【文章內容簡介】 b個水平， B1， B2, … …, B b, 在每一個組合水平 (Ai, Bj)下，進行一次無重復試驗，得到試驗指標的觀察值列于下表：設 Xij~N(μij , σ2 )，各 xij相互獨立。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析總離差平方和的分解 :記在水平 Ai 下的樣本均值為記在水平 Bj 下的樣本均值為樣本數(shù)據的總平均值為總離差平方和為將 ST改寫并分解得記為 ST = SA (效應平方和 )+ SB (效應平方和 )+ SE (誤差平方和 )第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析自由度 :ST的自由度為 ( ab 1)。SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SE的自由度為 ( a 1)(b1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析F檢驗法 :統(tǒng)計量對于給出的 α， 查出 Fα(a 1, (a 1)(b1)), Fα(b 1, (a 1)(b1))的值， 由樣本計算出 F1, F2值。從而有如下判斷：若 F 1 Fα (a 1, (a1)(b1))， 則說明因素 A的變化對試驗結果有顯著影響；若 F2 Fα (b 1, (a1)(b1))， 則說明因素 B的變化對試驗結果有顯著影響；為了方便計算，我們采用下面的簡便計算公式：第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析方差分析表 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析例 2： (雙因素無交互作用的方差分析 )使用 4種燃料， 3種推進器作火箭射程試驗，每一種組合情況做一次試驗，則得火箭射程列在表中，試分析各種燃料 (Ai)與各種推進器 (Bj)對火箭射程有無顯著影響 (α=)第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 :這里 a=4, b=3, ab=12第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析解 (2):給出的 α=, 查出 (3, 6)=, (2, 6) = 因為 F1=, F2=故不同的燃料、不同的推進器對火箭射程均無顯著影響。第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (分析過程略 ):自由度 :ST的自由度為 ( abn 1)。 （ n為重復試驗次數(shù)）SA的自由度為 ( a 1)。SB的自由度為 ( b 1)。SAxB的自由度為 (a1)(b1):SE的自由度為 ab(n1)。均方 :第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (2):簡化公式第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析有交互作用的方差分析 (3):方差分析表第三節(jié)：雙因素試驗的方差分析第一節(jié)：正交設計方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析第四節(jié)：擬水平法的方差分析第五節(jié)：重復試驗的方差分析第三講：正交試驗的方差分析計算離差的平方和 :設用正交表安排 m個因素的試驗，試驗總次數(shù)為 n, 試驗的結果分別為 x1, x2, … … , x n. 假定每個因素有 na個水平，每個水平做 a次試驗，則 n = ana.1) 總離差的平方和 ST記記為 其中ST反映了試驗結果的總差異，它越大，說明各次試驗的結果之間的差異越大。試驗結果之所以有差異，一是由因素水平的變化所引起的，二是因為有試驗誤差。第一節(jié)： 正交設計方差分析的步驟2) 各因素離差的平方和下面以計算因素 A的離差的平方和 SA為例來說明。設因素 A安排在正交表的某列，可看作單因素試驗。用 xij表示因素 A的第 i個水平的第 j個試驗的結果 (i = 1, 2, …, n a。 j = 1, 2, …, a) ，則有由單因素的方差分析記為 其中Ki 表示因素的第 i 個水平 a次試驗結果的和。SA反映了因素 A的水平變化時所引起的試驗結果的差異，即因素 A對試驗結果的影響。用同樣的方法可以計算其它因素的離差平方和。對于兩因素的交互作用，我們把它當作一個新的因素。如果交互作用占兩列，則交互作用的離差的平方和等于這兩列的離差的平方和之和。比如 SAxB = S(AxB)1 + S(AxB)2第一節(jié)： 正交設計方差分析的步驟3) 試驗誤差的離差的平方和 SE設 S因 +交 為所有因素以及要考慮的交互作用的離差的平方和，因為 ST = S因 +交 + SE, 所以 SE = ST S因 +交計算自由度 :試驗的總自由度 f總 = 試驗總次數(shù) 1 = n 1各因素的自由度 f因 = 因素的水平數(shù) 1 = na 1兩因素交互作用的自由度等于兩因素的自由度之積 fAxB = fA X fB試驗誤差的自由度 fE = f總 f因 +交第一節(jié)： 正交設計方差分析的步驟計算平均離差平方和 (均方 ):在計算各因素離差平方和時，我們知道，它們都是若干項平方的和 , 它們的大小與項數(shù)有關，因此不能確切反映各因素的情況。為了消除項數(shù)的影響，我們計算它們的平均離差的平方和。因素的平均離差平方和 = (因素離差的平方和 )/因素的自由度 = S因 /f因試驗誤差的平均離差平方和 = (試驗誤差的離差的平方和 )/試驗誤差的自由度 = SE / fE求 F比 :將各因素的平均離差的平方和與誤差的平均離差平方和相比，得出 F值。這個比值的大小反映了各因素對試驗結果影響程度的大小。第一節(jié)： 正交設計方差分析的步驟對因素進行顯著性檢驗 :給出檢驗水平 α，從 F分布表中查出臨界值 Fα(f因 ， fE)。將在 “求 F 比 ”中算出的 F值與該臨界值比較，若 F Fα(f因 ， fE)，說明該因素對試驗結果的影響顯著，兩數(shù)差別越大，說明該因素的顯著性越大。第一節(jié)： 正交設計方差分析的步驟第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析例 1 (無交互作用 ):磁鼓電機是彩色錄像機磁鼓組件的關鍵部件之一，按質量要求其輸出力矩應大于 。某生產廠過去這項指標的合格率較低，從而希望通過試驗找出好的條件，以提高磁鼓電機的輸出力矩。根據工程技術人員的經驗，取試驗因素和相應水平如下表：第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析解 ： (選用正交表 L9(34)表頭設計：試驗計劃與試驗結果：第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析詳細計算如下：第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析列方差分析表如下：最佳條件的選擇：對顯著因子應取最好的水平 ， 對不顯著因子的水平可以任意選取 ； 在實際中通常從降低成本操作方便等角度加以選擇 ， 上面的例子中對因子 A與 B應選擇 A2B2，因子 C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇 C1第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析驗證試驗：對 A2B2C1進行三次試驗，結果為： 234， 240， 220，平均值為 . 此結果是滿意的例 2(有交互作用 ):為提高某產品的產量，需要考慮 3個因素：反應溫度、反應壓力和溶液濃度。每個因素都取 3個水平，具體數(shù)值見表?？紤]因素之間的所有一級交互作用，試進行方差分析，找出最好的工藝條件。第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析解 ： (選用正交表 L27(313)根據前面的公式作如下計算：第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析由此得出類似地最后計算總平方和，得出第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析用公式計算自由度：再用公式計算平均離差的平方和，然后計算 F值，再與 F分布表中查出的相應的臨界值 Fα(f因 ， fE)比較，判斷各因素顯著性的大小。通常，若 F (f因 ， fE)，就稱該因素是高度顯著的，用兩個星號表示；若 F (f因 ， fE)，但 F (f因 ， fE)，則稱該因素的影響是顯著的，用一個星號表示；若 F(f因 ， fE)，就稱該因素的影響是不顯著的，不用星號表示。第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析方差分析表：因為 SAXC和 SBXC都很小，和誤差項合并，作為誤差項。通過 F值與臨界值比較看出，因素 A,B,C和交互作用 AXB對試驗的影響都是顯著的，從 F值的大小看，因素 C最顯著，以下依次為 A， B， AXB第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析方差分析 (2)：由于這里的試驗指標是產品的產量，越大越好，所以最優(yōu)方案應取各因素中 K的最大值所對應的水平。因素 A應取第 1水平，因素 B應取第 3水平，因素 C應取第 3水平。交互作用 AXB也是顯著的，但由于 AXB占兩列，直觀分析法有些困難，因此把 A和 B的各種組合的試驗結果對照起來分析。從表中看出，當 A取第 1水平、 B取第 3水平時，試驗結果為 ，是所有結果中的最大值，因此取 A1B3。于是，最優(yōu)方案就取 A1B3C3.第二節(jié)： 3水平正交設計的方差分析混合型正交設計的方差分析，本質上與一般水平數(shù)相等正交設計的方差分析相同，只要在計算時注意到各水平數(shù)的差別就行了?，F(xiàn)以 L8(4X24)混合型正交表為例：總離差平方和為因素偏差平方和有兩種情況：2水平因素：4水平因素：第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析例 4:某鋼廠生產一種合金，為便于校直冷拉，需要進行一次退火熱處理 ,以降低合金的硬度。根據冷加工變形量，在該合金技術要求范圍內 ,硬度越低越好。試驗的目的是尋求降低硬度的退火工藝參數(shù)?？疾斓闹笜耸锹迨嫌捕?(HR)，經分析研究，要考慮的因素有 3個： 退火溫度 A，保溫時間 B，冷卻介質 C。第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析解 ：第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值的比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說， B的影響大些。為提高分析精度，我們只考慮因素 B，把因素 A， C都并入誤差。這樣一來， SE就變成 SA + SC + S4 + S5 = + + + = ，再列方差分析表。第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析方差分析表 (2)：臨界值 (1， 6) = , (1, 6) = 從 F值和臨界值的比較來看，因素 B就是顯著性因素了。因素影響從大到小的順序為 BCA，選定的最優(yōu)方案應為 A2B2C1第三節(jié)：混合型正交設計的方差分析例 5:鋼片在鍍鋅前要用酸洗的方法除銹。為了提高除銹效率，縮短酸洗時間，先安排酸洗試驗?？疾熘笜耸撬嵯磿r間。在除銹效果達到要求的情況下，酸洗時間越短越好。要考慮的因素及其水平如表：選取正交表 L9(34)，將因素 C虛擬 1個水平。據經驗知，海鷗牌比OP牌的效果好，故虛擬第 2水平并安排在第 1列。第四節(jié)：擬水平法的方差分析解 ：虛擬水平的因素 C的第 1水平重復 3次，第二水平重復 6次。因此，離差平方和為：其余因素的離差平方和為誤差的離差平方和為：第四節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表：從 F值和臨界值比較看出，各因素均無顯著影響，相對來說，因素 D的影響大些。我們把影響最小的因素 B并入誤差，使得新的誤差平方和為 SE‘= SE + SB，再列方差分析表第四節(jié)：擬水平法的方差分析方差分析表 (2