第二十講-容斥原理(編輯修改稿)
2025-09-01 10:43 本頁面
【文章內容簡介】 加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學小組的人數(shù)。 [分析]根據(jù)已知條件畫出圖。 [解答]三圓蓋住的總體為49人，假設既參加數(shù)學又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質數(shù)，因而這兩個質數(shù)中必有一個偶質數(shù)2，另一個質數(shù)為7。 答：既參加英語又參加數(shù)學小組的為2人或7人。[評注]所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數(shù)的事物有那幾類？每一類的元素個數(shù)是多少？另外，這道題目也幫助我們復習了質數(shù)與合數(shù)的概念和性質。[舉一反三]1， 某校五年級三班有51人參加了數(shù)學、英語、語文學習小組，其中數(shù)學有30人參加，英語有20人參加，語文小組有20人。老師告訴同學既參加數(shù)學小組又參加語文小組的有8人，既參加數(shù)學又參加英語和既參加英語又參加語文的人數(shù)均為質數(shù)，而三種全參加的只有1人，求既參加英語又參加數(shù)學小組的人數(shù)。2， 27塊立方體，每個都用紅、黃、藍三種顏料中的一種或幾種涂上了色。已知涂了紅色的有21塊，涂了黃色和藍色的立方體個數(shù)都各自是一個整數(shù)的平方。同時涂了紅、黃兩色的有10塊，同時涂了黃、藍兩色的有3塊，同時涂了紅、藍兩色的有2塊。僅有一塊立方體三種顏色都涂了。那么有多少塊涂了黃色呢？3， 有20名同學，愛唱歌的有8人，愛跳舞的有9人，愛演奏樂器的有10人，愛唱歌跳舞的有5人，愛唱歌和演奏樂器的有4人，愛跳舞和演奏樂器的有5人。三種都愛的和三種都不愛的同學的個數(shù)都是一個質數(shù)，那么有多少名同學至少有一個愛好？[例6] 有25人參加跳遠達標賽，每人跳三次，每人至少有一次達到優(yōu)秀。第一次達到優(yōu)秀的有10人，第二次達到優(yōu)秀的有13人，第三次達到優(yōu)秀的有15人，三次都達到優(yōu)秀的只有1人。只有兩次達到優(yōu)秀的有多少人？ [分析]“每人至少有一次達到優(yōu)秀”說明沒有三次都沒達到優(yōu)秀的。要求只有兩次達到優(yōu)秀的人數(shù)，就是求重疊兩層的部分（圖中陰影部分）。 [解答]（人） 答：只有兩次達到優(yōu)秀的有11人。[評論]這道題目，圖形對我們的幫助依然很大。通過畫圖，我們就可以清晰地看出如何在容斥中進行扣除。準確地畫出“只有兩次達到優(yōu)秀”的人數(shù)在圖中的位置，是解決此問題的關鍵。[舉一反三]學校先后舉行數(shù)學、作文、自然三科競賽，某班有25人報名參加。其中14人參加數(shù)學競賽，12人參加作文競賽，10人參加自然競賽，并且有4人參加數(shù)學作文兩科競賽，有2人參加數(shù)學、自然兩科競賽；只有1人三科競賽都參加。問有多少人參加作文、自然兩科的競賽？有A、B、C三本書，至少讀過其中一本的有20人，讀過A書的有10人，讀過B書的有12人，讀過C書的有15人，讀過A、B兩書的有12人，讀過B、C兩書的有9人，讀過A、C兩書的有7人，三本書全都讀過有多少人？某班四年級時，五年級時和六年級時分別評出10名三好學生，又知四、五年級連續(xù)三好生4人，五、六年級連續(xù)三好生3人，四年級、六年級兩年評上三好生的有5人，四、五、六三年沒評過三好生的有20人，問這個班最多有多少名同學，最少有多少名同學？[例7] 在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有多少個？不能被3或5整除的數(shù)共有多少個？[分析]顯然，這是一個重復計數(shù)問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數(shù)3的倍數(shù)，5的倍數(shù)）。我們可以把“能被3或5整除的數(shù)”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數(shù)（15的倍數(shù)）”就是被重復計算的數(shù)，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數(shù)”。現(xiàn)在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000247。3=333……1，能被3整除的數(shù)有333個。同理，可以求出1000247。5=200，能被5整除的數(shù)有200個。可以求出1000247。15=66……10，能被15整除的數(shù)有66個。 [解答]333+20066=467(個)1000+66333200=533(個)答：在1到1000的自然數(shù)中，能被3或5整除的數(shù)共有467個；不能被3或5整除的數(shù)共有533個。[評注]這樣的題目在考試中經(jīng)常會出現(xiàn)。被什么數(shù)整除，其實等于既告訴了各自集合的元素個數(shù)，也告訴了公共部分的元素個數(shù)。此外，這道題目和數(shù)論還要一些聯(lián)系，同學們要注意知識的關聯(lián)呦。[舉一反三]在1到10000這10000個自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個？分母是
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