導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-09-18 19:33 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。證畢。復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可以推廣到多個(gè)中間變量的情形。我們以兩個(gè)中間變量為例，設(shè)，，則，而，故復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。當(dāng)然，這里假定上式右端所出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)在相應(yīng)處都存在。例4 設(shè)，求。解 可以看作由，復(fù)合而成的，因此 例2已知，求解：例3 ，求。解：。例4 ，求。解：所給函數(shù)可分解為。因，，故。不寫(xiě)出中間變量，此例可這樣寫(xiě)：。：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）2．抽象的復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)練習(xí)（所出現(xiàn)的抽象函數(shù)均可導(dǎo)）。（1）（2）（3）（4） 啟發(fā)與思考1. 復(fù)合函數(shù)是由那些函數(shù)復(fù)合而成的.2. 中間變量函數(shù)的定義域與復(fù)合函數(shù)的定義域是什么關(guān)系?小結(jié)：本節(jié)講述了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，訓(xùn)練了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法及抽象的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法作業(yè)：作業(yè)見(jiàn)作業(yè)卡.第四節(jié) 隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)和由參數(shù)方程確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的：熟練初等函數(shù)的求導(dǎo)方法，了解高階導(dǎo)數(shù)的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單的n階導(dǎo)數(shù) 掌握隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，會(huì)求其一二階導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的求法 隱函數(shù)求導(dǎo)教學(xué)難點(diǎn)：高階導(dǎo)數(shù)的歸納方法 隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的求法，冪指函數(shù)的求導(dǎo)法教學(xué)時(shí)數(shù)：4學(xué)時(shí)教學(xué)內(nèi)容:一、 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 先介紹顯函數(shù)、隱含數(shù)的定義 如果在含變量x和y的關(guān)系式F(x,y)=0中,當(dāng)x取某區(qū)間I內(nèi)的任一值時(shí)，相應(yīng)地總有滿足該方程的惟一的y值與之對(duì)應(yīng)，那么就說(shuō)方程F(x,y) =0在該區(qū)間內(nèi)確定了一個(gè)隱函數(shù)y =y(x)．這時(shí)y(x)不一定都能用關(guān)于x的表達(dá)式表示. 若方程F(x,y) =0確定了隱函數(shù)y =y(x)，則將它代入方程中，得 F(x,y(x)) =0 對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)(若可導(dǎo)),并注意運(yùn)用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,就可以求出y162。(x)來(lái).把一個(gè)隱函數(shù)化成顯函數(shù)，叫做隱函數(shù)的顯化。例如從方程解出，就把隱函數(shù)化成了顯函數(shù)。隱函數(shù)的顯化有時(shí)是有困難的，甚至是不可能的。但在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)需要計(jì)算隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因此，我們希望有一種方法，不管隱函數(shù)能否顯化，都能直接由方程算出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)。下面通過(guò)具體例子來(lái)說(shuō)明這種方法。例1 求方程y=cos(x+y)所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)．解： 將方程兩邊關(guān)于x求導(dǎo)，：（1）方程兩端同時(shí)對(duì)求導(dǎo)數(shù)，注意把當(dāng)作復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的中間變量來(lái)看待，例如.（2）從求導(dǎo)后的方程中解出來(lái).（3），還要把對(duì)應(yīng)的值代進(jìn)去。例2 ，確定了是的函數(shù)，求。解：，時(shí)。自我訓(xùn)練：（1），求。（2），求。（3），求。（4），求。對(duì)于冪指函數(shù)是沒(méi)有求導(dǎo)公式的，我們可以通過(guò)方程兩端取對(duì)數(shù)化冪指函數(shù)為隱函數(shù)，從而求出導(dǎo)數(shù)。例3 求的導(dǎo)數(shù)。解：這函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，通常稱為冪指函數(shù)。為了求這函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可以先在兩邊取對(duì)數(shù)，得；上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，注意到是的函數(shù)，得，于是 。由于對(duì)數(shù)具有化積商為和差的性質(zhì)，因此我們可以把多因子乘積開(kāi)方的求導(dǎo)運(yùn)算，通過(guò)取對(duì)數(shù)得到化簡(jiǎn).解 先在兩邊取對(duì)數(shù)，得 lny=2ln(x2+2)ln(x4+1)ln(x2+1).上式兩邊對(duì)x求導(dǎo),得注：關(guān)于冪指函數(shù)求導(dǎo)，除了取對(duì)數(shù)的方法也可以采取化指數(shù)的辦法。例如，這樣就可把冪指函數(shù)求導(dǎo)轉(zhuǎn)化為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；例如求的導(dǎo)數(shù)時(shí)，化指數(shù)方法比取對(duì)數(shù)方法來(lái)得簡(jiǎn)單，且不容易出錯(cuò)。二、 由參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)若由參數(shù)方程確定了是的函數(shù)，如果函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)反函數(shù)，且此反函數(shù)能與函數(shù)復(fù)合成復(fù)合函數(shù)，那么由參數(shù)方程所確定的函數(shù)可以看成是由函數(shù)、復(fù)合而成的函數(shù)?，F(xiàn)在，要計(jì)算這個(gè)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。為此，再假定函數(shù)、都可導(dǎo)，而且。于是根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則與反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，就有，即 。上式也可寫(xiě)成 。如果、還是二階可導(dǎo)的，由還可導(dǎo)出對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)公式：，即 例 求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1） （2）解（1），所以 (2),所以 例 求橢圓的參數(shù)方程在處切線方程。解 當(dāng)時(shí)，橢圓上的相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為。 橢圓在點(diǎn)處的切線斜率于是得橢圓在點(diǎn)處得切線方程為，化簡(jiǎn)得例 已知拋射體得運(yùn)動(dòng)軌跡得參數(shù)方程為 求拋射體在時(shí)刻t運(yùn)動(dòng)速度得大小和方向。讓學(xué)生做練習(xí)啟發(fā)與思考用定義法與運(yùn)算法則求導(dǎo)時(shí)，有時(shí)結(jié)果不一致，這是為什么？若曲線用極坐標(biāo)方程表示，那么是否是曲線在點(diǎn)處切線的斜率？小結(jié)：本節(jié)講述了隱函數(shù)和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導(dǎo)方法，利用取對(duì)數(shù)的方法解決了冪指函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題作業(yè)：作業(yè)見(jiàn)作業(yè)卡第五節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)教學(xué)目的 了解高階導(dǎo)數(shù)的定義，熟悉高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算．教學(xué)重點(diǎn) 高階導(dǎo)數(shù)（微分）的計(jì)算．教學(xué)難點(diǎn)] 高階導(dǎo)數(shù)（微分）的計(jì)算．教學(xué)時(shí)數(shù)：2教學(xué)內(nèi)容l 引言前面已經(jīng)看到，當(dāng)變動(dòng)時(shí)，的導(dǎo)數(shù)仍是的函數(shù)，因而可將再對(duì)求導(dǎo)數(shù)，所得出的結(jié)果（如果存在）就稱為的二階導(dǎo)數(shù)．例如，已知運(yùn)動(dòng)規(guī)律，則它的一階導(dǎo)數(shù)為速度，即，對(duì)于變速運(yùn)動(dòng)，速度也是的函數(shù)：．如
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