高二數(shù)學(xué)單位圓中的三角函數(shù)線(編輯修改稿)
2024-12-18 16:45 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 [ 例 2] (1) 若－2π3≤ θ ≤π6，確定 sin θ 的范圍； (2) 若 30176。 ≤ θ 90176。 或 90176。 θ ≤ 120176。 ，確定 tan θ 的范圍． ? [分析 ] 先在單位圓中畫出角 θ的終邊對(duì)應(yīng)的區(qū)域，然后由各象限三角函數(shù)值的符號(hào)及大小變化規(guī)律確定函數(shù)值的變化范圍，函數(shù)值為正時(shí)，有向線段越長(zhǎng)值越大，函數(shù)值為負(fù)時(shí)，有向線段越長(zhǎng)值越小． [ 解析 ] (1) ∵ －2π3≤ θ ≤π6， ∴ θ 的終邊對(duì)應(yīng)區(qū)域 如圖 (1) ，在由 OB 轉(zhuǎn)向 OA 過(guò)程中 s in θ 的值在第三象限為負(fù)，在第四象限為負(fù)，在第一象限為正，在 θ ＝－π2時(shí)取最小值－ 1 ，在 θ ＝π6時(shí)取最大值12， ∴ － 1 ≤ sin θ ≤12. (2) 畫出角 θ 的終邊對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖，當(dāng)角 θ 的終邊從 OA轉(zhuǎn)向 OB 時(shí)， tan θ 在第一象限取正值，正切線越來(lái)越長(zhǎng)到無(wú)窮，∴ tan θ 33， tan θ 在第二象限取負(fù)值，由 90176。 → 120176。 的過(guò)程中，正切線越來(lái)越短，到 OB 時(shí)， tan θ ＝ MN ＝－ 3 ， ∴ tan θ － 3 ， ∴ tan θ ∈ ( － ∞ ，－ 3 ) ∪????????33，＋ ∞ . 已知π3 α 4π3 ，則 c os α 的取值范圍是 ________ ． [ 答案 ] [ － 1 ，12 ) [ 解析 ] 角 α 的終邊對(duì)應(yīng)區(qū)域如圖中陰影部分，角 α 終邊在從 OA 轉(zhuǎn) 向 OB 過(guò)程中，其余弦線 OM 越來(lái)越短，然后變成負(fù)值，在 α ＝ π 時(shí)最長(zhǎng)取最小值－ 1 ，然后又縮短，由于 c osπ3＝12， ∴ － 1 ≤ c os α 12. [ 例 3] 已知 α 為銳角，求證： (1) 1 sin α ＋ c os α π2； (2 )sin3α ＋ c os3α 1. ? [解析 ] 如圖所示 ， 設(shè)角 α的終邊與單位圓相交于 P(x， y)， 過(guò) P作 PQ⊥ x軸 ， PR⊥ y軸 ，Q、 R為垂足 ． ? (1)∵ y＝ sinα， x＝ cosα， 而在 △ OPQ中 ，QP＋ OQOP. ? ∴ sinα＋ cosα1. ∵ S △P O A＝12OA 18
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