(備用)貝葉斯方法(估計_推斷_決策)(編輯修改稿)
2025-03-16 15:16 本頁面
【文章內容簡介】 布 正態(tài)分布 正態(tài)分布 二項分布 β 分布 Poisson分布 Γ分布 Γ（ a，b） ),( 2??N ,( 2??N 2222???????x),( pnb ),( ba?)(?? nxbaxa????1??bxa EX1 設 θ是一批產(chǎn)品的不合格率，已知它不是 是 ，且其先驗分布為 π（ ） =,π（ ） = 假如從這批產(chǎn)品中隨機取 8個進行檢查，發(fā)現(xiàn)有 2個不合格，求 θ的后驗分布。 解： )1()2( 6228PCXP???? ???PX ?? 11)()()()()()()(62286228?????????????????CCPXPPXPPXPXP???????)(1)( ??????? XPXP ?? EX2 設一卷磁帶上的缺陷數(shù)服從泊松分布 P（ λ）其中 λ可取 ,又設 λ的先驗分布為 π（ ） = π（ ） = 假如檢查一卷磁帶發(fā)現(xiàn)了 3個缺陷，求 λ的后驗分布。 四、貝葉斯推斷（估計） Ⅰ 條件方法 由于未知參數(shù)的后驗分布是集三種信息（總體、樣本和后驗）于一身，它包含了所有可供利用的信息。故有關的參數(shù)估計和假設檢驗等統(tǒng)計推斷都按一定方式從后驗分布提取信息，其提取方法與經(jīng)典統(tǒng)計推斷相比要簡單明確得多?；诤篁灧植嫉慕y(tǒng)計推斷就意味著只考慮已出現(xiàn)的數(shù)據(jù)（樣本觀察值）而認為未出現(xiàn)的數(shù)據(jù)與推斷無關，這一重要的觀點被稱為“條件觀點”，基于這種觀點提出的統(tǒng)計方法被稱為條件方法。 例如經(jīng)典統(tǒng)計學認為參數(shù)的無偏估計應滿足： 其中平均是對樣本空間中所有可能出現(xiàn)的樣本而求的，可實際中樣本空間中絕大多數(shù)樣本尚為出現(xiàn)過，而多數(shù)從未出現(xiàn)的樣本也要參與平均是實際工作者難以理解的。故在貝葉斯推斷中不用無偏性，而條件方法是容易被實際工作者理解和接受的。 Ⅱ 估計 定義 使后驗密度 達到最大的值 稱為最大后驗估計；后驗分布的中位數(shù) 稱為后驗中位數(shù)估計；后驗分布的期望值 稱為 的后驗期望值估計，這三個估計都稱為貝葉斯估計，記為 。 )( x?? MD?Me?E???B??例 1 為估計不合格率 ，今從一批產(chǎn)品中隨機抽取 n件，其中不合格品數(shù) X服從 ，一般選取 為 的先驗分布，設 已知，由共軛先驗分布可知， 的后驗分布為 ?? ),( pnB ),( ??Be??, ),( xnxBe ??? ??可計算得： nxnxEMD ?????????????????? ?,21?我們選用貝葉斯假設 1?? ??則 21?,?????nxnxEMD ??第一、在二項分布時， 的最大后驗估計就是經(jīng)典統(tǒng)計中的極大似然估計，即 的極大似然估計就是取特定的先驗分布下的貝葉斯估計。 ? 第二、 的后驗期望值估計 要比最大后驗估計 更合適一些。 ? E?? MD?第三、 的后驗期望值估計要比最大后驗估計更合適一些。 表 ,在試驗 1與試驗 2中 ,”抽檢 3個產(chǎn)品沒有一件不合格”與抽檢 10個產(chǎn)品沒有一件是不合格”這兩件事在人們心目中留下的印象是不同的。后者的質量要比前者的質量更信得過。 ? 表 不合格率 的二種貝葉斯估計的比較 ?試驗號 樣本量 n 不合格數(shù) x 1 3 0 0 2 10 0 0 3 3 3 1 4 10 10 1 nxMD ??? 21? ??? nxE? 在試驗 3和誓言 4中，“抽檢 3個產(chǎn)品全部不合格”與抽檢“ 10個產(chǎn)品全部不合格”也是有差別的。在實際中，人們經(jīng)常選用后驗期望估計作為貝葉斯估計。 設 是 的一個貝葉斯估計，在樣本給定后， 是一個數(shù)，在綜合各種信息后， 是按 取值，所以評價一個貝葉斯估計的誤差的最好而又簡單的方式是用 θ對 的后驗均方差或平方根來度量，定義如下： ???? ??? )( x?? ??稱為 的后驗均方差 ,而其平方根稱為后驗標準誤 . 定義 設參數(shù) θ的后驗分布為 ,貝葉斯估計為 ,則 的后驗期望 )( x?????? 2)?()?( ??? ? ?? xExMSE當 時 ,則 ,稱為后驗均方差 . 后驗均方差與后驗方差有如下關系 : )(? xEE ?? )()?()?( 2 xVarExMSE ExE ???? ? ??? 222)??()()]??()?[()?()?(?????????????????????EEExxxVarEExMSEE?? ???這表明 ,當 時 ,可使后驗均方差達到最小 ,實際中常取后驗均值作為 的貝葉斯估計值 . ?例 2 設一批產(chǎn)品的不合格率為 ,檢查是一個一個進行 ,直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品為止 ,若 X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品時已檢查的產(chǎn)品數(shù) ,則 X服從幾何分布 ,其分布列為 ?,2,1,)1()( 1 ???? ? xxXP x???設 的先驗分布為 , 如今只獲得一個樣本觀察值 x=3,求 的最大后驗估計 ,后驗期望估計 ,并計算它的誤差 .故聯(lián)合分布
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1