【文章內(nèi)容簡介】 b個水平， B1， B2, … …, B b, 在每一個組合水平 (Ai, Bj)下，進(jìn)行一次無重復(fù)試驗(yàn)，得到試驗(yàn)指標(biāo)的觀察值列于下表：設(shè) Xij~N(μij , σ2 )，各 xij相互獨(dú)立。第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據(jù)的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應(yīng)平方和 )+ SB (效應(yīng)平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SE的自由度為 ( a 1)(b1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析F檢驗(yàn)法 :統(tǒng)計(jì)量對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計(jì)算出 F1, F2值。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則說明因素 A的變化對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；若 F2 Fα (b 1, (a1)(b1))， 則說明因素 B的變化對試驗(yàn)結(jié)果有顯著影響；為了方便計(jì)算，我們采用下面的簡便計(jì)算公式：第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析方差分析表 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析例 2： (雙因素?zé)o交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進(jìn)器作火箭射程試驗(yàn)，每一種組合情況做一次試驗(yàn)，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進(jìn)器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析解 :這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因?yàn)?F1=, F2=故不同的燃料、不同的推進(jìn)器對火箭射程均無顯著影響。第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。 （ n為重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)）SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (2):簡化公式第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析有交互作用的方差分析 (3):方差分析表第三節(jié)：雙因素試驗(yàn)的方差分析第一節(jié)：正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析第四節(jié)：擬水平法的方差分析第五節(jié)：重復(fù)試驗(yàn)的方差分析第三講：正交試驗(yàn)的方差分析計(jì)算離差的平方和 :設(shè)用正交表安排 m個因素的試驗(yàn)，試驗(yàn)總次數(shù)為 n, 試驗(yàn)的結(jié)果分別為 x1, x2, … … , x n. 假定每個因素有 na個水平，每個水平做 a次試驗(yàn)，則 n = ana.1) 總離差的平方和 ST記記為 其中ST反映了試驗(yàn)結(jié)果的總差異，它越大，說明各次試驗(yàn)的結(jié)果之間的差異越大。試驗(yàn)結(jié)果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因?yàn)橛性囼?yàn)誤差。第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟2) 各因素離差的平方和下面以計(jì)算因素 A的離差的平方和 SA為例來說明。設(shè)因素 A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗(yàn)。用 xij表示因素 A的第 i個水平的第 j個試驗(yàn)的結(jié)果 (i = 1, 2, …, n a。 j = 1, 2, …, a) ，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第 i 個水平 a次試驗(yàn)結(jié)果的和。SA反映了因素 A的水平變化時所引起的試驗(yàn)結(jié)果的差異，即因素 A對試驗(yàn)結(jié)果的影響。用同樣的方法可以計(jì)算其它因素的離差平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當(dāng)作一個新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟3) 試驗(yàn)誤差的離差的平方和 SE設(shè) S因 +交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因?yàn)? ST = S因 +交 + SE, 所以 SE = ST S因 +交計(jì)算自由度 :試驗(yàn)的總自由度 f總 = 試驗(yàn)總次數(shù) 1 = n 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) 1 = na 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積 fAxB = fA X fB試驗(yàn)誤差的自由度 fE = f總 f因 +交第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟計(jì)算平均離差平方和 (均方 ):在計(jì)算各因素離差平方和時，我們知道，它們都是若干項(xiàng)平方的和 , 它們的大小與項(xiàng)數(shù)有關(guān)，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項(xiàng)數(shù)的影響，我們計(jì)算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和 )/因素的自由度 = S因 /f因試驗(yàn)誤差的平均離差平方和 = (試驗(yàn)誤差的離差的平方和 )/試驗(yàn)誤差的自由度 = SE / fE求 F比 :將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出 F值。這個比值的大小反映了各因素對試驗(yàn)結(jié)果影響程度的大小。第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟對因素進(jìn)行顯著性檢驗(yàn) :給出檢驗(yàn)水平 α，從 F分布表中查出臨界值 Fα(f因 ， fE)。將在 “求 F 比 ”中算出的 F值與該臨界值比較，若 F Fα(f因 ， fE)，說明該因素對試驗(yàn)結(jié)果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。第一節(jié)： 正交設(shè)計(jì)方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析例 1 (無交互作用 ):磁鼓電機(jī)是彩色錄像機(jī)磁鼓組件的關(guān)鍵部件之一，按質(zhì)量要求其輸出力矩應(yīng)大于 。某生產(chǎn)廠過去這項(xiàng)指標(biāo)的合格率較低，從而希望通過試驗(yàn)找出好的條件，以提高磁鼓電機(jī)的輸出力矩。根據(jù)工程技術(shù)人員的經(jīng)驗(yàn)，取試驗(yàn)因素和相應(yīng)水平如下表：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析解 ： (選用正交表 L9(34)表頭設(shè)計(jì)：試驗(yàn)計(jì)劃與試驗(yàn)結(jié)果：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析詳細(xì)計(jì)算如下：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對顯著因子應(yīng)取最好的水平 ， 對不顯著因子的水平可以任意選取 ； 在實(shí)際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇 ， 上面的例子中對因子 A與 B應(yīng)選擇 A2B2，因子 C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇 C1第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析驗(yàn)證試驗(yàn)：對 A2B2C1進(jìn)行三次試驗(yàn)，結(jié)果為： 234， 240， 220，平均值為 . 此結(jié)果是滿意的例 2(有交互作用 ):為提高某產(chǎn)品的產(chǎn)量，需要考慮 3個因素：反應(yīng)溫度、反應(yīng)壓力和溶液濃度。每個因素都取 3個水平，具體數(shù)值見表。考慮因素之間的所有一級交互作用，試進(jìn)行方差分析，找出最好的工藝條件。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析解 ： (選用正交表 L27(313)根據(jù)前面的公式作如下計(jì)算：第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析由此得出類似地最后計(jì)算總平方和，得出第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析用公式計(jì)算自由度：再用公式計(jì)算平均離差的平方和，然后計(jì)算 F值，再與 F分布表中查出的相應(yīng)的臨界值 Fα(f因 ， fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若 F (f因 ， fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若 F (f因 ， fE)，但 F (f因 ， fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若 F(f因 ， fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示。第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析方差分析表：因?yàn)?SAXC和 SBXC都很小，和誤差項(xiàng)合并，作為誤差項(xiàng)。通過 F值與臨界值比較看出，因素 A,B,C和交互作用 AXB對試驗(yàn)的影響都是顯著的，從 F值的大小看，因素 C最顯著，以下依次為 A， B， AXB第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析方差分析 (2)：由于這里的試驗(yàn)指標(biāo)是產(chǎn)品的產(chǎn)量，越大越好，所以最優(yōu)方案應(yīng)取各因素中 K的最大值所對應(yīng)的水平。因素 A應(yīng)取第 1水平，因素 B應(yīng)取第 3水平，因素 C應(yīng)取第 3水平。交互作用 AXB也是顯著的，但由于 AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把 A和 B的各種組合的試驗(yàn)結(jié)果對照起來分析。從表中看出，當(dāng) A取第 1水平、 B取第 3水平時，試驗(yàn)結(jié)果為 ，是所有結(jié)果中的最大值，因此取 A1B3。于是，最優(yōu)方案就取 A1B3C3.第二節(jié)： 3水平正交設(shè)計(jì)的方差分析混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析，本質(zhì)上與一般水平數(shù)相等正交設(shè)計(jì)的方差分析相同，只要在計(jì)算時注意到各水平數(shù)的差別就行了。現(xiàn)以 L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析例 4:某鋼廠生產(chǎn)一種合金，為便于校直冷拉，需要進(jìn)行一次退火熱處理 ,以降低合金的硬度。根據(jù)冷加工變形量，在該合金技術(shù)要求范圍內(nèi) ,硬度越低越好。試驗(yàn)的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜?biāo)是洛氏硬度 (HR)，經(jīng)分析研究，要考慮的因素有 3個： 退火溫度 A，保溫時間 B，冷卻介質(zhì) C。第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析解 ：第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說， B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素 B，把因素 A， C都并入誤差。這樣一來， SE就變成 SA + SC + S4 + S5 = + + + = ，再列方差分析表。第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析方差分析表 (2)：臨界值 (1， 6) = , (1, 6) = 從 F值和臨界值的比較來看，因素 B就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序?yàn)?BCA，選定的最優(yōu)方案應(yīng)為 A2B2C1第三節(jié)：混合型正交設(shè)計(jì)的方差分析例 5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗(yàn)。考察指標(biāo)是酸洗時間。在除銹效果達(dá)到要求的情況下，酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表 L9(34)，將因素 C虛擬 1個水平。據(jù)經(jīng)驗(yàn)知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第 2水平并安排在第 1列。第四節(jié)：擬水平法的方差分析解 ：虛擬水平的因素 C的第 1水平重復(fù) 3次，第二水平重復(fù) 6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第四節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素 D的影響大些。我們把影響最小的因素 B并入誤差，使得新的誤差平方和為 SE‘= SE + SB，再列方差分析表第四節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表 (2