[考研數(shù)學]考研數(shù)學一公式集錦(編輯修改稿)
2025-09-13 03:23 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 稱事件、是相互獨立的。若事件、相互獨立，且，則有若事件、相互獨立，則可得到與、與、與也都相互獨立。必然事件和不可能事件216。與任何事件都相互獨立。216。與任何事件都互斥。②多個事件的獨立性設(shè)ABC是三個事件，如果滿足兩兩獨立的條件，P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)并且同時滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)那么A、B、C相互獨立。對于n個事件類似。（15）全概公式設(shè)事件滿足1176。兩兩互不相容，2176。，則有。（16）貝葉斯公式設(shè)事件，…，及滿足1176。 ，…，兩兩互不相容，0，1，2，…，2176。 ，則，i=1，2，…n。此公式即為貝葉斯公式。，（，…，），通常叫先驗概率。，（，…，），通常稱為后驗概率。貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律，并作出了“由果朔因”的推斷。（17）伯努利概型我們作了次試驗，且滿足u 每次試驗只有兩種可能結(jié)果，發(fā)生或不發(fā)生；u 次試驗是重復進行的，即發(fā)生的概率每次均一樣；u 每次試驗是獨立的，即每次試驗發(fā)生與否與其他次試驗發(fā)生與否是互不影響的。這種試驗稱為伯努利概型，或稱為重伯努利試驗。用表示每次試驗發(fā)生的概率，則發(fā)生的概率為，用表示重伯努利試驗中出現(xiàn)次的概率。第二章 隨機變量及其分布（1）離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量的可能取值為Xk(k=1,2,…)且取各個值的概率，即事件(X=Xk)的概率為P(X=xk)=pk，k=1,2,…，則稱上式為離散型隨機變量的概率分布或分布律。有時也用分布列的形式給出：。顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：（1）， （2）。（2）連續(xù)型隨機變量的分布密度設(shè)是隨機變量的分布函數(shù)，若存在非負函數(shù)，對任意實數(shù)，有， 則稱為連續(xù)型隨機變量。稱為的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。密度函數(shù)具有下面4個性質(zhì)：1176。 。2176。 。（3）離散與連續(xù)型隨機變量的關(guān)系積分元在連續(xù)型隨機變量理論中所起的作用與在離散型隨機變量理論中所起的作用相類似。（4）分布函數(shù)設(shè)為隨機變量，是任意實數(shù)，則函數(shù)稱為隨機變量X的分布函數(shù)，本質(zhì)上是一個累積函數(shù)。 可以得到X落入?yún)^(qū)間的概率。分布函數(shù)表示隨機變量落入?yún)^(qū)間（– ∞，x]內(nèi)的概率。分布函數(shù)具有如下性質(zhì)：1176。 ；2176。 是單調(diào)不減的函數(shù)，即時，有 ；3176。 ， ；4176。 ，即是右連續(xù)的；5176。 。對于離散型隨機變量，；對于連續(xù)型隨機變量， 。（5）八大分布01分布P(X=1)=p, P(X=0)=q二項分布在重貝努里試驗中，設(shè)事件發(fā)生的概率為。事件發(fā)生的次數(shù)是隨機變量，設(shè)為，則可能取值為。， 其中，則稱隨機變量服從參數(shù)為，的二項分布。記為。當時，，這就是（01）分布，所以（01）分布是二項分布的特例。泊松分布設(shè)隨機變量的分布律為，，則稱隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布，記為或者P()。泊松分布為二項分布的極限分布（np=λ，n→∞）。超幾何分布隨機變量X服從參數(shù)為n,N,M的超幾何分布，記為H(n,N,M)。幾何分布，其中p≥0，q=1p。隨機變量X服從參數(shù)為p的幾何分布，記為G(p)。均勻分布設(shè)隨機變量的值只落在[a，b]內(nèi)，其密度函數(shù)在[a，b]上為常數(shù)，即a≤x≤b 其他，則稱隨機變量在[a，b]上服從均勻分布，記為X~U(a，b)。分布函數(shù)為 a≤x≤b 0， xa， 1， xb。當a≤x1x2≤b時，X落在區(qū)間（）內(nèi)的概率為。指數(shù)分布 ,0, ,其中，則稱隨機變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布。X的分布函數(shù)為 , x0。 記住積分公式：正態(tài)分布設(shè)隨機變量的密度函數(shù)為， ，其中、為常數(shù)，則稱隨機變量服從參數(shù)為、的正態(tài)分布或高斯（Gauss）分布，記為。具有如下性質(zhì)：1176。 的圖形是關(guān)于對稱的；2176。 當時，為最大值；若，則的分布函數(shù)為。參數(shù)、時的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記為，其密度函數(shù)記為，分布函數(shù)為。是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。Φ(x)＝1Φ(x)且Φ(0)＝。如果~，則~。 （6）分位數(shù)下分位表：；上分位表：。（7）函數(shù)分布離散型已知的分布列為，的分布列（互不相等）如下：，若有某些相等，則應(yīng)將對應(yīng)的相加作為的概率。連續(xù)型先利用X的概率密度fX(x)寫出Y的分布函數(shù)FY(y)＝P(g(X)≤y)，再利用變上下限積分的求導公式求出fY(y)。第三章 二維隨機變量及其分布（1）聯(lián)合分布離散型如果二維隨機向量（X，Y）的所有可能取值為至多可列個有序?qū)Γ▁,y），則稱為離散型隨機量。設(shè)=（X，Y）的所有可能取值為，且事件{=}的概率為pij,稱為=（X，Y）的分布律或稱為X和Y的聯(lián)合分布律。聯(lián)合分布有時也用下面的概率分布表來表示： YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……這里pij具有下面兩個性質(zhì)：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）連續(xù)型對于二維隨機向量，如果存在非負函數(shù)，使對任意一個其鄰邊分別平行于坐標軸的矩形區(qū)域D，即D={(X,Y)|axb,cyd}有則稱為連續(xù)型隨機向量；并稱f(x,y)為=（X，Y）的分布密度或稱為X和Y的聯(lián)合分布密度。 分布密度f(x,y)具有下面兩個性質(zhì)：（1） f(x,y)≥0。（2） （2）二維隨機變量的本質(zhì)（3）聯(lián)合分布函數(shù)設(shè)（X，Y）為二維隨機變量，對于任意實數(shù)x,y,二元函數(shù)稱為二維隨機向量（X，Y）的分布函數(shù)，或稱為隨機變量X和Y的聯(lián)合分布函數(shù)。 分布函數(shù)是一個以全平面為其定義域，以事件的概率為函數(shù)值的一個實值函數(shù)。分布函數(shù)F(x,y)具有以下的基本性質(zhì)：（1）（2）F（x,y）分別對x和y是非減的，即當x2x1時，有F（x2,y）≥F(x1,y)。當y2y1時，有F(x,y2) ≥F(x,y1)。（3）F（x,y）分別對x和y是右連續(xù)的，即（4）（5）對于.（4
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