第二十講-容斥原理-預(yù)覽頁
【正文】 中共有鳥類和獸類多少種？狐貍軍師聽了仙鶴和大象的統(tǒng)計結(jié)果，向獅子大王報告：“森林中鳥類與獸類共計150種。[評注]這道題目變成了三種事件，我們?nèi)匀豢梢杂脠D形來簡單的描述。報跳繩的有15人，報拍球跑的有18人，報踢毽子的有20人，同時包跳繩和拍球跑的有8人，同時報跳繩和踢毽子的有5人，沒有報了拍球跑和踢毽子，但是沒報跳繩的同學(xué)。那么全班一共有多少人？3， 一次中、美、俄三方的學(xué)術(shù)交流會上，有28人會說中文，有25人會說英文，有20人會說俄文，有13人會說中文和英文，有10人會說中文和俄文，有6人會說英文和俄文，僅有大會組織者一人三種語言全會。x是數(shù)學(xué)、語文、英語三科都得滿分的同學(xué)，因而x中的人數(shù)一定不超過兩科得滿分的人數(shù)，即且，由此我們得到。[評注]這道題目里，我們不知道三科都得滿分者的人數(shù)，也就無法直接用容斥原理來計算班里的總?cè)藬?shù)。[舉一反三]1， 在四年級二班里，有25名男生，有30名少先隊員，有13名三好學(xué)生。那么這個公司最少有多少名員工，最多又有多少名呢？3， 小玉在黑板上寫下了一些數(shù)，其中每個數(shù)都至少能被5之一整除。已知有8人沒參加跑的項目，參加投擲項目的人數(shù)與參加跑和跳兩項的人數(shù)都是17人。當(dāng)然，這道題目也可以這么想：只參加跑和投擲的，就是沒有參加跳的項目的人數(shù)。已知有20人參加了跑的項目，參加投擲項目的人數(shù)與參加跑和跳兩項的人數(shù)都是10人，只參加跳項目的有5人。來的50人里穿西服、打領(lǐng)帶、穿黑皮鞋的各有20人，穿西服和黑皮鞋的有12人，穿黑皮鞋打領(lǐng)帶但是沒有穿西服的有6人。 [解答]三圓蓋住的總體為49人，假設(shè)既參加數(shù)學(xué)又參加英語的有x人，既參加語文又參加英語的有y人，可以列出這樣的方程： 整理后得： 由于x、y均為質(zhì)數(shù)，因而這兩個質(zhì)數(shù)中必有一個偶質(zhì)數(shù)2，另一個質(zhì)數(shù)為7。[舉一反三]1， 某校五年級三班有51人參加了數(shù)學(xué)、英語、語文學(xué)習(xí)小組，其中數(shù)學(xué)有30人參加，英語有20人參加，語文小組有20人。同時涂了紅、黃兩色的有10塊，同時涂了黃、藍(lán)兩色的有3塊，同時涂了紅、藍(lán)兩色的有2塊。第一次達(dá)到優(yōu)秀的有10人，第二次達(dá)到優(yōu)秀的有13人，第三次達(dá)到優(yōu)秀的有15人，三次都達(dá)到優(yōu)秀的只有1人。[評論]這道題目，圖形對我們的幫助依然很大。其中14人參加數(shù)學(xué)競賽，12人參加作文競賽，10人參加自然競賽，并且有4人參加數(shù)學(xué)作文兩科競賽，有2人參加數(shù)學(xué)、自然兩科競賽；只有1人三科競賽都參加?，F(xiàn)在我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。5=200，能被5整除的數(shù)有200個。[評注]這樣的題目在考試中經(jīng)常會出現(xiàn)。[舉一反三]在1到10000這10000個自然數(shù)中，即不能被8整除也不能被125整除的數(shù)有多少個？分母是1001的最簡分?jǐn)?shù)一共有多少個？求在1~100的自然數(shù)中不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個？[例8]50名學(xué)生面向老師站成一行，按老師的口令從左往右依次報數(shù)：3……50。[解答]因為50247。但50247。由于轉(zhuǎn)向的特殊性，需要求這兩類同學(xué)的人數(shù)和。報完后，老師讓所報數(shù)是3的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓所報數(shù)是質(zhì)數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。小成從第一盞燈數(shù)起，每隔4盞燈就按一盞燈的開關(guān)。若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。[解答]第一種和第二種刻度線重合的次數(shù)為(10,12)1=1（次）第二種和第三種刻度線重合的次數(shù)為(12,15)1=2（次）第一種和第三種刻度線重合的次數(shù)為(10,15)1=4（次）三種刻度線一起重合的次數(shù)為(10,12,15)1=0（次）因此最后實際上有(101)+(121)+(151)124+0=27（條）刻度線因此木棍一共被鋸成了27+1=28（段）答：木棍總共被鋸成28段。問它們蓋住的面積是多大？ [本章小結(jié)]容斥原理說簡單點,就是從多的往下減,減過頭了在加回來,加多了再減,減多了再加……,最終得到正確結(jié)果。[本章自測]某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是多少？一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？在100個學(xué)生中，愛好音樂的有58人，愛好體育的有75人。其中手中有紅、黃、藍(lán)三種球的有6人。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國象棋比賽的共有51人，參加國際象棋比賽的共有30
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