【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 111111????????????????????????????????????????????????????niiTiniiTiniiTiniiTiniiniiniiniifSYPYPYPYPYhPYTgPXgPZPP式中，Tn ),( 1 ??? ??，而][ ij?? ?是線性化安全余量的相關(guān)矩陣，即jTiij ??? ?。n?為 n 維標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，表達(dá)式是 1121 / 2/2,11 1 1( , ) e x p ( )( 2 ) 2nnn i i j j nnijX Z X d X d X d XC?????? ? ? ? ?? ? ? ??? 式中，TnXXX ),( 1 ??；][1 ijBCB ?? ?，ijB是矩陣中的一個(gè)元素；C 是由下式定義的協(xié)方差陣 1 1 2 12 1 2 212[ ] [ , ] [ , ][ , ] [ ] [ , ][ , ] [ , ] [ ]nnn n nVa r X C ov X X C ov X XC ov X X Va r X C ov X XCov X X C ov X X Va r X???????(2)串聯(lián)系統(tǒng)失效概率的近似 計(jì)算串聯(lián)系統(tǒng)的失效概率，實(shí)際上，主要就是計(jì)算多維正態(tài)分布n?（也稱(chēng)多階聯(lián)合的概率）。該計(jì)算非常浪費(fèi)時(shí)間，所以必須采用近似方法或邊界方法（仍以圖 7. 6 串聯(lián)系統(tǒng)分析）。 考慮系統(tǒng)的幾個(gè)失效元件或失效模式。首先定義布爾變量為 ????若系統(tǒng)處于失效狀態(tài)若系統(tǒng)處于非失效狀態(tài)01sl ????若系統(tǒng)處于非失效狀態(tài)若系統(tǒng)處于失效狀態(tài)01fl ????個(gè)元件處于失效狀態(tài)若第個(gè)元件處于非失效狀態(tài)若第iilsi01 ????個(gè)元件處于非失效狀態(tài)若第個(gè)元件處于失效狀態(tài)若第iilfi01 則 sf ll ?? 1 sifi ll ?? 1 當(dāng)所有的元件不發(fā)生失效時(shí)，系統(tǒng)安全，故 ????nisisnssslllll121? ???????nifisflll1)1(11 記第i個(gè)元件的失效概率為 )0()1( ???? sififi lPlPP 系統(tǒng)失效概率為 )0()1( ???? sffS lPlPP 各階的聯(lián)合失效概率為 ))1((111 ?????mifimfmlPPP?? nm ,3,2 ?? 3. 并聯(lián)系統(tǒng)的概率可靠性 (1) 并聯(lián)系統(tǒng)的失效概率 考慮有幾個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)，如圖 7. 7 示。并令元件i的安全余量為 )( XgZ ii ? ni ,2,1 ?? 1 2 i n 圖 7. 7 n 個(gè)元件的并聯(lián)系統(tǒng) 式中，Tki XXX ),( ??是基本變量，而),1( nig i ??是非線性函數(shù)。元件i的失效概率fiP可用以下方法估計(jì)，假定存在變 換)( XTY ?，由它基本變量Tki XXX ),( ??變換為獨(dú)立標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量Tki YYY ),( ??，故 )0)(()0))((()0)(()0( 1 ???????? ? YhPYTgPXgPZPP iiiifi 則fiP 的近似值可由 在設(shè)計(jì)點(diǎn)線性化ih得到 )0()0)(( ????? iTiifi YPYhPP ?? 式中i?是在設(shè)計(jì)點(diǎn)的單位正態(tài) 向量，而i?是 H L 可靠性指標(biāo)。 上 式 的近似值可寫(xiě)成 )()()0( iiTiiTifi YPYPP ????? ????????? 對(duì)于整個(gè)并聯(lián)系統(tǒng)，其失效概率近似值可用如同對(duì)單個(gè)元件那樣進(jìn)行相同變換T，以及對(duì)每個(gè)元件在設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行下述線性化得到 ))(()( 1 YTgYh ii ?? ni ,2,1 ?? 則系統(tǒng)失效概率為 11 1 1 111( 0 ) ( ( ( ) 0 ) ) ( ( ( ( ) ) 0 ) ) ( ( ( ) 0 ) )( ( 0 ) ) ( ( ) ) ( 。 )n n n nfs i i i ii i i innTTi i i i niiP P Z P g X P g T Y P h YP Y P Y? ? ? ? ? ??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? 式中，Tn ),( 1 ??? ??，而][ ij?? ?是線性化的安全余量的相關(guān)矩陣，即jTiij ??? ?。n?是n維標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)分布函數(shù)。 線性和非線性的安全余量的并聯(lián)系統(tǒng)失效概率的計(jì)算可簡(jiǎn)化為n?值的計(jì)算，然而，正如前面指出過(guò)的，這種計(jì)算通常僅能用近似方法或用上下界完成。 (2) 并聯(lián)系統(tǒng)失效概率的近似 類(lèi)同于串聯(lián)系統(tǒng)的簡(jiǎn)單界限，并聯(lián)系統(tǒng)失效概率fSP的簡(jiǎn)單界限易于求得。 利用 上面 定義的布爾變量和概率記號(hào)。考慮有n個(gè)失效元件的并聯(lián)系統(tǒng)，假定任何一對(duì)之間都不相關(guān)。只有當(dāng)所有的元件都失效時(shí)，系統(tǒng)失效，故 ????nififnffflllll121? 利用概率記號(hào)，有 ?????????niinififfSPlPlPP11)1()1( 反之，若任何一對(duì)失效元件間完全相關(guān)，則系統(tǒng)的失效概率等于n個(gè)失效元件失效概率中的最小者，即 inifS PP?? m i n 對(duì)于上述兩種極端情況，可得出系統(tǒng)失效概率的上下界限為 inifSniiPPP????? m i n1 4. 分枝限界法簡(jiǎn)介 ( 1) 確認(rèn)主要失效模式的方法簡(jiǎn)述 對(duì)于高冗余度的大型結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，存在很多失效模式，以致在估算系統(tǒng)的可靠度或失效概率之前，識(shí)別全部失效模式是十分困難的，甚至是不可能的。為此，很多國(guó)內(nèi)外的學(xué)者，都在積極探索和研究確認(rèn)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的主要失效模式方法。實(shí)踐表明，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效概率，主要是由幾個(gè)或不超過(guò)十個(gè)的為數(shù)不多的主要失效模式所決定。? unz i ppi ng 法就是一種有效的方法。這里我們介紹更精確的方法，即分枝限界法。 ( 2) 失效路徑和失效模式數(shù) 對(duì)于彈塑性材料組成的靜不定系統(tǒng)，任一個(gè)元件的失效，不一定引起結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效。假定結(jié)構(gòu)以下面方式發(fā)生失效：當(dāng)任一個(gè)元件失效時(shí)，在未失效元件之間發(fā)生內(nèi)力的重新分布，將超過(guò)它的承載能力的內(nèi)力轉(zhuǎn)嫁到其它元件上，此時(shí)勢(shì)必又引起另一元件達(dá)到極限狀態(tài)而失效 ( 假定失效是順序失效 ) ；重復(fù)類(lèi)似過(guò)程，當(dāng)失效元件（簡(jiǎn)稱(chēng)失效元）數(shù)達(dá)到某一qp值時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)失效，此時(shí)就形成一個(gè)失效模式。對(duì)該失效模式，按失效元號(hào)組成的失效順序，稱(chēng)為完全失效路徑。如圖 7. 8 中7 — 5 — 3 ， 7 — 3 — 6 ， 5 — 7 — 11 — 3 等。 12345689710111213141516L 1 圖 7. 8 三個(gè)冗余度的 16 元件 的靜不定構(gòu)架 對(duì)未形成失效模式的按失效元序號(hào)組成的失效順序稱(chēng)為不完全失效路徑。如，失效元的順序號(hào) 7 ， 7 — 5 ， 7 — 3 等。 一般，按失效元序號(hào)組成的失效順序，統(tǒng)稱(chēng)失效路徑。 包含在失效路徑的元件數(shù)，稱(chēng)為失效路徑的長(zhǎng)度。如，完全失效路徑7 — 5 — 3 的失效長(zhǎng)度為 3 。 通常結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的失效模式數(shù)m，取決于結(jié)構(gòu)的形狀，元件數(shù)n和冗余度s，m的上界是 )()1(1 snnnAm sn ???? ? ? 這里需要說(shuō)明的是， 上 式是針對(duì)塑性材料組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，由于失效模式的安全余量與組成該模式的失效元件的失效順序無(wú)關(guān)。因此，對(duì)失效不同，而失效元件相同的失效模式，可看作是一個(gè)失效模式。這時(shí)不同的失效模式數(shù)為 ???????? ??nsm1 而對(duì)脆性材料組成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，失效模式的安全余量與組成該模式的失效元件的順序有關(guān)。 (3) 分枝限界的概念 大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，存在很多失效模式。把它們?nèi)苛谐鰜?lái)，并綜合這些失效模式，計(jì)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠度是相當(dāng)困難和費(fèi)時(shí)的。實(shí)際上，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的可靠性水平，幾乎完全是由那些發(fā)生概率相對(duì)很高的失效模式（即主要失效模式）反映出來(lái)。相比之下，那些發(fā)生概率相對(duì)較低的失效模式（即次要失效模式）已顯得微不足道。通過(guò)分枝限界的途徑，從眾多的失效模式中，找出主要失效模式，計(jì)算結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可靠度的方法，稱(chēng)為分枝限界法。這種方法的刪留準(zhǔn)則，考慮了拉力和載荷的變異性。分枝限界法包括分枝和限界兩個(gè)步驟。 a 分枝 選取失效路徑中的失效元的計(jì)算，稱(chēng)為分枝。所謂失效元是指結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中的失效元件。如桁架結(jié)構(gòu)的失效桿件，框架結(jié)構(gòu)中的塑性鉸等。 在搜索和生成失效模式時(shí)，失效元的選取原則上可按任意次序進(jìn)行。但是，效率高的算法應(yīng)當(dāng)是盡快找出那些可能產(chǎn)生的失效元序列。這就意味著符合一定條件的失效元應(yīng)成為優(yōu)先選取的對(duì)象。即按照它們失效概率大小，判定是否優(yōu)先，即失效概率大的失效元優(yōu)于失效概率小的失效元。 假定具有幾個(gè)元件的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)已有1?p個(gè)失效元，121 , ?prrr ?已確定。但結(jié)構(gòu)系統(tǒng)未失效，現(xiàn)要選取第p個(gè)失效元pr。在該（第p）失效級(jí)上，共有)1( ?? pn個(gè)候選元（等待選取的失效元）即)1( ?? pn個(gè)可選擇的失效路徑，每個(gè)失效路徑發(fā)生的概率為 )( ~~121 ppp rrrrrfEEEEPP ??????? Cp Ir ?~ 式中，irE為元件ir的失效事件，CI為第p失效級(jí)所保留的元件的集合。在第p失效級(jí)上，被選取的失效元應(yīng)為 ][m ax)(~prfIp pCPr ? 一般，考慮由p個(gè)失效元組成的失效路徑，其失效概率為 ]0[]00[1),(),()()(~12112121? ???pirrrrrrrrrrrprfiippipMPMMMPP??????????? 式中，irM是ir元件的安全余量。 對(duì)于不完全失效路徑，其失效概率是失效路徑長(zhǎng)度的非增函數(shù)，即當(dāng)新的失效元增加到失效路徑時(shí)，失效概率是不增加的，有 )(1),(11),()1(~]0[]0[1211211pfrpirrrrpirrrrprfpiiiipPMPMPP???????????????? 除簡(jiǎn)單情況外，prfP ~難以精確求出，由 上 式知，可用下面的上界公式來(lái)近似，即 1)()( ~~~121????????pEPEEEEPPpppp rrrrrrf? 2)()( ~~~1121?????????pEEPEEEEPPpppp rrrrrrrf? 上式 分別稱(chēng)為一維和二維分枝。 由于一維和二維分枝的近似性，使得選取的失效元序列不一定是最主要的失效模式。也就是說(shuō)，最主要的失效模式并不一定得到最優(yōu)先確認(rèn)，但是它被漏掉的可能性很小。另一方面，由于一維和二維的分枝簡(jiǎn)化了計(jì)算，因而大大提高了分枝限界法的效率。 0r(1 )1r(2 )1r(n )1r(n 1 )2r(2 )2r(1 )2r(1 )3r(2 )3r(n 2 )3r(1 )p 1qr[n (p 2 )]p 1qr(1 )pqqr(2 )pqr