機(jī)械結(jié)構(gòu)模態(tài)分析(編輯修改稿)
2025-03-08 05:36 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 tx x x x? ? ??? ???解 0000( ) e ( c os si n )( ) ( ) dn t ndddtxxx t x t th t F?? ?????? ? ?? ???? ? ??多自由度系統(tǒng) ? 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 ? 固有振動(dòng) ? 動(dòng)力響應(yīng)分析 多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 例 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 12 2 2 1 2 3 2 2 1 2 3 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )m x c c x c x k k x k x f tm x c x c c x k x k k x f t? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ??多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 x ={x1， x2}T T12{ , }xx?x { ,?x1 00 2mm???????M 1 2 22 2 3c c cc c c?????C1 2 22 2 3k k kk k k?Kf(t) ={f1(t)， f2(t)}T ()t? ? ?Mx C x K x f多自由度系統(tǒng)振動(dòng)方程 質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣，剛度矩陣的性質(zhì) 對(duì)稱性 正定性 耦合 慣性耦合 阻尼耦合 彈性耦合 耦合的消除 0 0 0TTx M x x M x x? ? ? ?0 0Cx x Cx x? ? ?0 0 0x Kx x Kx x? ? ? ?固有振動(dòng) 2 反向運(yùn)動(dòng) 例：對(duì)稱系統(tǒng)， 特殊初始條件下的振動(dòng) 1 同向運(yùn)動(dòng) x1(0)= x2(0)= x0， 1 2 0( 0) ( 0)x x x???x1(0)= x2(0)= x0 1 2 0( 0) ( 0)x x x? ? ?1km? ? 122kkm???固有振動(dòng) 固有振動(dòng) 3 任意初始條件 分解為兩個(gè)初始條件 1 10 2 20 1 10 2 20( 0) , ( 0) , ( 0) , ( 0)x x x x x x x x? ? ? ?10 20 10 201 2 1 2( 0) ( 0) , ( 0) ( 0)22x x x xx x x x??? ? ? ?10 20 10 201 2 1 2( 0) ( , ( 0) ( 0)22x x x xx x??? ? ? ? ? ?0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 1 1 . 2 1 . 4 1 . 6 1 . 8 2432101234x 1 03固有振動(dòng) 數(shù)學(xué)提法 方程 0??Mx Kx特征值問題 頻率方程 K? = ω2Mu? |kij?ω2mij|=0 解為 固有頻率 ω1≤ω2≤， … ， ≤ωn 振型 ?1 ， ? 2 ， … ， ?n 固有頻率矩陣 ? =diag(ω1， ω2， … ， ωn) 振型矩陣 ? ={?1， ? 2， … ， ?n} K? = ? ? {K?1 ， K?2 ， … ， K?n}= {ω12 ?1 ， ω22?2 ， … ， ωn2?n} 固有振動(dòng) 振型的正交性 當(dāng) r≠ s時(shí)，如果 ωr≠ωs，則有 00TsrTsrKM????? ?? ??可證：振型之間線性無關(guān) 可定義以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)的內(nèi)積 即：振型之間彼此以剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為權(quán)正交 x,yK=xTKy, x,yM=xTMy 當(dāng) y=x時(shí) x,xK=xTKx, x,xM=xTMx 固有振動(dòng) 振型正交性的物理意義 如果 x= ar?r + as?s 則 189。xTKx= 189。 ar2?rTK?r +189。 as2?sTK?s r r s sx b b????221 1 12 2 2T T Tr r r s s sx M x b M b M? ? ? ???固有振動(dòng) 振型歸一化 1 令 1TrrM?? ? 2Tr r rK? ? ??2 令 ?r的某一分量為 1。比如取 ?r 的分量中絕對(duì)值最大的分量為 1， 2Tr r r r rKM? ? ???KTr r rM?M固有振動(dòng) 振型坐標(biāo)的解耦性 阻尼矩陣的處理 T12T12dia g ( , , , )dia g ( , , , )dndnK K KM M M????? ????KKMMT d?? ?CC Rayleigh阻尼 C = αM +βK 11???MC K K C M?K M C C M KC K M MK C Fawzy證明 C可對(duì)角化應(yīng)滿足下述條件之一 固有振動(dòng) 方程 2( ) 0?? ? ? ?M C K ?特征方程 0? ? ?Mx Cx Kx令 q=? e?t 2 0? ? ?M C Kn對(duì)共軛復(fù)根 i 1 , 2 , ,ir r drr r dr= σ + ω rn= σ ω??? ?? ?? 2| | 1 , 2 , ,2r r drσ + ω rn? ??動(dòng)力響應(yīng)分析 物理坐標(biāo)下的方程 ()t? ? ?Mx C x K x fx=?y，且兩邊左乘 ?T ，得到振型坐標(biāo)下的方程 ()d d d t? ? ?M y C y K y q1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2()()()n n n n n n nM y C y K y q tM y C y K y q ty C y K y q t? ? ?? ? ?? ? ?寫出分量形式 動(dòng)力響應(yīng)分析 初始條件的處理 00( 0) ( 0)? ? ?x x y y??兩邊左乘 ?TM 同樣 ( (Τ Τ Τ0 1 2 0( 0) ( 0) dia g ( , , , )nm m m? ? ?Mx Mx M y y? ? ?Τ00121 1 1dia g ( , , , )nm m my Mx?? Τ1 1 1dia g ( , , , )nm m my Mx動(dòng)力響應(yīng)分析 展開定理 1 1 2 2 nny y y? ? ?? ? ? ? ?xy ?彈性力 位移 1 1 2 2()s n ny y y? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?f Kx K y = K K K?2 2 21 1 1 2 2 2() n n ny y y? ? ? ? ? ?? ? ? ?= M M M復(fù)模態(tài)分析 方程 ()? ? ?Mx C x K x f t引入輔助方程 0??Mx Mx令 () ??? ????xqtx()()0???????ftpt? CMA M 00? ?KB M()??A q B q p t狀態(tài)空間方程 復(fù)模態(tài)分析 令 q=? e?t ( ) 0????AB 0? ??AB特征方程 n對(duì)共軛復(fù)根 i 1 , 2 , ,ir r drr r dr= σ + ω rn= σ ω???? ?? ??? 2| | 1 , 2 , ,2r r drσ + ω? ??復(fù)模態(tài)分析 由 ( ) 0rr????AB得到 n對(duì) 2n維共軛向量 (特征向量 )
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