【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ()(1)(??????????????????NsDsDsDsDsHsGsFkbkb幅角原理基本思想 利用 F(s)沿封閉曲線(xiàn) Ls一圈的相位變化，確定 F(s)繞 [F]平面原點(diǎn)的圈數(shù)和方向 ,進(jìn)而判斷其在 Ls內(nèi)的零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差： ? Nyquist判據(jù)基本思想 ① 為判斷 F(s)在 [s] 右半平面有無(wú)零點(diǎn)，作封閉曲線(xiàn) Ls包圍整個(gè) [s]右半平面。 (該曲線(xiàn)由整個(gè)虛軸 和 無(wú)窮大右半圓 組成。 ) R= ? Ls [ S ] ② F(s)在 [s ] 右半平面零、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之差，可由 [F(s)]平面上的封閉軌跡繞該平面原點(diǎn)的圈數(shù)和方向來(lái)確定。 [ F ] o ③ 由 F(s)=1+G(s)H(s), 得 G(s)H(s)=F(s)1,即繞[F ] 平面原點(diǎn)的封閉軌跡，等價(jià)于繞 [GH ]平面上 (1， j0) 的封閉軌跡。 [GH] (1,j0) ④ 根據(jù) G(s)H(s)繞 [GH]平面 (1， j0)點(diǎn)的 N及 G(s)H(s)的極點(diǎn)數(shù) P，可判斷 F(s)在 [s]右半平面的零點(diǎn)數(shù) : Z=N+P。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? Gk(s)的形狀 ）常數(shù)（通常為平面無(wú)窮大右半圓：平面虛軸：0)(][)2()j()(][)1( j?? ???? ?????skksksGsGsGs ??即 : [GK]平面上的 Nyquist軌跡為當(dāng) ?由 ∞到 +∞變化時(shí) ， GK(j?)所形成的軌跡 。 記 P為 GK(s)在 [s]右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則當(dāng) ?由 ∞到 +∞變化時(shí)， [GK]平面的軌跡 GK(j?)逆時(shí)針包圍點(diǎn) (1,j0)P圈 (N=P)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 ? Nyquist 穩(wěn)定判據(jù) Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? 注：由于 Gk(j?)關(guān)于 Gk(j?)共軛 ， 因此只需作出 ?從 0~+?的Gk(j?)即可 。 Nyquist判據(jù)可簡(jiǎn)單地用下式表示： 若 ????????PNPNP且且000則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。 ? 開(kāi)環(huán)穩(wěn)定系統(tǒng) (P=0)的 Nyquist判據(jù) 系統(tǒng)在 開(kāi)環(huán)狀態(tài)穩(wěn)定 的條件下 ， 閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)? 由 ∞到 +∞變化時(shí) ， 開(kāi)環(huán) G(j?)H(j?) 軌跡不包圍 [GH]（ 或[GK]） 平面的 (1,j0)點(diǎn) 。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) ? 系統(tǒng) (a)因?yàn)殚_(kāi)環(huán) Nyquist軌跡 不包圍 (1,j0)點(diǎn) ， 且 P=0則 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 。 ? 系統(tǒng) (b)因?yàn)殚_(kāi)環(huán) Nyquist軌跡 順時(shí)針包圍 (1,j0)點(diǎn) 2圈 ， 且 P=0則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定 ， 且不穩(wěn)定的極點(diǎn)數(shù) : Z=N=2. ? 例 1 圖 (a)、 (b)為 P=0的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán) Nyquist圖，判斷相應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 Nyquist穩(wěn)定判據(jù) I mR e0K? = 0( 1 , j 0 )( a )I mR e0K? = 0( 1 , j 0 )( b )?=+? ?=? ?=? ?=+? [GH] [GH] P=0 P=0 ? 例 2 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 應(yīng)用 Nyquist判據(jù) 1)()( ?? TsKsHsG判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ? 因?yàn)?P=1，所以當(dāng) N=1時(shí)有 Z=N+P=0，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 : ① 當(dāng) K1時(shí) ， Nyquist軌跡逆時(shí)針包圍 （ 1， j0） 點(diǎn)一圈 ， 系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 （ N=1） ； ② 當(dāng) 0K1時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定（ N=0）； ③ 當(dāng) K=1時(shí) ， 系統(tǒng)臨界穩(wěn)定 （ Nyquist軌跡穿過(guò) (1， j0)點(diǎn)對(duì)應(yīng)F(s)穿過(guò) [F]平面的原點(diǎn) ） 。 0?? ??? ?????TGTKGKKarctan)j(1)()j(2?????? Nyquist穩(wěn)定判據(jù) .)1)(1)(12( )1)(1()()(321221 ???????sTsTsTsTsTsTKsHsG ba?? 例 3 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)有一個(gè)不穩(wěn)定極點(diǎn) (P=1),而 ? 由 ∞到 +∞變化時(shí) ， [ GH ]平面的軌跡 GK(j?) 逆時(shí)針包圍點(diǎn)(1,j0)一圈 (N=1)， 因此 Z=N+P=0,系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定 。 ???K ?G(j?)? Im Re ?00 ?n (1, j0) ?? Nyquist穩(wěn)定判據(jù) 的 Nyquist軌跡如圖，試分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 ? 雖然開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)可以穩(wěn)定，但這種系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)品質(zhì)通常不好，應(yīng)當(dāng)盡量避免。 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ? 問(wèn)題的提出 當(dāng)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié) （ 原點(diǎn)處存在極點(diǎn) ） 或者在虛軸上存在極點(diǎn)時(shí) ， 由于 GK(s) 在 Ls 上不再是解析函數(shù) ， 因此不可直接應(yīng)用Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 解決這一問(wèn)題的基本思路是：用半徑 ?→ 0的半圓在虛軸上極點(diǎn)的右側(cè)繞過(guò)這些極點(diǎn) ， 即將這些極點(diǎn)劃到 s左半平面 ， 從而使得 GK(s) 在 Ls 上仍然是解析函數(shù) 。 原點(diǎn)處右半圓弧的數(shù)學(xué)方程 )()()()(sDssMsGkkk??r ? 0 時(shí) 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ?jr res 0lim?????????verKreDMsGrrkkreskr?????? ?????j00jlimlim)()0()0()( j0? [s]平面原點(diǎn)處極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的 Nyquist軌跡 s = re j? (r?0) 系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ? 從 0?0+： 20:)(:)(?vsGsGkk?????其 Nyquist軌跡為 [GH]上幅值為無(wú)窮大 ， 弧度為 v?/2的圓弧 。 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 r j? O ? ? 0+ 0 s ? 從 0??/2： （ [s]平面） （ [Gk]平面） ? 原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡：（ 1）一般情況 ?=0+ ?=0+ 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ① 作出 ?由 0+→∞ 變化時(shí)的 Nyquist曲線(xiàn) 。 ② 從 G(j0+)開(kāi)始，以 ∞的半徑逆時(shí)針補(bǔ)畫(huà) v 900的圓弧 (輔助線(xiàn) )。 r j? O ? ? 0+ ????veerKG jj)0j( ?? ???其輔助線(xiàn)的起始點(diǎn)始終在無(wú)窮遠(yuǎn)的正實(shí)軸上 。 （ 如果是非最小相位系統(tǒng) ， 且 v=2， 應(yīng)如何作輔助線(xiàn) ？ ） )20:( ?? ?? 對(duì)于最小相位系統(tǒng) ， 應(yīng)當(dāng)以半徑為無(wú)窮大的圓弧順時(shí)針?lè)较蜻B接正實(shí)軸端和 G(j?) H(j?)軌跡的起始端 。 開(kāi)環(huán)含有積分環(huán)節(jié)情況 ? 原點(diǎn)處有極點(diǎn)的系統(tǒng)開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡：（ 2）最小相位系統(tǒng) ? 例 1 已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) ， 和開(kāi)環(huán) Nyquist圖 ，應(yīng)用 Nyquist判據(jù)判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 。 2102101180(jNyquistarctanarctan90)j(TTGTTGjj ??????????????）可如下求出：軌跡與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)頻率?由于開(kāi)環(huán) Nyquist軌跡順時(shí)針包圍 (1， j0)