[考研數(shù)學(xué)]考研數(shù)學(xué)一公式集錦(編輯修改稿)
2024-09-13 03:23 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 稱(chēng)事件、是相互獨(dú)立的。若事件、相互獨(dú)立，且，則有若事件、相互獨(dú)立，則可得到與、與、與也都相互獨(dú)立。必然事件和不可能事件216。與任何事件都相互獨(dú)立。216。與任何事件都互斥。②多個(gè)事件的獨(dú)立性設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨(dú)立。對(duì)于n個(gè)事件類(lèi)似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1176。兩兩互不相容，2176。，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，…，及滿足1176。 ，…，兩兩互不相容，0，1，2，…，2176。 ，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，…，），通常叫先驗(yàn)概率。，（，…，），通常稱(chēng)為后驗(yàn)概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗(yàn)，且滿足u 每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗(yàn)稱(chēng)為伯努利概型，或稱(chēng)為重伯努利試驗(yàn)。用表示每次試驗(yàn)發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗(yàn)中出現(xiàn)次的概率。第二章 隨機(jī)變量及其分布（1）離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)離散型隨機(jī)變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱(chēng)上式為離散型隨機(jī)變量的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度設(shè)是隨機(jī)變量的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)，有， 則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱(chēng)為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)概率密度。密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：1176。 。2176。 。（3）離散與連續(xù)型隨機(jī)變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類(lèi)似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機(jī)變量，是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)稱(chēng)為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個(gè)累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間（– ∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1176。 ；2176。 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時(shí)，有 ；3176。 ， ；4176。 ，即是右連續(xù)的；5176。 。對(duì)于離散型隨機(jī)變量，；對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量， 。（5）八大分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項(xiàng)分布在重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布。記為。當(dāng)時(shí)，，這就是（01）分布，所以（01）分布是二項(xiàng)分布的特例。泊松分布設(shè)隨機(jī)變量的分布律為，，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1p。隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機(jī)變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b 其他，則稱(chēng)隨機(jī)變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為 a≤x≤b 0， xa， 1， xb。當(dāng)a≤x1x2≤b時(shí)，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱(chēng)隨機(jī)變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1176。 的圖形是關(guān)于對(duì)稱(chēng)的；2176。 當(dāng)時(shí)，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時(shí)的正態(tài)分布稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(x)＝1Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。 （6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)分布離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對(duì)應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度f(wàn)X(x)寫(xiě)出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fY(y)。第三章 二維隨機(jī)變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機(jī)向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個(gè)有序?qū)Γ▁,y），則稱(chēng)為離散型隨機(jī)量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,稱(chēng)為=（X，Y）的分布律或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時(shí)也用下面的概率分布表來(lái)表示： YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對(duì)于二維隨機(jī)向量，如果存在非負(fù)函數(shù)，使對(duì)任意一個(gè)其鄰邊分別平行于坐標(biāo)軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|axb,cyd}有則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)向量；并稱(chēng)f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱(chēng)為X和Y的聯(lián)合分布密度。 分布密度f(wàn)(x,y)具有下面兩個(gè)性質(zhì)：（1） f(x,y)≥0。（2） （2）二維隨機(jī)變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y,二元函數(shù)稱(chēng)為二維隨機(jī)向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱(chēng)為隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個(gè)以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個(gè)實(shí)值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對(duì)x和y是非減的，即當(dāng)x2x1時(shí)，有F（x2,y）≥F(x1,y)。當(dāng)y2y1時(shí)，有F(x,y2) ≥F(x,y1)。（3）F（x,y）分別對(duì)x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對(duì)于.（4
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