第三章22(編輯修改稿)
2024-12-23 17:14 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 P(0， 1)且與拋物線 y2＝ 2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程 ． 【 思路點(diǎn)撥 】 首先畫(huà)圖分析符合條件的直線的條數(shù) ， 若直線平行于對(duì)稱(chēng)軸 ， 則根據(jù)題意直接求方程 ． 若直線與拋物線相切 ， 則運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求方程 ． 【解】 若直線的斜率不存在 ， 則 過(guò)點(diǎn) P (0 ， 1 ) 的直線方程為 x ＝ 0. 由????? x ＝ 0 ，y2＝ 2 x ，得????? x ＝ 0 ，y ＝ 0. 名師微博 這是拋物線的切線 . 所以直線 x ＝ 0 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) . 3 分 若直線的斜率存在 ， 則由題意設(shè)直線的方程 為 y ＝ kx ＋ 1. 由方程組????? y ＝ kx ＋ 1 ，y2＝ 2 x ， 消去 y ， 得 k2x2＋ 2 ( k － 1) x ＋ 1 ＝ 0. 6 分 當(dāng) k ＝ 0 時(shí) ， 有?????x ＝12，y ＝ 1 ， 即直線 y ＝ 1 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn) . 8 分 當(dāng) k ≠ 0 時(shí) ， 有 Δ ＝ 4 ( k － 1)2－ 4 k2＝ 0 ， 解得 k ＝12， 所 以方程為 y ＝12x ＋ 1 的直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)． 1 0 分 綜上所述 ， 所求直線的方程為 x ＝ 0 或 y ＝ 1或 y ＝12x ＋ 1. 12 分 【 名師點(diǎn)評(píng) 】 與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩類(lèi)：一類(lèi)是對(duì)稱(chēng)軸的平行線；另一類(lèi)是切線 ． 一般來(lái)說(shuō) ， 應(yīng)先由圖形判斷條數(shù) ,然后再具體求解 ， 以免漏解 ． 變式訓(xùn)練 l： y＝ kx＋ 1和拋物線 C： y2＝ 4x，根據(jù)下列條件確定 k的取值范圍 ． (1)l與 C有一個(gè)公共點(diǎn)； (2)l與 C有兩個(gè)公共點(diǎn)； (3)l與 C沒(méi)有公共點(diǎn) ． 解： 將直線 l 和拋物線 C 聯(lián)立得????? y ＝ kx ＋ 1 ，y2＝ 4 x ， 消去 y 得 k2x2＋ (2 k － 4) x ＋ 1 ＝ 0 . ( * ) 當(dāng) k ＝ 0 時(shí) ， 方程 ( *) 只有一個(gè)解 x ＝14， y ＝ 1 ， 當(dāng) k ≠ 0 時(shí) ， 方程 ( * ) 是一元二次方程 ， Δ ＝ (2 k － 4)2－ 4 k2. (1)當(dāng) Δ0時(shí) ， 即 (2k－ 4)2－ 4k20， 解得 k1且k≠ 0， l與 C有兩個(gè)公共點(diǎn) ， 此時(shí) l與 C相交； (2)當(dāng) Δ＝ 0時(shí) ,即 (2k－ 4)2－ 4k2＝ 0， 解得 k＝ 1, l與 C有一個(gè)公共點(diǎn) ， 此時(shí) l與 C相切； (3)當(dāng) Δ0時(shí) ， 即 (2k－ 4)2－ 4k20， 解得 k1， l與 C沒(méi)有公共點(diǎn) ， 此時(shí) l與 C相離 ． 綜上所述 ， 當(dāng) k＝ 1或 k＝ 0時(shí) ， l與 C有一個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng) k1時(shí) k≠ 0時(shí) ， l與 C有兩個(gè)公共點(diǎn)； 當(dāng) k1時(shí) ， l與 C沒(méi)有公共點(diǎn) ． 備選例題 AB是拋物線 y2＝ 2px(p0)的焦點(diǎn)弦 ， F為拋物線的焦點(diǎn) ， A(x1， y1)， B(x2， y2)． 求證： ( 1) y1y2＝－ p2， x1x2＝p24； ( 2) | AB |＝ x1＋ x2＋ p ＝2 ps i n2θ( θ 為直線 AB 與 x軸的夾角 ) ； ( 3) S △AO B＝p22s i n θ； ( 4)1| AF |＋1|
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