【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 x＝ 1 －1x， 當(dāng)且僅當(dāng) x ＝ 1 時(shí) ， 等號(hào)成立 ． 怎么干 ——利用① 的結(jié)論 取 x ＝ n 2 ． 因?yàn)?n ≥ 2 ， 所以 x ＞ 1 ， 得 ln n2n 2 ＜ 1 －1n 2 ． 怎么干 ——特殊化，取 x＝ n2， 怎么干 —— 證明 1 － 1n 2 ＜ 1 － 1n ( n ＋ 1 ) ． 因?yàn)?1 － 1n 2 ＜ 1 － 1n ( n ＋ 1 ) ， 所以 ln nn 2 ＜ 12 [1 － 1n ( n ＋ 1 ) ] ． 本題得證． ln n 2n 2 ＜ 1 －1n ( n ＋ 1 ) ． 問(wèn)題中的啟發(fā)性 提示語(yǔ) (數(shù)列求和、放縮、子題結(jié)論相關(guān) ) 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 要干嘛 ——求 t的范圍； 什么問(wèn)題 ——函數(shù)、不等式； 怎么干 ——利用對(duì)稱關(guān)系，轉(zhuǎn)化； 怎么干 ——看看中途結(jié)論再說(shuō)． 問(wèn)題 5 設(shè) t ∈ R ， 若 對(duì)任意的 n ∈ N* ， 都有 nt ln n ＋ 2 0 l n t≥ nt ln t ＋ 2 0 l n n ， 求 t 的取值范圍 ． 解 顯然 t ＞ 0 ．不等式 nt ln n ＋ 20l n t ≥ nt ln t ＋ 20l n n 可化為 nt ( l n n － ln t ) ≥ 20( l n n － ln t ) ，即 ( nt － 20 ) ( l n n － ln t ) ≥ 0 ． 當(dāng) nt ≥ 20 恒成立時(shí)， n ≥ t 恒成立，即 n ≥ 20 時(shí)， n≥ t 恒成立，所以 t ≤ 5 ； 當(dāng) nt ≤ 20 恒成立，即 n ＜ 20 時(shí)， n ≤ t 恒成立，所以 t ≥ 4 ． 所以 t 的取值范圍為 [4 ， 5] ． 問(wèn)題中的啟發(fā)性 提示語(yǔ) (對(duì)稱式 ) 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 問(wèn)題 6 定義 ： 如果兩個(gè)橢圓 ， 它們的離心率相同 ， 那么稱這兩個(gè)橢圓相似 ， 它們的長(zhǎng)軸之比 ( 大于 1) 叫做這兩個(gè)橢圓的相似比 ． 如圖 ，在直角坐標(biāo)系 xO y 中 ， 設(shè)橢圓 C1：x2a2 ＋y2b2 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 和橢圓 C 2 ：x2a21＋y2b21＝ 1( a1＞ b1＞ 0) 相似 ， 過(guò)橢圓 C1的右焦點(diǎn) F 且不垂直于 x 軸的直線 l 與這兩個(gè)橢圓自上而下依次交于點(diǎn) A ， B ， C ，D ， 射線 OB ， OC 與橢圓 C2分別交于點(diǎn) M ， N ， 連 MN ． 求證 ： ① MN ∥ l ； ②△ ABM 和 △ C D N 的面積相等 ． A l y B C D M N x F O 什么問(wèn)題 ——解析幾何：橢圓； 要干嘛 ——證明兩直線平行； 怎么干 ——斜率相等、向量共線、對(duì)應(yīng)邊成比例； 有什么 ——橢圓相似； 能干嘛 ——看中途結(jié)論． 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 解 ① 因?yàn)闄E圓 C1， C2相似 ， 所以 C2的方程為x2a2＋y2b2＝ t2( t ＞ 0 ， t≠ 1) ． 不妨設(shè) t ＞ 1 ． 設(shè) B ( x1， y1) ， C ( x2， y2) ， A ( x3， y3) ， B ( x4， y4) ，M ( x5， y5) ， N ( x6， y6) ， 射線 OB 的方程為 y ＝ kx ． 由????? y ＝ kx ，x2a2＋y2b2＝ 1 ，得x2a2＋k2x2b2＝ 1 ， 解得 x21＝11a2＋k2b2． 同理 x25＝t21a2＋k2b2． 所以| x5|| x1|＝ t ， 從而OMOB＝ t ． 同理ONOC＝ t ． 所以O(shè)MOB＝ONOC． 因此 MN ∥ BC ， 即 MN ∥ l ． 問(wèn)題中的啟發(fā)性 提示語(yǔ) (平行、相似 ) A l y B C D M N x F O 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 ② 設(shè)直線 l 的方程為 y ＝ k ( x － c ) ， 其中 設(shè) c ＝ a2－ b2． 由?????y ＝ k ( x － c ) ，x2a2 ＋y2b2 ＝ 1 ，得 (1a2 ＋k2b2 ) x2－2 k2cb2 x ＋k2c2b2 － 1 ＝ 0 ， 所以 x1＋ x2＝2 k2cb21a2 ＋k2b2． 同理 x3＋ x4＝2 k2cb21a2 ＋k2b2． 因此 x1＋ x2＝ x3＋ x4， 所以 BC ， AD 的中點(diǎn)重合 ， 所以 AB ＝ CD ． 又由 ① 知 ， △ ABM 中 AB 邊上的高等于 △ C D N 中CD 邊上的高 ． 故 △ ABM 和 △ C D N 的面積相等 ． 問(wèn)題中的啟發(fā)性 提示語(yǔ) (平行、方程形式相同 ) A l y B C D M N x F O 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 三、解題策略 (二 )解題方法 (微觀處理 ) ? 一般性方法 (指導(dǎo)思想 )： 特殊化：先簡(jiǎn)后易； 形式化：演繹論證． ? 特殊性方法 (具體操作 ) 數(shù)形結(jié)合、特殊檢驗(yàn) … 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 遇到一個(gè)陌生的問(wèn)題，如何尋找解題思路？ —— 尋找解題突破口 “從無(wú)到有” 地尋找思路： “所有” → 探索 → “所求” 如何著手 ？ 解題的首要任務(wù) —— 尋找解題思路 尋找解題思路 如何理解題意 ？ 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 解題第一環(huán)節(jié) —— “ 理解題意 ” 解題最重要的是理解題意， 卻常被解題者忽視。 善解題者從不吝嗇理解問(wèn)題的時(shí)間． 不能很好解題的主要重要原因： ?沒(méi)有樹立重視理解題意的意識(shí)； ?沒(méi)有養(yǎng)成理解題意的良好習(xí)慣； ?沒(méi)有掌握如何理解題意的方法。 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ x2－ 2 tx ＋ 2 ， 其中 t ∈ R ． ( 1) 若 t ＝ 1 ， 且對(duì)任意的 x ∈ [ a ， a ＋ 2] ， 都有 f ( x ) ≤ 5 ， 求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 ． ( 2 ) 若對(duì)任意的 x1， x2∈ [0 ， 4] ， 都有 | f ( x1) － f ( x2)| ≤ 8 ， 求 t 的取值范圍 ． 解 因?yàn)?f ( x ) ＝ x2－ 2 tx ＋ 2 ＝ ( x － t )2＋ 2 － t2， 所以 f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ， t ] 上單調(diào)減 ，在區(qū)間 [ t ， ∞) 上單調(diào)增 ， 且對(duì)任意的 x ∈ R ， 都有 f ( t ＋ x ) ＝ f ( t － x ) ， (1 ) 方法一 “ 對(duì)任意的 x ∈ [ a ， a ＋ 2] ， 都有 f ( x ) ≤ 5” 等價(jià)于 “ 在區(qū)間 [ a ， a ＋ 2] 上 ， [ f ( x )]m a x≤ 5” ． 因?yàn)?f ( x ) 在區(qū)間 ( － ∞ ， 1] 上單調(diào)減 ， 在區(qū)間 [1 ， ∞) 上單調(diào)增 ． 當(dāng) 1 ≤ a ＋ 1 ， 即 a ≥ 0 時(shí) ， 由 [ f ( x )]m a x＝ f ( a ＋ 2) ≤ 5 ， 得 － 3 ≤ a ≤ 1 ， 從而 0 ≤ a ≤ 1 ． 當(dāng) 1 ＞ a ＋ 1 ， 即 a ＜ 0 時(shí) ， 由 [ f ( x )]m a x＝ f ( a ) ≤ 5 ， 得 － 1 ≤ a ≤ 3 ， 從而 － 1 ≤ a ＜ 0 ． 綜上 ， a 的取值范圍為區(qū)間 [ － 1 ， 1] ． 方法二 由 f ( x ) ≤ 5 ， 得 x2－ 2 x － 3 ≤ 0 ， 解得 － 1 ≤ x ≤ 3 ， 所以 [ a ， a ＋ 2] ? [ － 1 ， 3 ] ， 解得 － 1 ≤ a ＜ 0 ． 所以 a 的取值范圍為區(qū)間 [ － 1 ， 1] ． 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 ( 2 ) 設(shè)函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [0 ， 4] 上的最大值為 M ， 最小值為 m ， 所以“ 對(duì)任意的 x1， x2∈ [0 ， 4] ， 都有 | f ( x1) － f ( x2)| ≤ 8” 等價(jià)于 “ M － m ≤ 8” ． 方法一 ① 當(dāng) t ≤ 0 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 t ≥ 1 ． 從而 t ∈ ? ． ② 當(dāng) 0 ＜ t ≤ 2 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 4 － 2 2 ≤ t ≤ 2 ． ③ 當(dāng) 2 ＜ t ≤ 4 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 2 ＜ t ≤ 2 2 ． ④ 當(dāng) t ＞ 4 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 t ≤ 3 ． 從而 t ∈ ? ． 綜上 ， a 的取值范圍為區(qū)間 [4 － 2 2 ， 2 2 ] ． 方法二 必然有 | f ( 4) － f ( 0) |≤ 8 ， 得 1 ≤ t ≤ 3 ． ① 當(dāng) 1 ≤ t ≤ 2 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 4 － 2 2 ≤ t ≤ 2 ． ② 當(dāng) 2 ＜ t ≤ 3 時(shí) ， 由 M － m ≤ 8 ， 得 2 ＜ t ≤ 2 2 ． 綜上 ， a 的取值范圍為區(qū)間 [4 － 2 2 ， 2 2 ] ． 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 問(wèn)題 1 函數(shù) f ( x ) ＝ l o g 2 (2x＋ 1) －x2， x ∈ R是 ____________( 奇 ， 偶 ) 函數(shù) ． (一 )特殊化 1．代數(shù)中的特殊到一般 分析 應(yīng)判斷 ：是“ f ( － x ) ＝ f ( x ) 對(duì)一切 x ∈ R成立 ”，還是“ f ( － x ) ＝ － f ( x ) 對(duì)一切 x ∈ R 成立 ” ． 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 取 x ＝ 1 與 x ＝－ 1 ，計(jì)算 f ( 1 ) ， f ( － 1) 試試． 由于 f ( 1 ) ＝ l o g 2 (2 1 ＋ 1) －12 ＝ l o g 2 3 －12 ， f ( － 1) ＝ l o g 2 (2 － 1 ＋ 1) ＋12 ＝ l o g 232 ＋12 ＝ l o g 2 3 － 1 ＋12＝ l o g 2 3 －12， 所以 f ( x ) 是偶函數(shù) ． 所以 f ( － 1) ＝ f ( 1 ) ， 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 問(wèn)題 2 若 l o g 2 a ＝ l og 3 b ＝ l og 5 c ＜ 0 ，則a12 ， b13 ， c15 之間的大小關(guān)系是 _ ___ _ __ ． 則 a ＝12， b ＝13， c ＝15． 分析 取 lo g 2 a ＝ lo g 3 b ＝ lo g 5 c ＝－ 1 ， 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 故 a12 ＝ (12)12 ， b13 ＝ (13)13 ， c15 ＝ (15)15 ． 由 a12 ＝ (18)16 ＞ (19)16 ＝ b13 ， a12 ＝ (132)110 ＜ (125)110 ＝ c15 ， 得 b13 ＜ a12 ＜ c15 ． 數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)應(yīng)考策略專題講座 解 設(shè) l og2a ＝ l og3b ＝ l og5c ＝－ t ( t＞ 0) ， 則 a ＝ (12)t， b ＝ (13)t， c ＝ (15)t， 即 a12 ＝ (12)12t， b13 ＝ (13)13t， c15 ＝ (15)15t． 由 a12 ＝ (18)