【文章內(nèi)容簡介】 的平行線交 OA于 A′ 。顯然 ΔOA′T′的面積 S（ T′） 是 T′的連續(xù)函數(shù)，當(dāng) T′=0時 S（ 0） =0，當(dāng) T′=T時， S（ T）S，故由連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)存在 某 T′T， S（ T′） =S但這一結(jié)果與 υ=υ(t)是最優(yōu)方案下的車速的假設(shè)矛盾，因為用我們猜測的推車方法推車，只 需 T′時間即可將車推到修車處， 而 T′T。 ? ?T0 Sυ ( t ) d tadtdvb ???o υ t A T′ T A′ S y=at y=b(tT) 邏輯模型 例 1 擬將一批尺寸為 1 2 4的的商品裝入尺寸為 6 6 6的正方體包裝箱中，問是否存在一種裝法，使裝入的該商品正好充滿包裝箱。 解 將正方體剖分成 27個 2 2 2的小正方體，并 按下圖所示黑白相間地染色。 再將每一 2 2 2的小正方體剖分成 1 1 1的小正方體。 易見， 27個 2 2 2的正方體中，有 14個是黑的，13個是白的（或 13黑 14白），故經(jīng)兩次剖分，共計有 112個 1 1 1的黑色小正方體和 104個1 1 1的白色小正方體。 雖然包裝箱的體積恰好是商品體積的 27倍，但容易看到，不論將商品放置在何處，它都將占據(jù) 4個黑色和 4個白色的 1 1 1小正方體的位置，故商品不可能充滿包裝箱。 德國著名的藝術(shù)家 Albrecht D252。rer(14711521)于 1514年曾鑄造了一枚名為“ Melencotia I”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號、數(shù)字及幾何圖形。這里，我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問題 例 2. D252。rer魔方 （ 或幻方 ） 問題 ? 所謂的魔方是指由 1~n2這 n2個正整數(shù)按一定規(guī)則排列成的一個 n行 n列的正方形 。 n稱為此魔方的階 。 D252。rer魔方 ： 4階，每一行之和為34，每一列之和為 34，對角線（或反對角線）之和是 34，每個小方塊中的數(shù)字之和是 34，四個角上的數(shù)字加起來也是 34 什么是 D252。rer魔方 多么奇妙的魔方！ 銅幣鑄造時間： 1514年 構(gòu)造魔方是一個古老的數(shù)學(xué)游戲，起初它還和神靈聯(lián)系在一起，帶有深厚的迷信色彩。傳說三千二百多年前（公元前 2200年），因治水出名皇帝大禹就構(gòu)造了三階魔方（被人們稱“洛書”），至今還有人把它當(dāng)作符咒用于某些迷信活動，大約在十五世紀(jì)時，魔方傳到了西方，著名的科尼利厄斯 阿格里帕（ 14861535）先后構(gòu)造出了 3~9階的魔方 。 如何構(gòu)造魔方 奇數(shù)（不妨 n=5）階的情況 Step1: 在第一行中間寫 1 Step2: 每次向右上方移一格依次填按由小到大排列的下一個數(shù)，向上移出界時填下一列最后一行的小方格；向右移出界時填第一列上一行的小方格。若下面想填的格已填過數(shù)或已達(dá)到魔方的右上角時，改填剛才填的格子正下方的小方格，繼續(xù) Step2直到填完 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 偶數(shù)階的情況 偶數(shù)階的魔方可以利用奇數(shù)階魔方拼接而成，拉爾夫 斯特雷奇給出了一種拼接的方法 ，這里不作詳細(xì)介紹 五階 沒人知道有多少個?。。? 三階 1個 反射和中心旋轉(zhuǎn)生成 8個 四階 880個 反射和中心旋轉(zhuǎn)生成 7040個 魔方數(shù)量隨階數(shù) n增長的速度實(shí)在是太驚人了！ 同階魔方的個數(shù) 允許構(gòu)成魔方的數(shù)取任意實(shí)數(shù) 允許取實(shí)數(shù) n階魔方 A、 B，任意實(shí)數(shù) α 、 β α A+β B是 n階魔方 具有指定性質(zhì)的魔方全體構(gòu)成一個線性空間 問題已發(fā)生了實(shí)質(zhì)性變化 注：刻畫一個線性空間只需指出它的維數(shù)并求出此線性空間的一組基底 松馳問題的討論 1在第一行中共有 4種取法，為保持上述性質(zhì)的成立，第二行中的 1還有兩種取法。當(dāng)?shù)诙械?1也取定后，第三行與第四行的 1就完全定位了，故一共可作出 8個不同的最簡方陣，稱之為基本魔方并記之為 Q1， … ， Q8 仍以 4階方陣為例 。 令 R為行和 ， C為列和 ， D為對角線和 ， S為小方塊和 定義 0方： R=C=D=S=0 定義 1方： R=C=D=S=4 R=C=D=S=1的方陣構(gòu)成的線性空間具有什么樣的性質(zhì)？ 類似于構(gòu)造 n維歐氏空間的標(biāo)準(zhǔn)基，利用 0和 1我們來構(gòu)造一些 R=C=D=S=1的最簡單的方陣。 ?????????????00101000010000011Q ?????????????01000010100000012Q ?????????????00100100000110003Q ?????????????01000001001010004Q ?????????????10000010000101005Q ?????????????10000001010000106Q ?????????????00011000001001007Q ?????????????00010100100000108Q 顯然， D252。rer空間（簡稱 D空間）中任何一個元素都可以用 Q1， Q2， … ， Q8來線性表示，但它們能否構(gòu)成D空間的一組基呢？ 是否線性無關(guān)？821 , Q ?容易看出： 076328541 ???????? Q1， … ， Q8這 8個基本方是線性相關(guān)的，即至少存在一個 Qj，可以通過其它 7個基本方的線性組合得到。這 8個基本方的地位是等同的，故可不妨設(shè) j=8。下面驗證 Q1， Q2， … ， Q7是否線性相關(guān)。 071???iii Qr 令： ，即 ????????????????????????6542317713526426174534375621rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr????????????0000000000000000= 等號兩邊對應(yīng)元素相比較， 得 r1=r2=…=r 7=0， 所以 是 線性無關(guān) 721 , Q ? 721 , ?是 D空間的最小生成集。 令 D 即解方程組： 772211 QdQdQd ??? ????????????????11415512769811105132316????????????????????????6542317713526426174534375621dddddddddddddddddddddddddddd= 解得 D= 7654321 5336788 Q ??????研究 Albrecht D252。rer鑄造的銅幣 2023年浙江大學(xué)數(shù)學(xué)建模競賽 （ B題）通訊衛(wèi)星上的開關(guān)設(shè)置 地面上存在著 n個接收站與 n個發(fā)送站，而在通訊衛(wèi)星上則設(shè)置了若干種開關(guān)模式。開關(guān)模式可用矩陣 P=(pij)來表示，若衛(wèi)星可接收發(fā)送站 i發(fā)射的信息并將信息傳送回地面的接收站 j時，矩陣中的元素 pij =1，否則 pij =0。通訊衛(wèi)星上的接收發(fā)送任務(wù)也可以用一個矩陣 T=（ tij）來表示，其元素 tij為需經(jīng)通訊衛(wèi)星傳遞的由 i發(fā)點(diǎn)發(fā)送到 j接收點(diǎn)的信息量的傳送時間長度。由于技術(shù)上的原因，當(dāng)發(fā)送站 i在發(fā)送給接收站 j信息時，它不能同時發(fā)送給別的接收站信息；同樣，當(dāng)接收站 j在接收發(fā)送站 i的信息時，也不能同時接收其他發(fā)送站發(fā)送的信息。你的任務(wù)是： ? 設(shè)計一組開關(guān)模式， k=1, …,r （注： r應(yīng)當(dāng)盡可能?。?，使得對任意給定的任務(wù)矩陣 T，衛(wèi)星開關(guān)設(shè)置均能完成要求的發(fā)接收任務(wù)。 ? 設(shè)計一個算法，在發(fā)接收任務(wù) T給出后，可根據(jù)你設(shè)計的開關(guān)模式（ k=1,…,r ）求出各開關(guān)的使用時間 λk，使得在完成預(yù)定傳送任務(wù)的前提下使用各開關(guān)模式的總時間最短。 ? 同樣由于技術(shù)上的原因，開關(guān)模式的總數(shù) r有一個上限。當(dāng)需要傳送的任務(wù)數(shù)數(shù)量較大時，仍無法分派任務(wù)。請你想一些辦法來解決這一困難，（當(dāng)然，這時你可能要作出一些犧牲，即傳送時間可能會增加一些）。 問題及模型 問題的標(biāo)準(zhǔn)形式為：在地面上存在著 n個收站與 n個發(fā)戰(zhàn)，而在通訊衛(wèi)星上則設(shè)置了若干種開關(guān)模式。開關(guān)模式可用矩陣 P=(pij)來表示，若衛(wèi)星可接收發(fā)射站 i發(fā)射的信息并將信息傳送回地面的接收站 j時，矩陣元素 pij =1，否則 pij =0。通訊衛(wèi)星的接發(fā)任務(wù)也可用一矩陣 T=（ tij）來表示，其元素 tij為需經(jīng)通訊衛(wèi)星傳遞的由 i發(fā)點(diǎn)發(fā)送到 j接受點(diǎn)的信息量的傳送時間長度。問題要求求 r并設(shè)計一組開關(guān)模式 Pk， k=1, …, r及模式 Pk的使用時間 λk，使得在完成預(yù)定傳送任務(wù)的前提下各開關(guān)模式使用的總時間最短，即要求求解下面的問題： 1