近世代數(shù)(3-1)(編輯修改稿)
2024-09-01 20:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 注意理想是一個子環(huán)，但子環(huán)不 一 定是理想，熟悉主理想的結(jié)構(gòu)。 ? 定義 1 環(huán) R的子集 A 滿足下列二條件： (1)每 a,b?A有 ab?A (2)每 r?R,a? A有 ra?A,則 A稱為 R的理想 . 定義 2 設(shè) R是一個環(huán) ,a1,a2,…,a n?R，將 R的包含元素 a1,a2,…,a n的最小理想 ,稱為由 a1,a2,…,a n生成的理想 ,記為 (a1,a2,…,a n)由一個元 a生成的理想稱為主理想 ,記為 (a). 10 理想 (續(xù) 1) ? 主理想的元素形式 : (1)當(dāng)環(huán) R不交換時 (a)={(x1ay1+…+x maym) +sa+at+na|xi,yi,s,t∈ Z} 。 (2)當(dāng)環(huán) R交換時 (a)={ra+na|r∈ R,n∈ Z}. (3)進一步 R既交換又有單位元 ,(a)={ra|r∈ R} 例 1 整數(shù)環(huán) Z中主理想 (2)=2Z. 2 環(huán) F[x]中主理想 (x)=全體常數(shù)項為零的 f(x). 11 理想 (續(xù) 2) ? 例 3 整系數(shù)多項試環(huán) Z(x)中 (2,x)不是主理想環(huán) . 證 首先(2,x)={2f(x)+xg(x)|f(x),g(x)?Z(x)}. 若 (2,x)=(p(x)),則 2?(p(x)),2=p(x)q(x). 因此 p(x)=a? x?(p(x)),故 a=?(?1)=Z(x), 矛盾 ,因此 (2,x
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