【文章內容簡介】 函數 g ( x ) ＝f ( 2 x )x － 1的 定義域是 ( ) A ． [ 0,1 ] B ． [ 0,1 ) C ． [ 0,1 ) ∪ ( 1,4 ] D ． ( 0,1 ) 解析 由已知????? 0 ≤ 2 x ≤ 2 ，x － 1 ≠ 0 ，解之得 0 ≤ x 1 , 定義域為 [ 0,1 ) ． B 4 ． ( 201 0 全國 ) 設偶函數 f ( x ) 滿足 f ( x ) ＝ x3－ 8( x ≥ 0) ，則 { x | f ( x － 2) 0} 等于 ( ) A ． { x | x － 2 或 x 4} B ． { x | x 0 或 x 4} C ． { x | x 0 或 x 6} D ． { x | x － 2 或 x 2} 解析 ∵ f ( x ) 為偶數函數且 f ( x － 2) 0 ， ∴ f (| x － 2 | ) 0 ， 可得 | x － 2|3 8 0, ∴ | x － 2 | 2 ，解得 x 4 或 x 0. B 5 ．函數 f ( x ) ＝????? log 2 ( x － 1 ) ， x ≥ 2 ，(12)x－ 1 ， x 2 ，若 f ( x 0 ) 1 ，則 x 0 的取值范圍是 ( ) A ． ( － ∞ ， 0) ∪ (2 ，＋ ∞ ) B ． ( 0,2 ) C ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) D ． ( － 1,3 ) 解析 當 x ≥ 2 時，由 l og 2 ( x － 1) 1 解得 x － 1 2 ，即 x 3 ；當 x 2 時，由 (12)x－ 1 1 ，即 (12)x2 ，解得 x － 1 ， ∴ 若 f ( x 0 ) 1 ，則 x 0 的取值范圍是 ( － ∞ ，－ 1) ∪ (3 ，＋ ∞ ) ． 故選 C. C 6 ．已知函數 f ( x ) ＝????? 2x ( x ≤ 1 ) ，log x ( x 1 ) ，則函數 y ＝ f (1 － x ) 的圖象是 ( ) 21解析 取特值法，當 x ＝ 1 時， y ＝ f (1 － x ) ＝ f ( 0 ) ＝ 20＝ 1 ， 排除 C ；當 x ＝ 0 時， y ＝ f (1 － x ) ＝ f ( 1) ＝ 21＝ 2 ，排除 A 、B. 故選 D. 答案 D 7. 函數 y ＝－ ( x － 3 ) | x |的遞增區(qū)間是 ________ ． 解析 y ＝－ ( x － 3) | x | ＝????? － x2＋ 3 x ( x 0 ) ，x2－ 3 x ( x ≤ 0 ) . 作出該函數的圖象，觀察圖象知遞增 區(qū)間為 [0 ，32] ． [0 ， 32] 8 ． ( 20 09 北京 ) 已知函數 f ( x ) ＝????? 3 x ， x ≤ 1 ，－ x ， x 1 ，若 f ( x ) ＝ 2 ， 則 x ＝ ___ _____. 解析 當 x ≤ 1 時， 3 x ＝ 2 ， ∴ x ＝ lo g 3 2 ； 當 x 1 時，－ x ＝ 2 ， ∴ x ＝－ 2( 舍去 ) ． log32 9 ．已知周期為 2 的函數 f ( x ) 是奇函數，當 x ∈ ( － 1, 0) 時， f ( x ) ＝－ 2 － x ，則 f ??????log 2 135的值為 ________ ． 解析 ∵ lo g2 135∈ ( － 6 ，－ 5) ，設－ 6 x － 5 ， 則 0 x ＋ 61 ，－ 1 － ( x ＋ 6) 0. ∵ f ( x ) 的周期為 2 ， ∴ f ( x ＋ 6) ＝ f ( x ) ． 又 ∵ f ( x ) 為奇函數， ∴ f [ － ( x ＋ 6) ] ＝－ f ( x ＋ 6) ． 當 x ∈ ( － 6 ，－ 5) 時， f ( x ) ＝ f ( x ＋ 6) ＝－ f [ － ( x ＋ 6) ] ＝ 2x ＋ 6. ∴ f ??????lo g2 135＝ ＝6435. 6435 356422log10 ．已知函數 f ( x ) ，對任意 x ， y ∈ R 都有 f ( x ＋ y ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) ，且 x 0 時， f ( x ) 0 ， f ( 1 ) ＝－ 2. ( 1) 證明： f ( x ) 為奇函數； ( 2) 證明： f ( x ) 在 R 上是減函數； ( 3) 求 f ( x ) 在 [ － 3, 3] 上的最大值和最小值． ( 1) 證明 ∵ x ， y ∈ R 時， f ( x ＋ y ) ＝ f ( x ) ＋ f ( y ) ， ∴ 令 x ＝ y ＝ 0 得， f ( 0) ＝ 2 f ( 0) ， ∴ f ( 0 ) ＝ 0. 令 y ＝－ x ，則 f ( x － x ) ＝ f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0 ， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， ∴ f ( x ) 為奇函數． ( 2) 證明 設 x1 x2，則 x2－ x10 ， ∵ 當 x 0 時， f ( x ) 0 ， ∴ f ( x2－ x1) 0. 又 ∵ y ＝ f ( x ) 是奇函數， ∴ f ( x2－ x1) ＝ f ( x2) ＋ f ( － x1) ＝ f ( x2) － f ( x1) ． ∴ f ( x2) － f ( x1) 0 ，即 f ( x2) f ( x1) ． 所以 f ( x ) 在 R 上是減函數． ( 3) 解 ∵ f ( x ) 在 R 上為減函數， ∴ f ( x ) 在 [ － 3,3] 上的最大值為 f ( － 3) ，最小值為 f ( 3) ． ∵ f ( 3) ＝ f ( 2 ) ＋ f ( 1 ) ＝ 3 f ( 1) ＝－ 6 ， f ( － 3) ＝－ f ( 3 ) ＝ 6 ， ∴ 函數 f ( x ) 在 [ － 3,3] 上的最大值為 6 ，最小值為－ 6. 返回 第 3 講 三角函數 高考要點回扣 1. 角的概念、象限角的概念、終邊相同的角的表示 ( 1 ) α 終邊與 θ 終邊相同 ( α 的終邊在 θ 終邊所在的射線上 ) ? α ＝ θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ) ，注意：相等的角的終邊一定相同，終邊相同的角不一定相等 . 如與角－ 1 8 2 5 176。 的終邊相 同，且絕對值最小的角的度數是 ，合 弧度 . ( 2 ) α 終邊與 θ 終邊共線 ( α 終邊在 θ 終邊所在的直線上 )? α ＝ θ ＋ k π( k ∈ Z ). － 25176。 －536π ( 3 ) α 終邊與 θ 終邊關于 x 軸對稱 ? α ＝－ θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 4 ) α 終邊與 θ 終邊關于 y 軸對稱 ? α ＝ π － θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 5 ) α 終邊與 θ 終邊關于原點對稱 ? α ＝ π ＋ θ ＋ 2 k π( k ∈ Z ). ( 6 ) α 終邊在 x 軸上的角可表示為 α ＝ k π ， k ∈ Z ； α 終邊在y 軸上的角可表示為 α ＝ k π ＋π2， k ∈ Z ； α 終邊在坐標軸上的角可表示為 α ＝k π2， k ∈ Z . 2. 弧長公式： l ＝ |α | R ，扇形面積公式： S ＝12lR ＝12|α | R2， 弧度 ( 1 r ad ) ≈ 5 7 . 3 176。 . 如已知扇形 AO B 的周長是 6 cm ，該 扇形的中心角是 1 弧度，求該扇形的面積 . 答案 2 cm2 3. 任意角的三角函數的定義：設 α 是任意一個角， P ( x ， y ) 是 α 的終邊上的任意一點 ( 異于原點 ) ，它與原點的距離是 r ＝ x2＋ y20 ，那么 si n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α＝y(tǒng)x， ( x ≠ 0) ，三角函數值只與角的大小有關，而與終邊上點 P 的位置無關 . 如 ( 1 ) 已知角 α 的終邊經過點 P (5 ，－ 1 2 ) ，則 si n α ＋ c o s α 的值為 . ( 2 ) 設 α 是第三、四象限角， si n α ＝2 m － 34 － m，則 m 的取值范圍是 . － 713 (－ 1 ， 32 ) 4. 三角函數線的特征：單位圓中，正弦線 MP “ 站在 x 軸上 ( 起點在 x 軸上 ) ” 、余弦線 OM “ 躺在 x 軸上 ( 起點是原點 ) ” 、正切線 AT “ 站在點 A ( 1 , 0 ) 處 ( 起點是 A ) ” . 三角函 數線的重要應用是比較三角函數值的大小 和解三角不等式 . 如 ( 1 ) 若－π8 θ 0 ，則 s i n θ ， c o s θ ， t a n θ 的大小關系為 . ( 2 ) 若 α 為銳角，則 α ， si n α ， t a n α 的大小關系為 . ( 3 ) 函數 y ＝ 1 ＋ 2 c o s x ＋ l g ( 2 si n x ＋ 3 ) 的定義域 是 . t a n θ s i n θ co s θ s i n α α t a n α (2 k π － π3 ， 2 k π ＋ 2π3 ］， k ∈ Z 5. 同角三角函數的基本關系式 ( 1 ) 平方關系： s i n2α ＋ c o s2α ＝ 1. ( 2 ) 商數關系： t a n α ＝si n αc o s α. 6. 三角函數誘導公式 (k2π ＋ α )( k ∈ Z ) 的本質是：奇變偶不變 ( 對 k 而言，指 k 取奇數或偶數 ) ，符號看象限 ( 看原函數，同時可把 α 看成是銳角 ). 誘導公式的應用是求任意角的三角函數值，其一般步驟： ( 1 ) 負角變正角，再寫成 2 k π＋ α ， 0 ≤ α 2 π ； ( 2 ) 轉化為銳角三角函數 . 如 ① c o s9π4＋ t a n ( －7π6) ＋ si n 2 1 π 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 22 －33 ② 已知 s i n ( 5 4 0 176。 ＋ α ) ＝－45，則 co s( α － 2 7 0 176。 ) ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 若 α 為第二象限角，則［ si n ( 1 8 0 176。 － α ) ＋ co s ( α － 3 6 0 176。 ) ］2t a n ( 1 8 0 176。 ＋ α ) ＝ . 7. 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式 si n ( α 177。 β ) ＝ s i n α c o s β 177。 c o s α s i n β s i n 2 α ＝ 2 s i n α c o s α . c o s( α 177。 β ) ＝ c o s α c o s β ? si n α s i n β c o s 2 α ＝ c o s2α －si n2α ＝ 2 c o s2α － 1 ＝ 1 － 2 s i n2α . t a n ( α 177。 β ) ＝t a n α 177。 t a n β1 ? t a n α t a n β. c o s2α ＝1 ＋ c o s 2 α2， si n2α ＝1 － c o s 2 α2， t a n 2 α ＝2 t a n α1 － t a n2α. － 45 － 31 0 0 ?? ?令?? ?令8. 三角函數的化簡、計算、證明的恒等變形的基本思路是： 一角二名三結構 . 即首先