【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 Si)yz , cosbiDSi187。(DSi)zx , cosgiDSi187。(DSi)xy ,因此上式可以寫成 。 令l174。0取上述和的極限, 就得到流量F的精確值.3. 定義1：設(shè)S為光滑的有向曲面, 函數(shù)R(x, y, z)在S上有界. 把S任意分成n塊小曲面DSi(DSi同時(shí)也代表第i小塊曲面的面積). 在xOy面上的投影為(DSi)xy, (xi, hi, zi )是DSi上任意取定的一點(diǎn). 如果當(dāng)各小塊曲面的直徑的最大值l174。0時(shí), 總存在, 則稱此極限為函數(shù)R(x, y, z)在有向曲面S上對(duì)坐標(biāo)x、y的曲面積分:, 記作,即 . 類似地有 . . 其中R(x, y, z)叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 定義2： 設(shè)S是空間內(nèi)一個(gè)光滑的曲面, n=(cosa , cosb , cosg)是其上的單位法向量, V(x, y, z)=(P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z))是確在S上的向量場(chǎng). 如果下列各式右端的積分存在, 我們定義 , , . 并稱為P在曲面S上對(duì)坐標(biāo)y、z的曲面積分, 為Q在曲面S上對(duì)坐標(biāo)z、x的曲面積分, 為R在曲面S上對(duì)坐標(biāo)y、z的曲面積分. 其中P、Q、R叫做被積函數(shù), S叫做積分曲面. 以上三個(gè)曲面積分也稱為第二類曲面積分.4. 第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）的簡(jiǎn)記形式： 在應(yīng)用上出現(xiàn)較多的是 . 流向S指定側(cè)的流量F可表示為 F. 5. 特殊形式：稱為P對(duì)坐標(biāo)y，z的曲面積分；稱為Q對(duì)坐標(biāo)z，x的曲面積分；稱為R對(duì)坐標(biāo)x，y的曲面積分.6. 一個(gè)規(guī)定： 如果是分片光滑的有向曲面, 我們規(guī)定函數(shù)在S上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分等于函數(shù)在各片光滑曲面上對(duì)坐標(biāo)的曲面積分之和. 7. 第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）的性質(zhì)： 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分具有與對(duì)坐標(biāo)的曲線積分類似的一些性質(zhì). 例如(1)如果把S分成S 1和S2, 則 . (2)設(shè)S是有向曲面, S表示與S取相反側(cè)的有向曲面, 則 . 這是因?yàn)槿绻鹡=(cosa , cosb , cosg)是S的單位法向量, 則S上的單位法向量是 n =( cosa , cosb , cosg). 8. 第二型曲面積分（對(duì)坐標(biāo)的曲面積分）的計(jì)算：定理： 設(shè)積分曲面S由方程z=z(x, y)給出的, S在xOy面上的投影區(qū)域?yàn)镈xy , 函數(shù)z=z(x, y)在Dxy上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 被積函數(shù)R(x, y, z)在S上連續(xù), 則有, 其中當(dāng)S取上側(cè)時(shí), 積分前取“+”；當(dāng)S取下側(cè)時(shí), 積分前取“”. 即上側(cè)取正，下側(cè)取負(fù).若曲面為：，則有 （前側(cè)取正，后側(cè)取負(fù)）若曲面為：，則有 （右側(cè)取正，左側(cè)取負(fù)）應(yīng)注意的問(wèn)題：應(yīng)注意符號(hào)的確定.例題21. 計(jì)算曲面積分 , 其中S是長(zhǎng)方體W的整個(gè)表面的外側(cè), W=((x, y, z) |0163。x163。a, 0163。y163。b, 0163。z163。c ).解：把W的上下面分別記為S1和S2。 前后面分別記為S3和S4。 左右面分別記為S5和S6. S1: z=c (0163。x163。a, 0163。y163。b)的上側(cè)。 S2: z=0 (0163。x163。a, 0163。y163。b)的下側(cè)。 S3: x=a (0163。y163。b, 0163。z163。c)的前側(cè)。 S4: x=0 (0163。y163。b, 0163。z163。c)的后側(cè)。 S5: y=0 (0163。x163。a, 0163。z163。c)的左側(cè). S6: y=b (0163。x163。a, 0163。z163。c)的右側(cè)。 除SS4外, 其余四片曲面在yO z 面上的投影為零, 因此 =a2bc . 類似地可得 , . 于是所求曲面積分為(a+b+c)abc. 例題22. 計(jì)算曲面積分, 其中S是球面x2+y2+z2=1外側(cè)在x179。0, y179。0的部分.解：把有向曲面S分成以下兩部分: : (x179。0, y179。0)的上側(cè), : (x179。0, y179。0)的下側(cè). S1和S2在xOy面上的投影區(qū)域都是Dxy : x2+y2163。1(x179。0, y179。0). 于是 . 9. 兩類曲面積分之間的聯(lián)系：設(shè)指向側(cè)的單位法向量，則有即向量值函數(shù)在有向上的第二型曲面積分等于數(shù)量值函數(shù)在上的第一型曲面積分.（六）高斯公式與斯托克斯公式：定理1（高斯公式）：設(shè)空間閉區(qū)域W是由分片光滑的閉曲面S所圍成, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在W上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 , 或 .定理2（斯托克斯公式）：設(shè)G為分段光滑的空間有向閉曲線, S是以G為邊界的分片光滑的有向曲面， G的正向與S 的側(cè)符合右手規(guī)則, 函數(shù)P(x, y, z)、Q(x, y, z)、R(x, y, z)在曲面S（連同邊界）上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則有 . 記憶方式: ,或 , 其中n=(cosa , cosb , cosg)為有向曲面S的單位法向量.延伸一：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（部分）：說(shuō)明：概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是經(jīng)濟(jì)管理類（會(huì)計(jì)學(xué)、工商管理、國(guó)際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易、電子商務(wù)）專業(yè)在大學(xué)本科期間必修的三門經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)之一，由于內(nèi)容太多，因此在這里只列出部分較為簡(jiǎn)單的，容易命題的考點(diǎn).一、概率的性質(zhì)：性質(zhì)1 任何事件的概率的范圍均是[0,1].性質(zhì)2 不可能事件的概率為零. （反之不然）性質(zhì)3 (有限可加性) 若A1，A2，…, An 兩兩互不相容,則 推論1 若事件A, B互不相容，則P(A+B)=P(A)+P(B)。推論2 若A1，A2，…,An 構(gòu)成完備事件組,則 性質(zhì)4 原事件與其對(duì)立事件的和恒為1.性質(zhì)5 若Ｂ204。Ａ, 則 P(AB)=P(A)P(B) , 且P(A)≥P(B).性質(zhì)6（加法公式）對(duì)任意事件A、B ，有P(A∪B) = P (A+B)=P(A)＋P(B)P(AB).推廣：P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(BC)P(AC)+P(ABC)性質(zhì)7（減法公式）對(duì)任意兩個(gè)事件A、B，有P(AB)=P(A)P(AB)例題23. 設(shè)A, B為兩個(gè)隨機(jī)事件，P(A)=, P(A∪B)=, P(AB)=, 求P(B).解：因?yàn)?P(A∪B)= P(A)+P(B) P(AB)，即 =+P(B)，所以，P(B)=.例題24. 設(shè)為事件，且則（ ）A. B. 0. 4 C. D. 答案：A二、排列組合與兩個(gè)基本原理：1. 排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)．注：規(guī)定.2. 排列恒等式 (1)。(2)。(3)。 (4)。(5).(6) .3. 組合數(shù)公式 ===(∈N*，且).4. 組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)(1)= 。(2) +=.注:規(guī)定.5. 組合恒等式(1)。(2)。(3)。 (4)=。(5).(6).(7).(8).(9).(10).6. 分類計(jì)數(shù)原理（加法原理）.7. 分步計(jì)數(shù)原理（乘法原理）.例題25. 現(xiàn)有編號(hào)分別為4的四個(gè)盒子和四個(gè)小球.（1）若把小球全部放入盒子，共有 種放法；（2）恰有一個(gè)空盒，則有 種放法；（3）恰有兩個(gè)盒子內(nèi)不放球，則有 種放法.答案：（1）256；（2）144；（3）84三、求等可能性事件、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率：解此類題目常應(yīng)用以下知識(shí):1. 等可能性事件(古典概型)的概率：P(A)等可能事件概率的計(jì)算步驟：（1）計(jì)算一次試驗(yàn)的基本事件總數(shù)。（2）設(shè)所求事件A，并計(jì)算事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)。（3）依公式求值。（4）答，即給問(wèn)題一個(gè)明確的答復(fù).2. 互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)。 特例：對(duì)立事件的概率：P(A)＋P()＝P(A＋)＝1.3. 相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率：P(AB)＝P(A)P(B)。 特例：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率：Pn(k)＝.其中P為事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，此式為二項(xiàng)式[(1P)+P]n展開(kāi)的第k+1項(xiàng).4. 解決概率問(wèn)題要注意“四個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)合”：求概率的步驟是：第一步，確定事件性質(zhì)即所給的問(wèn)題歸結(jié)為四類事件中的某一種.第二步，判斷事件的運(yùn)算即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘事件.第三步，運(yùn)用公式求解第四步，答，即給提出的問(wèn)題有一個(gè)明確的答復(fù).例題26. 某產(chǎn)品共15個(gè),其中2個(gè)次品,每次取1個(gè)檢驗(yàn)，取后不放回，問(wèn)恰好兩次取到的都是次品的概率是 .答案：例題27. 一盒產(chǎn)品中有只正品，只次品，有放回地任取兩次，第二次取到正品的概率為（ ）A. B. C. D. 答案：C例題28. (2013年經(jīng)濟(jì)管理類各專業(yè)真題)同時(shí)拋擲三枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)三個(gè)正面的概率為_(kāi)_____ .答案：Ox j (x)m四、正態(tài)分布的相關(guān)考點(diǎn)：1. 正態(tài)分布的密度函數(shù)其特性為：(1) j (x) 圖形