 分析 本題比較容易，考查圓的相關(guān)性質(zhì)，根據(jù)∠ ACO＝ 32176?？芍?CAO＝ 32176。，從而∠ COB＝∠ ACO＋∠ CAO＝ 32176。＋ 32176。＝ 64176。．故填 圓的對(duì)稱(chēng)性 學(xué)習(xí) 目標(biāo)、重點(diǎn)、難點(diǎn) 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．經(jīng)歷探索圓的對(duì)稱(chēng)性及相關(guān)性質(zhì)的過(guò)程． 2．理解圓的對(duì)稱(chēng)性及相關(guān)知識(shí)． 3．理解并掌握垂徑定理及其逆定理．運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明． 【重點(diǎn)難點(diǎn)】 ． . 知識(shí)概覽圖 新課導(dǎo)引 【生活鏈接】 對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的各種圓形物體，我們可以發(fā)現(xiàn)它們的對(duì)稱(chēng)美． 教材精華 知識(shí)點(diǎn) 1 圓的軸對(duì)稱(chēng)性 圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)． 拓展 圓的對(duì)稱(chēng)軸有無(wú)數(shù)條．不能說(shuō)每條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，因?yàn)閳D形的對(duì)稱(chēng)軸是一條直線(xiàn)，應(yīng)該說(shuō)每條直徑所在的直線(xiàn)都是圓的對(duì)稱(chēng)軸． 知識(shí)點(diǎn) 2 與圓有關(guān)的概念 (1)圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)?。?弧用符號(hào)“⌒”表示，如圖 3－ 13 所示，以 A， B為端點(diǎn)的弧記作“ AB”．讀作“圓弧 AB”或“弧 AB”． (2)圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．大于半圓的弧叫做優(yōu)弧 (用三個(gè)字母表示，如圖 3－ 14 所示的 BAC)； 小于半圓的弧叫做劣弧 (如圖 3－ 14 所示的 BDC)． (3)連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦 (如圖 3－ 14 所示的線(xiàn)段 CD)． (4)經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑 (如圖 3－ 14 所示的 AB)．直徑等于半徑的 2 倍． 拓展 (1)直徑是弦，但弦不一定是直徑． (2)半圓是弧，但弧不一定是半圓；半圓既不是劣弧，也不是優(yōu)?。? 知識(shí)點(diǎn) 3 垂徑定理及其逆定理 垂徑定理： 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的?。? 如圖 3－ 15 所示，垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號(hào)語(yǔ)言表示為： , , .AE BEC D O AD BDC D AB AC BC???? ????? ? ? ??經(jīng) 過(guò) 圓 心垂 足 為 E 拓展 (1)這里的“垂徑”可以是直徑、半徑、過(guò)圓心的直線(xiàn)或線(xiàn)段． (2)條件中的“弦”可以是直徑，結(jié)論中的“平分弧”既意味著平分弦所對(duì)的劣弧，也意味著平分弦所對(duì)的優(yōu)?。? 圓的有關(guān)概念：弧、弦、直徑 垂徑定理及其逆定理 圓的旋轉(zhuǎn)不變性 圓心角、弦心距等概念 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系 圓的對(duì)稱(chēng)性 垂徑定理的逆定理： 平分弦 (不是直徑 )的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的?。? 如圖 3－ 15 所示，垂徑定理的逆定理的題設(shè)和結(jié)論可用符號(hào)語(yǔ)言表示為： , (,() (.C D ABC D O C D ACB AC BCC D AB AB C D AD B AD BD??? ?????? ? ???垂 直 于 弦經(jīng) 過(guò) 圓 心 平 分 即平 分 弦 不 是 直 徑 平 分 即 拓展 一 定不能