【文章內容簡介】 、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集和最小徑集的概念及在事故樹分析中的作用 （ 2）徑集及最小 徑集 2） 最小徑集 ： 所謂最小徑集，就是使頂上事件不發(fā)生所必須的、最低限度的基本事件的集合。即在事故樹中，某一組基本事件（不多不少）不發(fā)生，則可控制頂上事件發(fā)生，這組基本事件就為該事故樹的一組最小徑集。 如圖 49中 (P73)， x1， x2， x3， x4這 4個事件組合為該事故樹的一組最小徑集。 ① 同樣在徑集中也存在相互包含和重復事件的情況，去掉這些事件的徑集叫最小徑集。也就是說凡不能導致頂上事件發(fā)生的最低限度的基本事件的集合稱為最小徑集。 ② 在最小徑集里，任意去掉一個基本事件就不成其為徑集。 ③ 事故樹有一個最小徑集，頂上事件不發(fā)生的可能性就有一種。最小徑集越多，頂上事件不發(fā)生的途徑就越多，系統(tǒng)也就越安全。 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集和最小徑集的概念及在事故樹分析中的作用 2）最小徑集在事故樹分析中的作用： 最小徑集在事故樹分析中的作用與最小割集同樣重要，主要表現(xiàn)在以下 3個方面。 1)表示系統(tǒng)的安全性 最小徑集表明，一個最小徑集中所包含的基本事件都不發(fā)生，就可防止頂事件發(fā)生。可見，每一個最小徑集都指示出頂事件不發(fā)生的條件，是采取預防措施、防止發(fā)生事故的一種途徑。最小徑集越多，防止事故的途徑也越多。從這個意義上來說，最小徑集表示了系統(tǒng)的安全性。 2)依據(jù)最小徑集可選取確保系統(tǒng)安全的最佳方案 每個最小徑集都指示了防止頂事件發(fā)生的一個方案，可以根據(jù)最小徑集中所包含的基本事件個數(shù)的多少、技術上的難易程度、耗費的時間以及投人的資金數(shù)量，來選擇最經濟、有效地控制事故的方案。 3)利用最小徑集同樣可以判定事故樹中基本事件的結構重要度和計算頂事件 發(fā)生的概率。 在事故樹分析中，有時應用最小徑集更為方便。一般說來，如果事故樹中與門多，則其最小割集的數(shù)量就少，定性分析最好從最小割集人手 。反之，如果事故樹中或門多，則其最小徑集的數(shù)量就少，此時定性分析最好從最小徑集人手，從而可使分析過程得以簡化。 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 1) 布爾代數(shù)簡化法求最小割集 布爾代數(shù)化簡法也叫邏輯化簡法，其方法是根據(jù)布爾代數(shù)運算法則對事故樹的狀態(tài)函數(shù)進行運算，以達到簡化的目的。 其算法是將布爾表達式變換成幾項相加，每一項就是最小割集中的一組，一起就是最小割集。其基本步驟為： ①列出事故樹的布爾表達式 ,即從事故樹的第一層輸入事件開始 ,“或門”的輸入事件用邏輯加表示 ,“與門”的輸人事件用邏輯積表示 。 ②第二層輸人事件代替第一層 ,第三層輸人事件代替第二層 ,直到事故樹全體基本事件都代完為止 ,布爾表達式整理后得到若干個交集的并集 ,每一個交集就是一個割集 。 ③利用布爾代數(shù)運算定律化簡 ,就可以求出最小割集。 其算法是將布爾表達式變換成幾項相加，每一項就是最小割集中的一組，一起就是最小割集。 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 1) 布爾代數(shù)簡化法求最小割集 上式變成 8項相加，我們可得 8組最小割集即 : 例 1： 圖 49所示腳手架上墜落死亡事故布爾代數(shù)簡化法求最小割集： 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 1)布爾代數(shù)簡化法求最小割集 例 :2： 求圖 211的最小割集： 得出圖 211的最小割集為： 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 1)布爾代數(shù)簡化法求最小割集 例 3： 求圖 45的最小割集： 事故樹經化簡后得到 3個交集的并集，也就是說該事故樹有 3個最小割集 : 簡化后的事故樹，其結構如圖 46所示，它是圖 45等效樹。 由圖可見， 用最小割集表示的事故樹，共有兩層邏輯門，第一層為或門，第二層為與門 。事故樹等效樹可清楚看出事故發(fā)生的各種模式。 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 1)布爾代數(shù)簡化法求最小割集 例 4： 求圖 47的最小割集： 事故樹經化簡后得到三個最小割集 : 五、最小割集和最小徑集及其求法 2） Fussell法（行列式法）求最小割集 Fussell法也稱行列法，這種方法是 于 1972年提出的一種求算方法。其基本思路是 :或門使割集數(shù)量增加，但不改變割集的容量（每組割集中包含的基本事件數(shù)不變） ； 與門使割集容量增加，但不改變其數(shù)量。Fussell法求最小割集和是最小徑集的具體方法如下： 例 1 ： 從 T開始（腳手架墜落死亡事故），與門橫排，或門豎列，至最終基本事件 x，則為最小割集。 如圖 49腳手架上墜落死亡事故的中最小割集可從以下推算得到。 注意：豎增加以后，前后帶上 最小割集的求法 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 2） Fussell法（行列式法）求最小割集 在用行列式求取最小割集時，亦可先從頂事件開始，用下一層事件代替上一層事件，把與門連接的事件橫向列出，把或門連接的事件縱向排開。這樣逐層向下，直到各基本事件，列出若干行， 最后再用布爾代數(shù)化簡 ，其結果就為最小割集。 例 2： 用行列式求圖 45的最小割集。 從頂上事件 T開始，第一層邏輯門為“與門”，“與門”連接的兩個事件 A和 B橫向排列代替 T； A下面的邏輯門為“或門”，連接 Xl， C兩個事件，應縱向排列，變成XlB和 CB兩行， C下面的“與門”連接 X2， X3兩個事件，因此 X2， X3寫在同一行上代替 C，此時得到二個交集 X1B, X2X3B。同理將事件 B用下面的輸入事件代入，得到四個交集，經化簡得到三個最小割集。這三個最小割集是 : 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小割集的求法 2） Fussell法（行列式法）求最小割集 例 3： 用行列式求圖 211的最小割集。 行列式法求最小割集總結： 行列式法求得的結果與布爾代數(shù)法相同，但用手工計算，布爾代數(shù)法較為簡單，這種方法適合于計算機編程求最小割集。 利用最小割集將事故樹表達成一個包含 3層事件 (頂事件、最小割集所代表的中間事件、基本事件 )的等效樹。 頂事件與最小割集所代表的中間事件 (最小割集所包含的基本事件同時發(fā)生 )用或門連接，最小割集與其中所包含的基本事件用與門連接。 1 2 1 1 2 3 4 4 5 4 61 2 1 2 3 4 5 4 61 2 3 4 5 4 61 2 4 5 4 6( ) ( )( ) ( )(1 ) ( )T x x x x x x x x x x xx x x x x x x x xx x x x x x xx x x x x x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?五、最小割集和最小徑集及其求法 最小徑集的求法 1）布爾代數(shù)變換法求最小徑集 (1/2) 布爾代數(shù)變換法求最小徑集是將布爾表達式變換成幾項相乘，每一項就是最小徑集中的一組，一起就是最小徑集。如在腳手架墜落死亡的例子中： 此式即為 4項相乘，則有 4組最小徑集 : 注意 :在求最小徑集時，布爾代數(shù)中括號內只能允許有加法，不允許有乘法，如有乘法存在，則需進行變換成括號內無乘法的多項式。如 : 此時應用 規(guī)律對 進行變換： 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小徑集的求法 1）布爾代數(shù)變換法求最小徑集（接上頁） (2/2) 無論求最小割集還是最小徑集，首先應對布爾表達式進行化簡后再進行變換。 五、最小割集和最小徑集及其求法 2） Fussell法（行列式法）最小徑集 從 T開始，與門豎列，或門橫排，至最終基本事件 x，則為最小徑集。如圖 4 9所示腳手架上墜落死亡事故的最小徑集可從以下推算得到。 用 Fussell法時，最后結果應考慮化簡的問題。 最小徑集的求法 五、最小割集和最小徑集及其求法 最小徑集的求法 （ 3）利用對偶性求最小徑集 亦可以利用它與最小割集的對偶性 ,首先作出與事故樹對偶的成功樹。其 基本步驟 如下： ①最小徑集的求法是利用最小徑集與最小割集的對偶性，首先畫事故樹的對偶樹，即成功樹，求 成功樹的最小割集，就是原事故樹的最小徑集 。 ②成功樹的畫法是將事故樹的“與門”全部換成“或門”，“或門”全部換成“與門”，并把全部事件發(fā)生變成不發(fā)生，就是在所有事件上都加“ ”（非），使之變成原事件補的形式。經過這樣變換后得到的樹形就是原事故樹的成功樹。 ③同理可知，畫成功樹時，事故樹的“與門”要變成“或門”，事件也都要變?yōu)樵录堑男问健? ④條件與門、條件或門、限制門的變換方式同上，變換時把條件作為基本事件處理。 ⑤用最小徑集表示的等效樹也有兩層邏輯門，與用最小割集表示的等效樹比較，所不同的是兩層邏輯門符號正好相反。 51 A B A B? ? ?積的非等于非的和： T A B??T A B??和的非等于非的積： A B A BT A B T A B? ? ?? ? ? ? ?（ 3）利用對偶性求最小徑集 最小徑集的求法 五、最小割集和最小徑集及其求法 +TX 1 X 2.TX 1 X 2.T1X 2X+T1X 2X事故樹 成功樹 德摩根定律 基本法則 52 (3)利用對偶性求最小徑集 最小徑集的求法 五、最小割集和最小徑集及其求法 邏輯門的變換方式表 與門 或門 或門 與門 條件與門 條件或門 條件或門 條件或門 限制門 或門 53 ..+++T1E2E3E 4E1X2X3X4X5X3X用最小割集化簡事故樹 最小徑集的求法 （ 3）利用對偶性求最小徑集 示例 1：利用事故樹與成功樹的對偶性求最小徑集 1 2 3 3 4 51 2 3 3 4 51 2 3 3 4 51 3 4 2 3 4 3 3 41 5 2 5 3 51 3 4 2 3 4 3 41 5 2 5 3 51 3 4 2 3 4 1 5 2 5 3 513( ) ( )[ ( ) ] ( )( ) ( )( 1 )( 1 )T E E E X E XX X X X X XX X X X X XX X X X X X X X XX X X X X XX X X X X X X XX X X X X XX X X X X X X X X X X XXX? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???4 1 5 2 5 3 53 4 1 5 2 5 3 5X X X X X X XX X X X X X X X? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?五、最小割集和最小徑集及其求法 原事故樹 原事故樹最小割集計算過程 54 最小徑集的求法 （ 3）利用對偶性求最小徑集 示例 1：利用事故樹與成功樹的對偶性求最小徑集 T+M4M3M2M1. . . .X1X5X2X5X4X3X3X5用最小割集表示的等效事故樹 五、最小割集和最小徑集及其求法 原事故樹的等效樹 （用最小割集表示） 55 最小徑集的求法 （ 3）利用對偶性求最小徑集 五、最小割集和最小徑集及其求法 ..+++T1E2E3E 4E1X2X3X4X5X3X+.+T1E2E3X5X3E.2X1X.4E4X3X事故樹 成功樹 示例 1： 由事故樹畫成功樹 ：利用事故樹與成功樹的對偶性求最小徑集 對偶性 56 最小徑集的求法 （ 3）利用對偶性求最小徑集 五、最小割集和最小徑集及其求法 1 2 3 3 4 51 2 3 3 4 51 2 3 3 5 4 5()T E E E X E XX X X X X XX X