橢圓知識點歸納總結(jié)和經(jīng)典例題(編輯修改稿)
2025-09-04 13:16 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ：設弦兩端點分別為，線段的中點，則①－②得．由題意知，則上式兩端同除以，有，將③④代入得．⑤（1）將，代入⑤，得，故所求直線方程為： ． ⑥將⑥代入橢圓方程得，符合題意，為所求．（2）將代入⑤得所求軌跡方程為： ．（橢圓內(nèi)部分）（3）將代入⑤得所求軌跡方程為： ．（橢圓內(nèi)部分）（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 將③④平方并整理得， ⑧， ， ⑨將⑧⑨代入⑦得： ， ⑩再將代入⑩式得： ， 即 ．此即為所求軌跡方程．當然，此題除了設弦端坐標的方法，還可用其它方法解決．例8 已知橢圓及直線．（1）當為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為，求直線的方程．解：（1）把直線方程代入橢圓方程得 ，即．，解得．（2）設直線與橢圓的兩個交點的橫坐標為，由（1）得，．根據(jù)弦長公式得 ：．解得．方程為．說明：處理有關直線與橢圓的位置關系問題及有關弦長問題，采用的方法與處理直線和圓的有所區(qū)別．這里解決直線與橢圓的交點問題，一般考慮判別式；解決弦長問題，一般應用弦長公式．用弦長公式，若能合理運用韋達定理（即根與系數(shù)的關系），可大大簡化運算過程．例9 以橢圓的焦點為焦點，過直線上一點作橢圓，要使所作橢圓的長軸最短，點應在何處？并求出此時的橢圓方程．分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．解：如圖所示，橢圓的焦點為，．點關于直線的對稱點的坐標為（－9，6），直線的方程為．解方程組得交點的坐標為（－5，4）．此時最小．所求橢圓的長軸：，∴，又，∴．因此，所求橢圓的方程為．例10 已知方程表示橢圓，求的取值范圍．解：由得，且．∴滿足條件的的取值范圍是，且．說明：本題易出現(xiàn)如下錯解：由得，故的取值范圍是．出錯的原因是沒有注意橢圓的標準方程中這個條件，當時，并不表示橢圓．例11 已知表示焦點在軸上的橢圓，求的取
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