高二數(shù)學(xué)概率、統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例(編輯修改稿)
2024-12-18 17:11 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ， ( 1 7 6 , 1 7 3 )共 10 個(gè)基本事件，而事件 A 含有 4 個(gè)基本事件：( 1 8 1 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 9 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 8 , 1 7 6 ) ， ( 1 7 6 , 1 7 3 ) ， ∴ P ( A ) ＝410＝25. 探究提高 ( 1 ) 本題考查了莖葉圖的識(shí)圖問(wèn)題和平均數(shù)的計(jì)算，其中從莖葉圖中讀出數(shù)據(jù)是關(guān)鍵，為此，首先要弄清 “ 莖 ” 和 “ 葉 ” 分別代表什么． ( 2 ) 要熟練掌握眾數(shù)、中位數(shù)、 平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算方法． 變式訓(xùn)練 4 ( 2 0 0 9 安徽 ) 某良種培育基地正在培育一種小麥新品種 A ，將其與原有的一個(gè)優(yōu)良品種 B 進(jìn)行對(duì)照試驗(yàn)，兩種小麥各種植了 25 畝，所得畝產(chǎn)數(shù)據(jù) ( 單位：千克 ) 如下： 品種 A ： 3 5 7 , 3 5 9 , 3 6 7 , 3 6 8 , 3 7 5 , 3 8 8 , 3 9 2 , 3 9 9 ， 4 0 0 , 4 0 5 , 4 1 2 , 4 1 4 , 4 1 5 , 4 2 1 , 4 2 3 , 4 2 3 ， 4 2 7 , 4 3 0 , 4 3 0 , 4 3 4 , 4 4 3 , 4 4 5 , 4 4 5 , 4 5 1 , 4 5 4 品種 B : 3 6 3 , 3 7 1 , 3 7 4 , 3 8 3 , 3 8 5 , 3 8 6 , 3 9 1 , 3 9 2 ， 3 9 4 , 3 9 4 , 3 9 5 , 3 9 7 , 3 9 7 , 4 0 0 , 4 0 1 , 4 0 1 ， 4 0 3 , 4 0 6 , 4 0 7 , 4 1 0 , 4 1 2 , 4 1 5 , 4 1 6 ， 4 2 2 , 4 3 0 ( 1 ) 完成莖葉圖； ( 2 ) 用莖葉圖處理現(xiàn)在的數(shù)據(jù)，有什么優(yōu)點(diǎn)？ ( 3 ) 通過(guò)觀察莖葉圖，對(duì)品種 A 與 B 的畝產(chǎn)量及其穩(wěn)定性進(jìn)行比較，寫出統(tǒng)計(jì)結(jié)論． 解 ( 1 ) 莖葉圖如圖所示 . ( 2 ) 由于每個(gè)品種的數(shù)據(jù)都只有 25 個(gè)，樣本不大，畫莖葉圖很方便．此時(shí)莖葉圖不僅清晰明了地展示了數(shù)據(jù)的分布情況，便于比較，沒(méi)有任何信息損失，而且還可以隨時(shí)記錄新的數(shù)據(jù)． ( 3 ) 通過(guò)觀察莖葉圖可以看出： ① 品種 A 的畝產(chǎn)平均數(shù)( 或均值 ) 比品種 B 高； ② 品種 A 的畝產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)差 ( 或方差 )比品種 B 大，故品種 A 的畝產(chǎn)穩(wěn)定性較差． 題型五 線性回歸方程 例 5 某農(nóng)科所對(duì)冬季晝夜溫差大小與某反季節(jié)大豆新品種發(fā)芽多少之間的關(guān)系進(jìn)行分析研究，他們分別記錄了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天晝夜溫差與實(shí)驗(yàn)室每天每 100 顆種子中的發(fā)芽數(shù)，得到如下資料： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 溫差 x(℃ ) 10 11 13 12 8 發(fā)芽數(shù) y(顆 ) 23 25 30 26 16 該農(nóng)科所確定的研究方案是：先從這五組數(shù)據(jù)中選取 2組，用剩下的 3 組數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再對(duì)被選取的2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)． ( 1 ) 求選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2 天數(shù)據(jù)的概率； ( 2 ) 若選取的是 12 月 1 日與 12 月 5 日的兩組數(shù)據(jù)，請(qǐng)根據(jù) 12 月 2 日至 12 月 4 日的數(shù)據(jù)，求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 若由線性回歸方程得到的 估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過(guò) 2 顆，則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問(wèn) ( 2 ) 中所得的線性回歸方程是否可靠？ 思維啟迪 ( 1 ) 問(wèn)題屬古典概率，可先求兩組數(shù)據(jù)不相鄰的概率． ( 2 ) 求線性回歸方程，再驗(yàn)證線性回歸方程 的可靠性． 解 ( 1 ) 設(shè)事件 A 表示 “ 選取的 2 組數(shù)據(jù)恰好是不相鄰 2天的數(shù)據(jù) ” ，則 A 表示 “ 選取的數(shù)據(jù)恰好是相鄰 2 天的數(shù)據(jù) ” ． 基本事件總數(shù)為 10 ，事件 A 包含的基本事件數(shù)為 4. ∴ P ( A ) ＝410＝25， ∴ P ( A ) ＝ 1 － P ( A ) ＝35. ( 2 ) x ＝ 12 ， y ＝ 27 ， ∑3i ＝ 1xiyi＝ 977 ， ∑3i ＝ 1x2i＝ 434 ， ∴ b^ ＝∑3i ＝ 1xiyi－ 3 x y∑3i ＝ 1x2i－ 3 x2＝9 7 7 － 3 12 274 3 4 － 3 122＝ 2 . 5 ， a^ ＝ y － b x ＝ 27 － 2 . 5 12 ＝－ 3 ， ∴ y^ ＝ 2 . 5 x － 3. ( 3 ) 由 ( 2 ) 知：當(dāng) x ＝ 10 時(shí)， y ＝ 22 ，誤差不超過(guò) 2 顆； 當(dāng) x ＝ 8 時(shí)， y ＝ 17 ，誤差不超過(guò) 2 顆． 故所求得的線性回歸方程是可靠的． 探究提高 ( 1 ) 正確理解計(jì)算 b^ 、 a^ 的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算，是求線性回歸方程的關(guān)鍵． ( 2 ) 在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本 數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回歸方程估計(jì)和預(yù)測(cè)變量的值． 變式訓(xùn)練 5 下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過(guò)程中記錄的產(chǎn)量 x ( 噸 ) 與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y ( 噸標(biāo)準(zhǔn)煤 ) 的幾組對(duì)照數(shù)據(jù)． x 3 4 5 6 y 2 . 5 3 4 4 . 5 ( 1 ) 請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； ( 2 ) 請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出 y 關(guān)于 x 的線性回歸方程 y^ ＝ b^ x ＋ a^ ； ( 3 ) 已知該廠技改前 1 0 0 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為 90 噸標(biāo)準(zhǔn)煤．試根據(jù) ( 2 ) 求出的線性回歸方程預(yù)測(cè)生產(chǎn) 1 0 0噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ ( 參考數(shù)值： 3 2 . 5 ＋ 4 3 ＋ 5 4 ＋ 6 4 . 5 ＝ 6 6 . 5 ) 解 ( 1 ) 如下圖所示： ( 2 ) 由對(duì)照數(shù)
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