【文章內(nèi)容簡介】 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應，而避免產(chǎn)生混疊失真。 由上面分析可以得知，在脈沖響應不變法下將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器時，由于模擬濾波器的 ? 和數(shù)字濾波器的 ? 之間呈線性關系 [5]。也就是說，一個線性相位的模擬濾波器通過脈沖響應不變法后，得到的依舊是一個線性相位的數(shù)字濾波器。所以模擬濾波器的頻率響應是在帶限或者阻帶衰減較大的情況下，數(shù)字濾波器能較好的保持模擬濾波器的幅度響應。 脈沖響應不變法實現(xiàn)數(shù)字濾波器時，由于數(shù)字濾波器帶著一定的混疊 ，實際應用中模擬濾波器一般又不滿足帶限條件。所以，對于模擬濾波器和帶通濾波 器都可以通過增大模擬濾波器在阻帶的衰減或者減小抽樣時間間隔 T，使之混疊造成的誤差在可接受范圍內(nèi)波動。存在嚴重混疊的模擬高通濾波器和帶組濾波器不能用脈沖響應不變法將模擬濾波器轉變?yōu)閿?shù)字濾波器。 脈沖響應不變法的設計方法 ?????? ????? ?? ????????? kTjsXTjksXTzX k ask aez sT ?21)(1)(?????? ?? ????? T kjHTeH k aj ??? 21)(0)( ??jHa 2|| sT ???? ? 14 利用脈沖響應不變法設計帶限的數(shù)字濾波器，其設計步驟如下： (1)將數(shù)字濾波器的相關技術指標轉變成模擬濾波器的相關技術指標。利用模擬濾波器的模擬頻率和數(shù)字濾波器數(shù)字頻率的關系 /T??? () 將數(shù)字濾波器的頻率指標 {}k? 轉換為模擬濾波器的頻率指標 {}k? 。式子 只對模擬濾波器和數(shù)字濾波器的衰減響應的橫坐標頻率軸進行變換，而對縱坐標衰減幅度沒有影響。所以衰減后的模擬濾波器帶通衰減 pA 和阻帶衰減 sA 與數(shù)字濾波器相同 [12]。 （ 2） 設計模擬濾波器的通帶截頻 {}p? 、通帶衰減 pA 、阻帶截頻{}s? 、阻帶衰減 sA ，濾波器可以通過巴特沃夫 (Butter worth)模擬低通濾波器，切比雪夫 (Chebyshev)I 型模擬低通濾波器、切比雪夫 II 型模擬低通濾波器和橢圓低通濾波器來實現(xiàn)。 （ 3） 利用脈沖響應不變法將模擬低通濾波器的 ()Hs轉換成數(shù)字濾波器的 ()Hz。用脈沖響應不變法將 模擬低通濾波器轉換成數(shù)字濾波器的方法步驟在圖 中已經(jīng)給出。 雙線性變換法 由于數(shù)字濾波器不可避免的有帶限條件，脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器又不可避免的帶有頻譜混疊，實際的模擬濾波器卻是不帶限的，所以雙線性變換法的基本思想是先將非帶限的模擬濾波器映射為最高頻率為 /T? 的帶限模擬濾波器，然后再將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器 [9]。雙線性變換法是一種常用的 IIR 濾波器的設計方法，是一種能克服脈沖響應不變法頻譜混疊的數(shù)字濾 波器設計方法。 15 雙線性變換法的原理 由于脈沖響應不變法是從 S 平面到 Z 平面是多值的映射關系，造成了它的混疊失真。雙線性變換法就是為了克服混疊失真的這一缺點，它家那個模擬濾波器 ()Hs轉換成數(shù)字濾波器 ()Hz時，不是直接從 S 平面到 Z 平面，而是先將非帶限的 ()Hs映射為帶限的 (39。)Hs ，再通過脈沖響應不變法將 39。S 平面映射到 Z 平面，即 39。( ) ( ) ( )H s H s H z??。從頻域看，模擬濾波器的模擬頻率 ? 與數(shù)字濾波器的數(shù)字頻率 ? 的關系需通過39。? 的建立，即 39。??? ?? 。 為了將 s 平面的整個虛軸 j? 壓縮到 39。S 平面 39。j? 軸上的 / ~ /TT???段上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) 239。tan( )2TT ??? () 式子中， T 為采樣間隔。 再將 ? 由 ( ,0)?? 變化到 (0, )?? ，映射到整個 j? 軸，即 39。 / 239。 / 239。 / 239。 / 22 jTjTjTjTeej T ????????? ? () 然后將這個關系解析延展到整個 S 平面和 39。S 平面，再將 39。S 平面通過一定標準轉換關系映射到 Z 平面，令 , js j z e ????得到 S 平面到 Z 平面的映射關系： () () 11112????? zzTssTsTsTsTz?????? 222121 16 式子 和式子 這兩個式子反映的就是 S 平面和 Z 平面之間的單值映射關系，這兩 個線性函數(shù)之比的式子，成為雙線性變換。 對于式子 ，我們設 sj?? ? ? ，式子變成 () 即 () 由式子 和式子 可以看出，當 0?? 時， 1z? ， S 平面的左半 平面映射到 Z 平面的單位圓內(nèi)；當 0?? ， 1z? ， S 平面的虛軸映射到 Z 平面的單位圓上；當 0?? 時， 1z? ， S 平面的右半平面映射到 Z 平面的單位圓外 [8]。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 雙線性變換法的設計方法 利用雙線性變換法設計數(shù)字濾波器的步驟如下： （ 1） 根據(jù) 2 tan( )2T? ?? 將數(shù)字濾波器的頻率指標 {}k? 轉換為模擬濾波器的頻率指標 {}k? 。 （ 2） 設計通帶截頻 {}p? 、通帶衰減 pA 、阻帶截頻 {}s? 和阻帶衰減sA 的模擬濾波器 ()Hs。 （ 3） 利用雙線性變換將模擬濾波器 ()Hs轉換為數(shù)字濾波器 ()Hz。 11211( ) ( ) zs T zH z H s ???? ?? () ???????jTjTz??22222222||???????? ????????? ????TTz 17 雙線性變換法是將 S 域的整個虛軸映射到 Z 域的單位圓上，因此雙線性變換法不存在混疊現(xiàn)象，且 ? 與 ? 之間不再是線性關系。所以，雙線性變換法變換后的數(shù)字濾波器的幅度響應也是非線性的。雙線性變換法一般不適合設計等幅度響應為非常數(shù)的數(shù)字濾波器，只是適合于設計幅度響應為分段常熟的數(shù)字濾波器。 IIR 濾波器的基本結構 數(shù)字濾波器是離散時間系統(tǒng)，每個離散系統(tǒng)有某種輸入、輸出的確定的約束關系，可以用不同的多種結構來實現(xiàn)。在無線精度的情況下，這些不同方法的多種實現(xiàn)方 法是等效的。但是在現(xiàn)實的實際情況中，市面上任何一種數(shù)字信號處理系統(tǒng)的資源都是有限的，數(shù)字濾波器參數(shù)以及按需求所做的運算結果都要存儲在有限長的存儲單元中，以有限位數(shù)來表示 [9]。有限長的字節(jié)數(shù)表示的參數(shù)或者數(shù)值都一定是會存在誤差的，存儲當中存在的誤差必然會引起后面量化或者啟用存儲數(shù)值做運算的運算結果。這樣的誤差，會使得濾波器的精度、穩(wěn)定性、運算速度或者成本上產(chǎn)生很多影響，導致濾波器的不準確性。因此，我們必須在濾波器的結構上做文章，來減小濾波器的誤差。 IIR 數(shù)字濾波器的結構主要有直接型結構、級聯(lián)型結構和并聯(lián)型 結構三種基本機構。 （ 1） 直接型結構 式子 IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz可以看做是系統(tǒng)函數(shù)分別為 1()Hz和 2()Hz的兩個子系統(tǒng)的級聯(lián)，即 18 0121( ) ( ) ( )1MjjjNiiibzH z H z H zaz????????? () 其中，1 0()M jjjH z b z ??? ? 211()1 N iiiHzaz ???? ? () 分別畫出兩個子系統(tǒng)的結構圖，如圖 和圖 圖 直接 I 型 圖 直接 II 型 （ 2） 級聯(lián)型結構 將系統(tǒng)函數(shù)的分子分母都分解為一階多項式的乘積即可獲得級聯(lián)型結構。對于物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)的分子分母多項式均為實系數(shù)，若系統(tǒng)有復數(shù)零點、極點，則必然成對共軛出現(xiàn) [10]。因此，為 19 了便于軟件和硬 件實現(xiàn)，通常將共軛復數(shù)零點、極點用二階實系數(shù)因子表示 [4]，將一階實系數(shù)因子也用二階因子表示，則系統(tǒng)函數(shù)可表示為： 1212111( ) ( )1LLii iiizzH z A A H z?????????????? () 式子 中 ()iHz稱為濾波器的二階基本節(jié)， L 表示 /2~NN范圍內(nèi)的某一整數(shù)。據(jù)式子 畫出信號流圖 。 圖 IIR 數(shù)字濾波器的級聯(lián)型結構 （ 3） 并聯(lián)型結構 將濾波器的系統(tǒng)函數(shù) ()Hz展開成部分分式之和，就能獲得并聯(lián)型結構。結構表達式為： 1010 121 12() 1L kkkzHz zz??? ?? ??????? ??? () 根據(jù)上式能畫出各子系統(tǒng)的直接型結構，再將這些子系統(tǒng)的直接型結構并聯(lián)即可得到并聯(lián)型結構圖，如圖 。 1Z? 11? 1Z? 21? 11? 21? 11? 21? 1Z? 11? 21? 1Z? 20 圖 IIR 數(shù)字濾波器的并聯(lián)型結構 21 3 IIR 濾波器的設計過程及 DSP 的實現(xiàn) IIR 濾波器的設計過程 IIR 數(shù)字濾波器的設計就是將給定的數(shù)字濾波器的技術指標按照離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)來確定濾波器的階數(shù) N 和系數(shù) ,iiab。想要濾波器的成本更加低廉，就要使得濾波器階數(shù)盡量低。 現(xiàn)在濾波器的設計已經(jīng)比較成熟了，通常方法都是通過模擬濾波器來設計濾波器。設計第一步就是先將數(shù)字濾波器 ()Hz的相關技術指標轉換成為相對應的模擬濾波器 ()Hs的技術指標。第二步就 是根據(jù)運算出的設計指標來設計模擬濾波器 ()Hs，再將模擬濾波器 ()Hs轉換為相對應的數(shù)字濾波器 ()Hz [11]。因此，設計數(shù)字濾波器時，基礎是設計模擬濾波器，核心是將模擬濾波器轉換為數(shù)字濾波器。上述過程可以簡化如下圖 。 圖 IIR 數(shù)字濾波器的設計過程 設計一個數(shù)字濾波器通常簡化成一定的步驟，一般會簡化為下面5 個步驟： (1)給定濾波器的技術指標，設計出濾波器的參數(shù)。 (2)合適的濾波器系數(shù)的計算轉換為模擬濾波器系數(shù)。 (3)用一個適當?shù)慕Y構來表示濾波器，實現(xiàn)濾波器的結構。 數(shù)字濾波器技術指標 模擬濾波器離散化 相應的模擬濾波器技術 模 擬 濾波 器技術指標 模數(shù)指標參數(shù)變換 數(shù)字濾波器 22 (4)分析有限字長效應對濾波器性能的影響。 (5)選擇合適的軟件或者硬件來實現(xiàn)濾波器 [13]。 DSP 系統(tǒng)的設計流程 (1)根據(jù)系統(tǒng)任務指標確定濾波器的類型，設計出濾波器的參數(shù)； (2)根據(jù)系統(tǒng)的要求和 DSP 的特點 (速度、字長、精度等 )對參數(shù)進行取舍、量化，得出最佳方案，然后 進行仿真； (3)根據(jù)仿真結果微調(diào)濾波器的結構、參數(shù) ,直到達到要求為止； (4)在 DSP 上用相對比較簡單的 C 語言實現(xiàn)濾波器的功能。 IIR 數(shù)字濾波器在 DSP 上的實現(xiàn) 該篇論文設計的 IIR 數(shù)字濾波器 ,本文 提供的信號默認采樣頻率為 48KHz，信號頻率為 200Hz，幅值為 500m。采用的是 DEC6713 開發(fā)板，開發(fā)板的芯片是 TMS320C6713。 TMS320C6713 能直接與 8 位、 16 位、32位存儲器無縫接口，內(nèi)部以字節(jié)進行編址（邏輯地址），外部存儲器地址（物理地址），由 EMIF 根據(jù)所接口的存 儲器的寬度，自動對邏輯地址進行移位產(chǎn)生。對小于 32位的外部存儲器進行訪問時， EMIF將自動完成數(shù)據(jù)打包和拆包。 打開主程序文件 ,在第 43行“ iir_filter (DataBuffer， SOSr, G,D DataBuffer,Sample Long,ROUND_IIR)；”在第 44行設置斷點“ i=0。”， 運行程序可以觀察收到的數(shù)據(jù)如圖 、圖 和顯示的圖像如圖、圖 ； DataBuffer 數(shù)組顯示的是原始信號圖；