高等數(shù)學(xué)國(guó)家精品課程——導(dǎo)數(shù)理論及應(yīng)用(編輯修改稿)
2024-09-19 22:03 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 i）若在內(nèi)，則有，即，此時(shí)，單減；綜和上述正反兩方面，得：判定法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則： （1）在上單增的充要條件是； （2）在上單減的充要條件是。注1：此“單增”或“單減”與課本上的意義有些區(qū)別，它是指：若，則有“”或“”或稱“不減”或“不增”。而對(duì)時(shí)，有 “”或“”時(shí)，稱為“嚴(yán)格單增”或“嚴(yán)格單減”。在不特別要求下，也可稱為“單增”或“單減”。 2：若在內(nèi)有，則在上嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）； 嚴(yán)格遞增（i）； （ii）在任何子區(qū)間上。 3：可換成其它任何區(qū)間，包括無(wú)窮區(qū)間，結(jié)論成立?！纠?】 證明：當(dāng)時(shí)。證明：令所以，當(dāng)時(shí)，所以為嚴(yán)格遞增的，所以。【例2】討論單調(diào)性。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 所以在上嚴(yán)格遞減；（Ⅱ）當(dāng)時(shí) , 所以在[1，1]上嚴(yán)格遞增；（Ⅲ）當(dāng)時(shí)， 所以在上嚴(yán)格遞減。【例2】中的通常稱為單調(diào)區(qū)間并且稱為單調(diào)增加區(qū)間，[1，1]稱為單調(diào)減少區(qū)間，而二點(diǎn)恰為單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，不難知。一般講，在定義域內(nèi)未必單調(diào)，但可用適當(dāng)?shù)囊恍c(diǎn)把定義域分為若干個(gè)區(qū)間，便得在每一個(gè)區(qū)間上都是單調(diào)函數(shù)。而這些分點(diǎn)主要有兩大類：其一是導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，即的根；其二是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。事實(shí)上，只要在定義域內(nèi)連續(xù)，且只在有限n個(gè)點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)不存在，則可用分點(diǎn)將區(qū)間分為若干個(gè)小區(qū)間，使得在各小區(qū)間上，保持有相同的符號(hào)，即恒正或恒負(fù)，這樣在每個(gè)小區(qū)間上為增函數(shù)或減函數(shù)，各小區(qū)間則相對(duì)地稱為單增區(qū)間或單減區(qū)間?！纠?】求的單調(diào)區(qū)間。解：在（∞，+∞）上連續(xù)，當(dāng)X≠0時(shí)，再令y′=0，解得，X=1為導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)，又當(dāng)X=0時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在，所以X=0為不可導(dǎo)的點(diǎn)，現(xiàn)用X=0和X=1作為分點(diǎn)來(lái)將（∞，+∞）分為（∞，0），[0，1]和[1，+∞]三個(gè)區(qū)間。（Ⅰ）在（∞，0）上，所以在上為單增函數(shù)；（Ⅱ）在（0，1）上，所以在[0，1]上單減；（Ⅲ）在上，所以在（1，+∞）上單增?！纠?】方程（其中a＞0）有n個(gè)實(shí)根？解：設(shè)令，用點(diǎn)將其定義域（0，+∞）分為（0，1/a）和[1/a，+∞]二個(gè)區(qū)間，且（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，所以在是單增的，故當(dāng)時(shí)。（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，所以在上為單減的，故當(dāng)時(shí)。由（Ⅰ）（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，即對(duì)，下面來(lái)討論有幾個(gè)實(shí)根：（a）若1+lna＞0，即a＞1/e時(shí)，＜0，即方程無(wú)解。（b）若1+lna=0，即a=1/e時(shí)，且僅在X=1/a=e時(shí)，有=0，此時(shí)，方程有唯一的解。（c）若1+lna＜0，即0＜a＜1/e時(shí)，f（1/a）＞0，又在（0，1/a）上，單增，且，故在（0，1/a）上，函數(shù)與x軸有一個(gè)且只一個(gè)交點(diǎn)，即方程的根，又在上，單減，且，故在上，與X軸有一個(gè)且只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程的根，合起來(lái)，此時(shí)方程有二個(gè)實(shí)根。167。 函數(shù)的極值的求法上節(jié)[例3]中，用X=0，和X=1兩點(diǎn)將的定義域（∞，+∞）分為三小區(qū)間（∞，0），[0，1]，使用分別在這三個(gè)小區(qū)間上單增，單減，單增（見(jiàn)圖），從圖中不難看出，在X=0的一個(gè)較小范圍內(nèi)，在X=1點(diǎn)的最小區(qū)間都是慮的局部情況，而不是整體這就是將討論的極值。定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X0的某鄰域上有定義，若對(duì)有，（）定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)X0處的得極大值（極小值）點(diǎn)X0稱為極大點(diǎn)（極小點(diǎn)），極大值，極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)，極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極點(diǎn)。顯然在上節(jié)[例3]中，X=0，X=1均為極點(diǎn)，注：極大點(diǎn)，極小點(diǎn)未必統(tǒng)一。定理1：（極值的必要條件），若函數(shù)在點(diǎn)可導(dǎo)，且取得極值，則。注： 一般地，在處有，就稱為的駐點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)，上定理1即是可導(dǎo)函數(shù)的極點(diǎn)必為穩(wěn)定點(diǎn)。定理1不是充分的即駐點(diǎn)未必是極點(diǎn)，及例：在=0處的情況。定理1只對(duì)可導(dǎo)函數(shù)而言，對(duì)導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，函數(shù)也可能取及極值，例：=∣x∣，在x=0點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，但取得極小值。證明可仿照Rolle 中值定理的證明，此處不證了。如何判別在x0點(diǎn)取得極值，有下二個(gè)定理：定理2（判別法1），設(shè)連續(xù)，在x0點(diǎn)連續(xù)，在x0的某一定心鄰域內(nèi)可導(dǎo)（Ⅰ）若當(dāng)x∈（x0 –σ，x0 ）時(shí)，f′（x）≥0，當(dāng)x∈（x0，x0 +σ）時(shí)，f′（x）≤0，則f（x）在x0點(diǎn)取得極大值。（Ⅱ）若當(dāng)x∈（x0 –σ，x0 ）時(shí)，f′（x）≤0，當(dāng)x∈（x0，x0 +σ）時(shí)，f′（x）≥0，則f（x）在x0點(diǎn)取得極小值。定理3（判別法2）設(shè)f（x）在x0的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且f（x0）=0，f′（x0）存在（Ⅰ）若f″（x0）＜0，則f（x）在x0點(diǎn)取得極大值。（Ⅱ）若f″（x0）＞0，則f（x）在x0點(diǎn)取得極小值。（Ⅲ）若f″（x0）=0，則此差別法2換效。證：（Ⅰ）f″（x0）=lim f′（x） f′（x0）/x x0= lim f′（x）/ x x0＜0故存在x0的某鄰域U（x0 ，σ），當(dāng)X∈（x0 ，σ）時(shí)，f′（x）/x x0。即f′（x）與x x0反號(hào)，當(dāng)x∈（x0 –σ，x0）時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（x0，x0+σ）時(shí)，f′（x）＜0；由差別法1，f（x）在x0點(diǎn)取得極大值。（Ⅲ）[反例1] f（x）=x2 在x=0點(diǎn)取得極小值。[反例2] f（x）=x3 在x=0點(diǎn)取不到極值。[例1]上節(jié)[例2] f（x）=3xx3[例2]求f（x）=（x2）2/3（2x+1）的極值解：由為駐點(diǎn)； 又 ，所以
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